Questions in this chapter

$\begin{array}{l}\text{(i) } \cot ^{-1}\left(2 \cdot n^{2}\right)=\cot ^{-1}(2 n-1)-\cot ^{-1}(2 n+1) \text{;}\\\text{(ii) } 4 \cos x \cos 2 x \cos 3 x=1 \text{.}\end{array}$

ক. $(4 \cos x+3 \sin x)$ কে $r \cos (x-\alpha)$ যেখানে, $\mathbf{r} \in \mathbb{R}$ এবং $\alpha<\frac{\pi}{2}$ আকারে প্রকাশ কর ।

($\alpha$ এর মান দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)

খ. $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ ব্যবধিতে (ii) এ প্রদত্ত সমীকরণ সমাধান কর ।

গ. উদ্দীপকের (i) এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

$\cot ^{-1}\left(2.2^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2.3^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2.4^{2}\right)=\cot ^{-1} \frac{14}{3}$

$\begin{array}{l}\text{(i) } 10 \cos ^{2} \theta+\cos \theta=11 \sin ^{2} \theta-9 \text{;}\\\text{(ii) } 4 \operatorname{cosec}^{2} 2 \theta-\operatorname{cosec}^{2} \theta=4\end{array}$

ক. $\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\frac{\pi}{2}$ হলে, দেখাও যে, $x^{2}+y^{2}=1$

খ. $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ ব্যবধিতে (i) সমীকরণটি সমাধান কর। (রেডিয়ানে দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)।

গ. $0<\theta<2 \pi$ ব্যবধিতে (ii) সমীকরণটি সমাধান কর ।

$\begin{array}{l}\text{(i) } \tan ^{-1} x+\tan ^{-1}(x-1)=\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{10}}\\\text{(ii) } \sin \cot ^{-1} \tan \cos ^{-1} \frac{1}{x} \text{.}\end{array}$

ক. $f(x)=\cos x+2$ হলে, $\mathrm{f}^{-1}(x)$ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, (ii) এর মান $\frac{1}{x} .$

গ. (i) এর সমাধান কর ।

$\sin \theta=\frac{3}{5}, f(x)=\cos x, g(x)=\sin x$

ক. দেখাও যে, $\tan ^{-1} \sqrt{x}=\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{1-x}{1+x}$

খ. প্রমাণ কর যে, $\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2} \theta+\tan ^{-1} \frac{1}{3}=\tan ^{-1} 2$

গ. সমাধান কর : $g(\theta)-f(2 \theta)=2,$

যখন $-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi$

$\cos \alpha=\frac{x}{a}, \cos \beta=\frac{y}{b}$ এবং $\phi(x)=\sin x$

$\psi(x)=\cos x$

ক. $\sin ^{-1} \frac{2 a}{1+a^{2}}-\cos ^{-1} \frac{1-b^{2}}{1+b^{2}}=2 \tan ^{-1} x$ হলে, দেখাও যে, $x=\frac{a-b}{1+a b}$

খ. $\alpha+\beta=\theta$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{2 x y}{a b} \cos \theta+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sin ^{2} \theta$

গ. সাধারণ সমাধান করঃ $\phi(\theta)+\phi(3 \theta)=\psi(4 \theta)+\psi(6 \theta)$

$\sin \alpha=\frac{4}{5}, \cos \beta=\frac{2}{\sqrt{5}}, f(x)=\cos x$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$

খ. উদ্দীপক অবলম্বনে দেখাও যে, $\tan (\alpha+\beta)=\frac{11}{2}$

গ. সাধারণ সমাধান কর :$f(9 \theta) f(7 \theta)=f(5 \theta) f(3 \theta)$

$f({x})=\tan ^{-1} x$ এবং $g(x)=\sin x$

ক. প্রমাণ কর : $2 f(3)+f(7)=\frac{\pi}{4}$

খ. দেখাও যে, $2 f\left(\sqrt{\frac{a}{b}} \tan \frac{\theta}{2}\right)$

$=\sin ^{-1} \frac{2 \sqrt{a b} g(\theta)}{b+a+(b-a) g(\theta)}$

গ. সমাধান কর : $2 g(\theta) g(3 \theta)=1$ যখন $0<\theta<2 \pi$

দৃশ্যকল্প- ১

দৃশ্যকল্প-২ : $\phi(x)=\sin x$

ক. দৃশ্যকল্প-১ অবলম্বনে দেখাও যে,

$\sin \cot ^{-1} \cos \tan ^{-1} x=\sqrt{\frac{1+x^{2}}{2+x^{2}}}$

খ. $\sin \left\{\pi \phi\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}=\cos \{\pi \phi(\theta)\}$ হলে দেখাও যে,

$\theta= \pm \frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4}$

গ. সাধারণ সমাধান কর : $\phi(7 \theta)-\sqrt{3} \phi\left(\frac{\pi}{2}-4 \theta\right)=\phi(\theta) .$

$\sin \alpha=\frac{3}{5}, \cos \theta=\frac{5}{13}, \tan \beta=\frac{1}{2}$ এবং $f(x)=\sin x$

ক. দেখা$\sec ^{2}\left(\tan ^{-1} 4\right)+\tan ^{2}\left(\sec ^{-1} 3\right)=25$

খ. সমাধান কর : $\{f(\theta)\}^{2}+f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{5}{4}$ যখন $-2 \pi<\theta<2 \pi$

গ. প্রমাণ কর যে, $\tan \left(\frac{1}{2} \theta+\alpha-\beta\right)=\frac{28}{29}$

