Questions in this chapter

$f(x)=\sin x$ এবং $g(x)=\tan ^{-1} x$

ক. দেখাও যে, $\operatorname{cosec}^{2}\left(\tan ^{-1} \frac{1}{2}\right)-3 \sec ^{2}$

$\left(\cot ^{-1} \sqrt{3}\right)=\sin \frac{\pi}{2}$

খ. $g(x)+g(y)+g(z)=\pi$ হলে প্রমাণ কর যে, $x+y+z=x y z$

গ. সমাধান কর : $f\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)+\sqrt{3} f(\theta)^{}=\sqrt{2}$

$f(x)=\sin ^{-1} x$

ক. দেখাও যে,$f(x)=\operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{x}$ যখন $-1 \leq x \leq 1$

খ. দেখাও যে $f(\sqrt{2} \sin \theta)+\mathrm{f}(\sqrt{\cos 2 \theta})=\frac{\pi}{2}$

গ. $f(x)+f(y)+f(z)=\pi$ হলে দেখাও যে,

$x \sqrt{1-x^{2}}+y \sqrt{1-y^{2}}+z \sqrt{1-z^{2}}=2 x y z$

$f(\theta)=\sin ^{2} 2 \theta-3 \cos ^{2} \theta ; g(\theta)=3 \tan \theta+\cot \theta$

$\mathrm{h}(\theta)=5 \operatorname{cosec} \theta$

ক. এর জন্য $\mathrm{f}(\theta)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(\theta)=0$ হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{g}(\theta)=\mathrm{h}(\theta)$ হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

$A=1+\sqrt{3} \tan ^{2} \theta, B=(1+\sqrt{3}) \tan \theta$ এবং $C=\tan 2 \theta \tan \theta$

ক. $\sin \left(2 \tan ^{-1} \frac{5}{7}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{A}=\mathrm{B}$ হলে $0<\theta<2 \pi$ ব্যবধিতে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $C = 1$ সমীকরণটি সমাধান কর।

$\mathrm{f}(\theta)=\tan ^{-1} \theta, g(\theta)=\cos ^{-1} \theta$

ক. দেখাও যে, $f(\sqrt{x})=\frac{1}{2} g\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$

খ. দেখাও যে, $2 f\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right)=g\left(\frac{b+a \cos \theta}{a+b \cos \theta}\right)$

গ. x এর কোন কোন মানের জন্য ,

$f(x+2)+f(x-2)-f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ হবে ?

$f(x)=\cos ^{-1} x$ এবং $g(x)=3 \tan ^{2} x-4 \sqrt{3} \sec x+7$

ক. $f(x)+f(y)=\frac{\pi}{2}$ হলে দেখাও যে, $x^{2}+y^{2}=1$

খ. দেখাও যে, $f\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)-f\left(\frac{\sqrt{6}+1}{2 \sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}$

গ. $g(x)=0$ সমীকরণের সমাধান কর, যখন $0<x<2 \pi$

$f(\theta)=\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta ; g(\theta)=\cos \theta-\cos 7 \theta$

ক. দেখাও যে, $\cos ^{-1} \frac{4}{5}+\cot ^{-1} \frac{5}{3}=\tan ^{-1} \frac{27}{11}$

খ. $f(\theta)=2$ হলে $-2 \pi<\theta<2 \pi$ ব্যবধিতে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\theta$ এর কোন মানের জন্য $\mathrm{g}(\theta)$ এর মান $\sin 4 \theta$ এর সমান হবে?

$f(x)=\tan ^{-1} x$ একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ।

ক. $\tan ^{-1} \frac{2}{3}+\sec ^{-1} \frac{\sqrt{13}}{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $2 \tan ^{-1}\left\{\operatorname{cosec}(f(x))-\tan \left(f\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right\}=f(x)$

গ. সমাধান কর : $f(x+1)+f(x)+f(x-1)=f(3 x)$

$\text { (i) } 2 \cos ^{2} \theta+5 \sin \theta-4=0 \text {; }$

$\text { (ii) } \cot ^{-1}(\sqrt{3}-1)+\cot ^{-1}(\sqrt{3}+1)+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$

ক. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ ও এর সমাধান বলতে কি বোঝায়?

খ. উদ্দীপকের (i) থেকে দেখাও যে, $\theta=\cot ^{-1} \sqrt{3}$

গ. উদ্দীপকের (ii) থেকে দেখাও যে, $x=2 \sqrt{3} \text {. }$

$\text { (i) } \sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}+\cot ^{-1} 3+\frac{1}{2} \tan ^{-1} 1$

$\text { (ii) } \sqrt{3}(\tan \theta+\tan 5 \theta)+\tan \theta \tan 5 \theta=1 \text {. }$

ক. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মূখ্যমান বলতে কি বোঝায়?

