Questions in this chapter

ক. $\sec ^{2}\left(\cot ^{-1} 3\right)+\operatorname{cosec}^{2}\left(\tan ^{-1} 2\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{a}=4, \mathrm{~b}=-2(1+\sqrt{3}), \mathrm{c}=\sqrt{3}$ এবং $0<\theta<\pi$ হলে, ${f}(\sin \theta)=0$

সমীকরণটির সমাধান নির্ণয় কর।

গ. $C=\frac{2 \pi}{3}$ এবং $2 \mathrm{mn}=a b$ হলে দেখাও যে, $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{b}}-\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

ক. $\sin \theta+\cos \theta+\sqrt{2 \sin 2 \theta}=0$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

খ. $f(x)+f(2 x)+f(3 x)=0$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\alpha-\frac{1}{2} \beta+\cot ^{-1} 2=\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{56}{33}$

$f(x)=\sqrt{3} x^{2}-(1-\sqrt{3}) x-1$

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan ^{-1}\left(\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}\right)=\theta$

খ. $\mathrm{f}(\tan \theta)=0$ সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

গ. $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে $\alpha^{2}+\beta^{2}$ ও $\alpha \beta$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

ক. $\sin ^{-1} x+2 \cos ^{-1} x=\frac{2}{3} \pi$ সমীকরণটির সমাধান নির্ণয় কর।

খ. $\sec ^{2} x-3 \sec ^{2} y=\tan \left(2 \tan ^{-1} t\right)$ হলে দেখাও যে, $\mathrm{t}=\frac{-1 \pm \sqrt{170}}{13}$

গ. দেখাও যে, $z=\tan ^{-1} \frac{4 \sqrt{3}+1}{4-\sqrt{3}}$

$f(x)=6 x^{2}-{x}-1, g(x)=\sin x, h(x)=\cos x$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\sin ^{-1} \frac{12}{13}=\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{2016}{4225}$

খ. $3 \mathrm{~h}(2 \theta)+\left\{\mathrm{h}\left(\frac{\theta}{2}\right)\right\}^{2}+\{g(\theta)\}^{2}=0 ;-\pi<\theta<\pi$ হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\frac{1}{\mathrm{f}(\mathrm{x})}$ এর বিস্তৃতিতে $\mathrm{x}^{\mathrm{r}}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

$f(x)=\operatorname{cosec} x, g(x)=\tan x$

ক. $x=\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{3}{5}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\tan x=\frac{1}{2}$

খ. $2 \tan ^{-1}\{f(x)\}=\cot ^{-1}\left(\frac{\cos x}{2}\right)$ এর সাধারণ সমাধান নিৰ্ণয় কর ।

গ. $\tan ^{-1}\left\{\mathrm{f}\left(\cos ^{-1} \mathrm{x}\right)\right\}-\tan ^{-1}\left\{\mathrm{~g}\left(\sin ^{-1} \mathrm{x}\right)\right\}=\tan ^{-1} \frac{(1-\mathrm{x}) \sqrt{1-\mathrm{x}^{2}}}{1+\mathrm{x}-\mathrm{x}^{2}}$

$P=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}}-\cos ^{-1} \frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}$ এবং

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\sin ^{-1} \frac{5}{13}+\sin ^{-1} \frac{33}{65}=\frac{\pi}{2}$

খ. $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}+\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\sqrt{3}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\theta=2 n \pi+\frac{\pi}{3}$ যেখানে $n\in \mathbb{Z}$

গ. $P=4 \tan ^{-1} \frac{1}{2}$ হলে প্রমাণ কর যে, $3(x-y)-4(x y+1)=0$

ক. $\tan x+\tan 3 x=0$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}\right)+\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\right)=\frac{2 \mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}$

গ. প্রমাণ কর যে,$\sin \cos ^{-1} \tan \sec ^{-1}\left(\frac{A C}{A B}\right)=\sqrt{1-\tan ^{2} \alpha}$

$f(x)=2 \sqrt{2} x^{2}-(2+\sqrt{2}) x+1$

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan ^{-1}\{(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \tan \alpha\} -\tan ^{-1}\{(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \tan \alpha\}=\tan ^{-1}(\sqrt{2} \sin 2 \alpha)$

খ. $f(\cos \theta)=0$ সমীকরণ হতে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর,

যেখানে $-\pi<\theta < \pi .$

গ. $f(x)<0$ অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

$f(x)=\sin x, g(x)=\cos x$

ক. $p+i q$ জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট $\frac{\alpha}{3}$ হলে প্রমাণ কর যে,

$\alpha=\tan ^{-1} \frac{q\left(3 p^{2}-q^{2}\right)}{p\left(p^{2}-3 q^{2}\right)}$

খ. $f(x)+f(2 x)+f(3 x)=1+g(x)+g(2 x)$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $f\left(4 \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right)=g\left(2 \tan ^{-1} \frac{1}{7}\right)$

$\mathrm{x}^{3}-\mathrm{px}^{2}+q \mathrm{x}-\mathrm{r}=0$ এর মূলত্রয় $a, b, c$ এবং $a \tan \theta+b \sec \theta=c$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$