$f(x)=\sin x, x \in]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} [$ এর বিপরীত ফাংশন $f^{-1}(x)=\sin ^{-1} x .$

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan ^{-1} \frac{5}{7}+\cot ^{-1} \frac{8}{5}=\cot ^{-1} \frac{31}{75}$

খ. প্রমাণ কর যে, $f^{-1}(\sqrt{2} \sin \theta)+f^{-1}(\sqrt{\cos 2 \theta})=\frac{\pi}{2}$

গ. $y=f^{-1}(x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন $x \in[-1,1]$

$f(x)=\sqrt{3} \sin x-\cos x$ এবং $g^{-1}(x)=\cos ^{-1} x$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sec ^{2}\left(\tan ^{-1} 2\right)+\operatorname{cosec}^{2}\left(\cot ^{-1} 3\right)=15$

খ. $g^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+g^{-1}\left(\frac{x}{b}\right)=\theta$ হলে দেখাও যে,

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{2 x y \cos \theta}{a b}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sin ^{2} \theta$

গ. $f(x)=2$ সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করো ।

$\begin{array}{l}\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=\pi \ldots \ldots \ldots \text { (i) } \\\cos \theta-\cos 7 \theta=\sin 4 \theta \ldots \ldots . \text { (ii) }\end{array}$

ক. প্রমাণ কর যে, $2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{7}=\frac{\pi}{4}$

খ. (i) এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y=1$

গ. (ii) সমীকরণটি সমাধান কর

$A=2 \sin ^{-1} \frac{1}{3}+\cos ^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}, f(\theta)=\cos \theta$

ক. প্রমাণ কর যে, $\cos ^{-1}(\sqrt{2} \sin \theta)+\cos ^{-1}(\sqrt{\cos 2 \theta})=\frac{\pi}{2}$

খ. প্রমাণ কর যে, $A=\tan ^{-1} \frac{5}{\sqrt{2}}$

গ. $3 f(\theta)+2 f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=1$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর ।

$f(\theta)=\sin \theta, g(x)=\sin ^{-1} x$ এবং $\mathrm{h}({\mathbf{x}})=\tan ^{-1} \mathrm{x}$

ক. $4\left(\sin ^{2} \theta+\cos \theta\right)=5$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

খ. $f\left(\frac{\pi}{2}-6 x\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-4 x\right)=f(3 x)+f(x)$ সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{h}\left(\frac{3}{4}\right)+\mathrm{g}\left(\frac{5}{12}\right)=\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3696}{4225}$

$p=\cot \theta, q=\tan \theta$

ক. $\operatorname{cosec}\left(2 \sin ^{-1} \frac{1}{7}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $p^{2}+q^{2}=2 \tan \left(\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}+\tan ^{-1} \frac{1}{3}\right)$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

গ. $\tan (\pi p)=\cot (\pi q)$ হলে দেখাও যে,

$\tan \theta=\frac{1}{4}(2 n+1) \pm \sqrt{\left.4 n^{2}+4 n-15\right)}$

যেখানে $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}$ এবং $n<-2$ অথবা $n>1$

$f(x)=\tan x, g(y)=\tan ^{-1}(y)$

ক. $\sin \left\{\frac{1}{2}\left(\sec ^{-1} 3+\cot ^{-1} 2 \sqrt{2}\right)\right\}$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $\tan \left\{g\left(\frac{1}{2}\right)+g\left(\frac{1}{3}\right)\right\}=f(x) f(2 x)$ এর সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর ৷

গ. প্রমাণ কর যে, $2 g\left(\frac{1}{5}\right)+g\left(\frac{1}{7}\right)+\cos ^{-1} \frac{63}{65}=\frac{\pi}{4}$

ক. প্ৰমাণ কর যে, $\sin ^{-1} \frac{4}{5}+\cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}=\tan ^{-1} \frac{11}{2}$

খ. $\frac{3}{\mathrm{BC}}-\frac{3}{\mathrm{AC}}=4$ হলে দেখাও যে, $\theta=\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{3}{\sqrt{7}}$

গ. $2 \frac{A C^{2}}{B C}+1=\frac{A C}{B C}+2 A C$ এর সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

ক. প্রমাণ কর যে, $\tan ^{-1} \frac{2}{3}+\sec ^{-1} \frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{\pi}{2}$

খ. প্রমাণ কর যে, $\sin \cos ^{-1} \tan \sec ^{-1}(\cot \theta)=\sqrt{2-\cot ^{2} \theta}$

গ. $\frac{\sqrt{2} x}{r}-\frac{\sqrt{2} y}{r}=1$ হলে প্রমাণ কর যে, $\theta=\frac{\pi}{12}$

ক. $\sin \left(2 \cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(\cot \theta)=0$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{AD}=\sqrt{5}, \mathrm{DE}=2, \mathrm{AC}=13, \mathrm{BC}=5$ হলে প্রমাণ কর যে,

$\beta-\alpha=\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{837}{845}$

$f(x)=\tan x, g^{-1}(y)=\cot ^{-1} y$

ক. $x=\sin \cos ^{-1} y$ হলে প্রমাণ কর যে, $x^{2}+y^{2}=1$

খ. $\sec ^{2}\left\{\mathrm{~g}^{-1}(\mathrm{x})\right\}+\sin \cot ^{-1} \tan \left\{\mathrm{g}^{-1}(\mathrm{x})\right\}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $2 f\left\{2 g^{-1}(3)-g^{-1}(7)\right\}=f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-f(x)$ এর সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।