খ. দেখাও যে, উদ্দীপকের (i) এর রাশিটির মান $=\frac{3 \pi}{8}$

গ. $0 \leq \theta \leq \pi$ ব্যবধিতে উদ্দীপকের (ii) এর সমীকরণটির সমাধান কর।

$\text { (i) } \frac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}{1-\sin ^{2} x}+2=0 ;\left(x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}\right)$

$\text { (ii) } \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\frac{\pi}{2}$

ক. উদাহরণের মাধ্যমে দেখাও যে, x ও y এর সব মানের জন্য

$\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\tan ^{-1} \frac{x+y}{1-x y}$ সত্রটি প্রযোজ্য নয় ৷

খ. $0<x<2 \pi$ ব্যবধিতে উদ্দীপকের (i) সমীকরণটির সমাধান কর।

গ. $x, y, z$ এর মাধ্যমে উদ্দীপকের (ii) কে প্রকাশ কর ।

$\text { (i) } \tan x+\tan 2 x+\tan 3 x=\tan x \tan 2 x \tan 3 x \text {; }$

$\text { (ii) } \cos ^{-1} \frac{3}{5}+\tan ^{-1} \frac{2}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{18}$

ক. '${ }^{} \sin ^{-1} x$একটি অন্বয়' –ব্যাখ্যা কর।

খ. $0<x<2 \pi$ ব্যবধিতে (i) এর সমাধান কর।

গ. দেখাও যে $(ii)$ এর মান $\frac{\pi}{2} \text { }$

$\text { (i) } \tan x \tan 5 x=1 \text {; }$

$\text { (ii) } \cos ^{-1} \frac{3}{5}+\cos ^{-1} \frac{12}{13}+\operatorname{cosec}^{-1} \frac{65}{16}$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin \left(2 \sin ^{-1} x\right)=2 x \sqrt{1-x^{2}}$

খ. $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ ব্যবধিতে (i) সমাধান কর ।

গ. দেখাও যে, (ii) এর মান $\frac{\pi}{2}$

ক. $\sin B$ নির্ণয় কর।

খ. $\left(\frac{A C}{A B}\right)^{2}+3 \frac{A C}{A B}+2=0$ থেকে প্রাপ্ত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান কর,

যখন $-\pi \leq \theta \leq \pi$

গ. $2\left(\frac{A C}{A B}\right)^{2}-9 \frac{B C}{A B}+3=0$ থেকে প্রাপ্ত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি $-360^{\circ} \leq \theta \leq 360^{\circ}$

ব্যবধিতে সমাধান কর ।

$\text { (i) } \sin ^{-1}(\sqrt{2} \sin \theta)+\sin ^{-1}(\sqrt{\cos 2 \theta})$

$\text { (ii) } 5 \sin 2 \theta-\cos ^{2} 2 \theta+2 \sin ^{2} 2 \theta=1$

ক. $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\frac{x+y}{1-x y}$ সূত্রটি কি শর্তে প্রযোজ্য?

খ. দেখাও যে; (i) এ প্রদত্ত রাশির মান $=\frac{\pi}{2}$

গ. $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ ব্যবধিতে (ii) এ প্রদত্ত সমীকরণটি সমাধান কর

(দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)।

$y=f(x)=\cos x$ হলে, যেখানে $x=\sin ^{-1} \frac{1}{2}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}$

ক. $\mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. কেবল মূখ্যমান নিয়ে $\mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর ।

গ. প্রমাণ কর যে, $y=\frac{3 \sqrt{3}-4}{10}$

$\text { (i) } \sin ^{-1} \frac{4}{5}+x=\tan ^{-1} \frac{11}{2}$

$\text { (ii) } \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} \frac{1}{2}=\pi$

ক. $\sin ^{-1} x=\cos ^{-1} x$ হলে, প্রমাণ কর যে, $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

খ. (i) থেকে x কে $\cos ^{-1}$ ফাংশনে প্রকাশ কর ।

গ. (ii) থেকে প্রমাণ কর যে, $x^{2}+y^{2}+x y=\frac{3}{4}$

$\cos ^{-1} \frac{x}{2}+\cos ^{-1} \frac{y}{3}=0$

ক. দেখাও যে,$\sin \theta \cos \theta+3 \cos \theta-2 \sin \theta-6=0$ সমীকরণের কোনো সমাধান নেই ।

খ. দেখাও যে, $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{x y}{3}=0$

গ. $f(x)=\cos ^{-1} \frac{x}{2}$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

ক. $\theta$ কে $\cos ^{-1}$ ফাংশনে প্রকাশ কর।

খ. $(A-B)$ কোণকে $\tan ^{-1}$ ফাংশনে প্রকাশ কর ।

$A-B=\frac{\pi}{4}$ হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\angle \mathrm{D}=\tan ^{-1} 2$ এবং $\angle \mathrm{E}=\tan ^{-1} 3$ হলে, $F$ কোণের মান নির্ণয় কর।

$\begin{array}{l}\text{(i) } f(\theta)=\sin \theta+\cos \theta+1 \text{;}\\\text{(ii) } \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2 \sin 2 \theta}\end{array}$

ক. অপ্রাসঙ্গিক মূল বলতে কি বোঝায়? সমাধানের ক্ষেত্রে সাধারণত কখন অপ্রাসঙ্গিক মূল পাওয়া যায়?

খ. দেখাও যে, $0 \leq \theta \leq \pi$ ব্যবধিতে $\mathrm{f}(\theta)=0$ এর কেবল একটি সমাধান পাওয়া যায় ।

গ. (ii) সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।