Questions in this chapter

ক. $\tan ^{-1} x+2 \cot ^{-1} x=\frac{2}{3} \pi$ সমীকরণটির সমাধান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\sec ^{2} x+\operatorname{cosec}^{2} y=11 \frac{1}{4}$

গ. দেখাও যে, $z=\frac{\pi}{4}$

$f(x)=\sin x, g(x)=\cos x, h(x)=\cot ^{-1}(x)$

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan ^{-1} \frac{m}{n}-\tan ^{-1} \frac{m-n}{m+n}=\frac{\pi}{4}$

খ. $f(\pi \operatorname{cosec} \theta)=g\left(\frac{\pi}{2} \operatorname{cosec} \theta\right)$ হলে দেখাও যে,

$\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{4 n+1}\right)$ অথবা $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{1}{1-4 n}\right)$

গ. $h(2 n-1)-h(2 n+1)=h\left(2 n^{2}\right)$ প্রমাণ করে এর সাহায্যে

দেখাও যে, $\cot ^{-1}\left(2.1^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2.2^{2}\right) \cot ^{-1}\left(2.3^{2}\right)=\cot ^{-1} \frac{4}{3}$

$\begin{array}{l}P=\tan (\theta-\alpha) \tan (\theta-\beta) \\Q=2 \sqrt{3} \cos ^{2} \theta+\cos \theta-2 \sqrt{3}\end{array}$

ক. $-1-\sqrt{3} i$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. $Q=0$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

গ. $P=\tan ^{2} \theta$ হলে দেখাও যে, $\theta=\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}$

$f(x)=6 x^{2}-x-1$

ক. $f(x)=2$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর ।

খ. $\mathrm{f}(\sin \theta)=0$ সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

গ. $\frac{1}{\mathrm{f}(\mathbf{x})}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

$f(x)=\sqrt{2} x^{2}-3 x+\sqrt{2}$

ক. $\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)=\sin ^{-1} x$ হলে x এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{f}(\sin \theta)=0$ সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

গ. $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে $\alpha^{2}+\beta^{2}$ ও $\alpha^{3}+\beta^{3}$

মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

$f(x)=\tan ^{-1} x$ এবং

ক. দেখাও যে, যে, $\tan ^{-1} \frac{1}{2}+\tan ^{-1} \frac{1}{3}=\frac{\pi}{4}$

খ. $f(1+a)-f(a)=f\left(\frac{1}{1+a+a^{2}}\right)$ প্রমাণ করে এর সাহায্যে

দেখাও যে, $\cot ^{-1} 3+\cot ^{-1} 7+\cot ^{-1} 13+\cot ^{-1} 21=\cot ^{-1} \frac{3}{2}$

গ. প্রমাণ কর যে, $\sin \cot ^{-1} \cdot \cos \tan ^{-1} \sec \theta=\sqrt{\frac{1+x^{2}}{2+x^{2}}}$

$\text { (i) } \sin ^{-1} x-\cos ^{-1} y=\frac{\pi}{6}$

$\text { (ii) } \sin x-\sin 3 x=\cos 2 x$

ক. $\tan \left(2 \tan ^{-1} \frac{3}{7}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. (i) এর সাহায্যে দেখাও যে, $4\left(x^{2}+y^{2}-x y\right)=3$

গ. (ii) এর সমীকরণটি $(-\pi \leq \mathrm{x} \leq \pi)$ ব্যবধিতে সমাধান কর।

$\text { (ii) } \operatorname{cosec} 2 \theta=\sec \theta$

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan ^{-1} \frac{5}{2}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}=\tan ^{-1} \frac{33}{19} .$

খ. দেখাও যে, $\alpha+\beta=\frac{\pi}{3} .$

গ. $-2 \pi<\theta<2 \pi$ ব্যবধিতে (ii) এর সমীকরণটি সমাধান কর ।

$\sin Z=\frac{2 p}{1+p^{2}}, \cos M=\frac{1-q^{2}}{1+q^{2}}$

$\tan \frac{\mathrm{N}}{2}=x, \cos L=\frac{r}{s}, \cos R=\frac{e}{f}$

ক. $\sin \left(2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{Z}-\mathrm{M}=\mathrm{N}$ হলে দেখাও যে, $x=\frac{p-q}{1+p q}$

গ. $L+R=\theta$ হলে দেখাও যে,$\frac{r^{2}}{s^{2}}-\frac{2 \mathrm{recos} \theta}{s f}+\frac{e^{2}}{f^{2}}=\sin ^{2} \theta .$

ক. $x=\sin \left(\cos ^{-1} y\right)$ হলে $x^{2}+y^{2}$ এর মান কত?