ক. $x^{2}+a x+b=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় যদি সমান হয় এবং অপর সমীকরণ $x^{2}+a x+8=0$

এর একটি মূল যদি $4$ হয়, তবে $b$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $p =q=r= 1$ হলে ১ম সমীকরণটির কাল্পনিক মূলদ্বয়ের বর্গমূল নির্ণয় কর ৷

গ. ২য় সমীকরণটির সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $\tan (\alpha+\beta)=\frac{2 \mathrm{ac}}{\mathrm{a}^{2}-\mathrm{c}^{2}}$

$\begin{array}{l}A=\tan ^{-1} \frac{3}{4}-2 \tan ^{-1} \cdot \frac{1}{5} \\f(\theta)=\sqrt{3} \cot ^{2} \theta+4 \cot \theta+\sqrt{3}\end{array}$

ক. $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y=\frac{\pi}{2}$ হলে দেখাও যে, $x^{2}+y^{2}=1$

খ. প্রমাণ কর যে, $A=\cos ^{-1} \frac{63}{65}$

গ. $f(\theta)=0$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর ।

$f(\theta)=\sin \theta$ এবং $g(x)=\sin ^{-1} x$

ক. $\cot x+\cot 2 x+\cot 3 x=\cot x \cot 2 x \cot 3 x$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

খ. $f(\theta)+f(5 \theta)=f(3 \theta)$ হলে $\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi$ ব্যবধিতে সমীকরণটির সমাধান নির্ণয় কর।

গ. $g(x)+g(y)^{}+g(z)=\pi$ হলে দেখাও যে,

$x \sqrt{1-x^{2}}+y \sqrt{1-y^{2}}+z \sqrt{1-z^{2}}=2 x y z$

$p=\cos \theta, q=\sin \theta$

ক. $\mathrm p+\mathrm i \mathrm q$ জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট $\frac{\alpha}{3}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\alpha=\tan ^{-1} \frac{q\left(3 p^{2}-q^{2}\right)}{p\left(p^{2}-3 q^{2}\right)}$

খ. $p+\sqrt{3} q=2$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

গ. $\sin (\pi p)=\cos (\pi q)$ হলে দেখাও যে, $\theta= \pm \frac{\pi}{4}+\cos ^{-1} \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

$\begin{array}{l}m=\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z \\f(x)=\sin x+\cos x\end{array}$

ক. $\mathrm{m}=\pi$ হলে দেখাও যে, $x+y+z=x y z$

খ. $f(x)=f(2 x)$ হলে x নির্ণয় কর।

গ. $x=\frac{1}{2} \tan 2 \theta, y=\cot \theta$ এবং $z=\cot ^{3} \theta$ হলে $m$ নির্ণয় কর।

ক. প্রমাণ কর যে, $2 \tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{4}=\tan ^{-1} \frac{32}{43}$

খ. প্রমাণ কর যে, $\cos ^{-1}\{1+\cos 2 \theta\}^{\frac{1}{2}}=\sin ^{-1} \frac{\sqrt{\mathrm{y}^{2}-\mathrm{x}^{2}}}{\mathrm{r}}$

গ. $\frac{x}{r}+\frac{\sqrt{3} y}{r}=\sqrt{2}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\theta=\frac{\pi}{12}$ অথবা, $\theta=\frac{7 \pi}{12}$

ক. $\mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=3, \mathrm{c}=4$ হলে, $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় নির্ণয় কর।

খ. $c x^{2}+b x+a=0$ এর একটি মূল $f(x)=0$ এর একটি মূলের অর্ধেক হলে

দেখাও যে,$2 a=c$ অথবা $(2 a+c)^{2}=2 b^{2}$

গ. $C=\frac{3 \pi}{4}$ এবং $2 m n=a b$ হলে দেখাও যে, $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{b}}-\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{a}}=\frac{3}{2}$

ক. দেখাও যে, $\cot ^{-1}\left(1-a+a^{2}\right)=\tan ^{-1} a-\tan ^{-1}(a-1)$

খ. $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\alpha^{3}+\beta^{3}$ ও $\alpha^{-2} \beta^{-2}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}-\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}=\frac{4}{3}$ হলে দেখাও যে, $\theta=\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4}$

ক. $\cot ^{2} \theta+\operatorname{cosec}^{2} \theta=3$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}\right) +\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}\right)=\frac{2 \mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}$

গ. প্রমাণ কর যে,$\sin \cos ^{-1} \tan \sec ^{-1}\left(\frac{A C}{B C}\right)=\sqrt{1+\sin ^{2} \alpha}$

$\mathrm{P}=2 \tan ^{-1}\left\{\tan \frac{\alpha}{2} \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)\right\}$ এবং

ক. $x=\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{5}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\tan x=\frac{1}{3}$ অথবা $\tan x=3$

খ. $\frac{A B}{A C}+\frac{A C}{A B}=\frac{3}{\sqrt{2}}$ হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $P=\tan ^{-1} \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\sin \beta+\cos \alpha}$