খ. প্রমাণ কর যে, $\theta+\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{5}{13}-\cot ^{-1} 2=\tan ^{-1} \frac{28}{29}$

গ. সমাধান কর : $\cos ^{3} x \sin 3 x+\sin ^{3} x \cos 3 x=\tan \theta$

$f(x)=\tan x, g(x)=\tan ^{-1} x .$

ক. $f\left(\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$এর মান কত?

খ. প্রমাণ কর, $f(2 g(x))=2 f\left(g(x)+g\left(x^{3}\right)\right)$

গ. সমাধান কর: $\mathrm{f}(\theta) \mathrm{f}(2 \theta)=1,0 \leq \theta \leq \pi$

$f(x)=\sin x, g(x)=\cos x$

ক. $g\left(2 \tan ^{-1} \frac{1}{7}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(\pi \cos \theta)=g(\pi \sin \theta)$ হলে দেখাও যে, $\theta= \pm \frac{\pi}{4}+\cos ^{-1} \frac{1}{2 \sqrt{2}} .$

গ. সমাধান কর: $\frac{\sqrt{3}}{f(2 x)}-\frac{1}{g(2 x)}=4 .$

$a \cos \theta+b \sin \theta=c$ একটি সমীকরণ।

ক. $\arctan \left\{\sin \left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\right\}$ এর মান কত?

খ, $a=b=c=1$ হলে উদ্দীপকের সমীকরণটি $-2 \pi<\theta<2 \pi$ ব্যবধিতে সমাধান কর।

গ. সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে প্রমাণ কর যে, $\sin (\alpha+\beta)=\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}}$

ক. দেখাও যে, $\tan ^{-1} y=\frac{1}{2} \operatorname{cosec}^{-1} \frac{1+y^{2}}{2 y}$

খ. দেখাও যে, $\sin \cot ^{-1} \tan \cos ^{-1} \frac{3}{4}=\cot \theta .$

গ. সমাধান কর: $\mathrm{d} \tan ^{2} \alpha-\sec ^{2} \alpha=11,-\pi \leq \alpha \leq \pi$ যেখানে $d$ হচ্ছে

উদ্দীপকের ত্রিভুজটির পরিব্যাস।

$\begin{array}{l}\text{(i) } f(x)=\tan ^{-1} x\\\text{(ii) } \cos ^{3} x-\cos x \sin x-\sin ^{3} x=1\end{array}$

ক. দেখাও যে, $f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4} .$

খ. সমাধান কর: $f(x+1)+f(x)+f(x-1)=f(3 x)$

গ. (ii) নং সমীকরণটি সমাধান কর।

ক. $\mathrm{AB}=2$ হলে, y কে x এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

খ. দেখাও যে,$\sin \cos ^{-1} \tan \theta=\frac{\sqrt{2 y^{2}-x^{2}}}{y}$

গ. $\mathrm{AB}=2, \mathrm{y}=\sqrt{5}$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$\sin ^{2}\left(\cos ^{-1} \frac{1}{x}\right)-\cos ^{2}\left(\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{x}}\right)=\frac{2}{9} .$

$f(x)=\sin x, g(x)=\tan ^{-1} x$

ক. $f\left(\mathrm{~g}(3)+g\left(\frac{1}{3}\right)\right)$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. দেখাও যে, $\sec ^{2}(g(2))+\operatorname{cosec}^{2}\left(g\left(\frac{1}{3}\right)\right)=15$

গ. 'সমাধান কর: $\sqrt{3} \mathrm{f}(\theta)-f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\mathrm{g}(\tan 2)$ যেখানে $-2 \pi<\theta<2 \pi$

$f(x)=\cos x, g(x)=\tan ^{-1} x$

ক. দেখাও যে, $g\left(\frac{1}{2}\right)+g\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}$

খ. প্রমাণ কর যে, $2 g\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right)=\cos ^{-1} \frac{b+a f(\theta)}{a+b f(\theta)}$

গ. সমাধান কর:$\sqrt{3} f(x)+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1,-2 \pi<x<2 \pi$

$f(x)=\sin ^{-1} x$ একটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ।

ক. $f(x)=\tan ^{-1} a$ হলে, $a = ?$

খ. $f(\mathrm{x})+f(\mathrm{y})=\frac{\pi}{2}$ হলে, দেখাও যে, $x^{2}+y^{2}=1$

গ. $f(\mathrm{x})+f(\mathrm{y})+f(\mathrm{z})=\pi$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$x \sqrt{1-x^{2}}+y \sqrt{1-y^{2}}+z \sqrt{1-z^{2}}=2 x y z$

$f(x)=\cos x, g(x)=\sin x$

ক. $f\left(\cot ^{-1} \frac{3}{4}\right)$ এর মান কত?

খ. $f(\pi g(\theta))=g(\pi f(\theta))$ হলে দেখাও যে $\theta= \pm \frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4}$

গ. সমাধান কর : $f(x)+g(x)=f(2 x)+g(2 x)$