Questions in this chapter

$\mathrm{F}=\mathrm{b}-\mathrm{cx}$

ক. $b = 7$ এবং $x=\frac{30 \sqrt{-2}}{c}$ হলে $\sqrt{\mathrm{F}}$ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\mathrm{F}^{\frac{-1}{2}}$ এর বিস্তৃতিতে $(r + 1)$ তম পদের সহগ $\frac{(2 r) !}{(r !)^{2} 2^{r}}$

যখন $b = 1$ এবং $c = 2$

গ. $c = − 3$ হলে $\mathrm{F}^{\mathrm{m}}$ এর বিস্তৃতির প্রথম তিনটি পদ যথাক্রমে $\mathrm{p}, \frac{21}{2} \text { px }$

এবং $\frac{189}{4} \mathrm{px}^{2}$ হলে $\mathrm{b}, \mathrm{p}$ ও $m$ এর মান নির্ণয় কর ।

$g(x)=2 x+3 x^{2}+4 x^{3}+\ldots \ldots \infty$ এবং $P=1-4 x$

ক. পরমমান চিহ্ন ব্যতীত প্রকাশ কর: $\frac{1}{|\mathrm{P}|} \geq 3,$ যখন $x \neq \frac{1}{4}$

খ. প্রমাণ কর যে, $g^{-1}(x)=\frac{1}{2} x-\frac{3}{8} x^{2} \cdot+\frac{5}{16} x^{3}-\ldots \ldots \infty$

গ. দেখাও যে, $\frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}$ এর বিস্তৃতিতে $(r + 1)$ তম পদের সহগ $\frac{(2 r) !}{(r !)^{2}}$

দৃশ্যকল্প-1: $\left(\frac{a}{x}-b x^{2}\right)^{n}$ এর বিস্তৃতিতে $(n + 1)$ সংখ্যক পদ আছে।

দৃশ্যকল্প-II: $(a+x)^{n}$ একটি দ্বিপদী রাশি যেখানে $\mathbf{n} \in \mathbb{N} \text {. }$

ক. $(a+x)^{n}$ হলে দৃশ্যকল্প-II এ বর্ণিত দ্বিপদীটির বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

খ. $n = 7$ হলে, দৃশ্যকল্প-I এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ ও মধ্যপদ নির্ণয় কর ৷

গ. $\mathrm{n}=4,5,6$ এর জন্য দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-II এ বর্ণিত দ্বিপদীটির সমদূরবর্তী পদগুলির সহগ সমান।

$h(x)=1-x$

ক. $\mathrm z=h(i)$ হলে $\operatorname{argz}$ নির্ণয় কর।

খ. $\sqrt{h\left(\frac{x}{6}\right)}$ কে x এর উর্ধ্বক্রমিক ধারায় পঞ্চম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত করে দেখাও যে,

$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{18}-\frac{1}{54}-\frac{5}{648}-\ldots .=\frac{1}{\sqrt{3}}$ যখন $x<6$

গ. $h\left(\frac{x^{2}-8 x+9}{x^{2}-3 x+2}\right)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $\frac{5 x-7}{(x-1)(x-2)}$

দৃশ্যকল্প-২ : $(1+x)^{-\frac{1}{2}}$

ক. x এর কোন মানের জন্য দৃশ্যকল্প-I এ বর্ণিত রাশিটির বিস্তৃতি বৈধ?

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত রাশিটির দ্বিপদী বিস্তৃতির $x^{n}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

গ. যদি $|x|<1$ হয় তবে দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত দ্বিপদী রাশিটির বিস্তার করে যে ধারাটি

পাওয়া যায় তা অভিসৃত কিনা ব্যাখ্যা কর।

$A$ ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি সংকর ধাতু বৃত্তাকার চাকতির উপর $\pi$ মানের বল প্রয়োগ করায় চাকতিটির উপর $P$ মানের চাপ অনুভূত হলো।

$\theta^{\circ} \mathrm{C}$ তাপমাত্রা হ্রাস করায় চাকতিটির ক্ষেত্রফল ও ব্যাসার্ধ উভয়ই সূক্ষ্মভাবে হ্রাস পায় যা $r=\left(\theta^{2}-2+\frac{1}{\theta^{2}}\right)^{-3}$ দ্বারা সম্পর্কিত

ক. $(2+3 x)^{-4}$ এর বিস্তৃতির ১ম তিনটি পদ নির্ণয় কর।

খ. $P$ এর বিস্তৃতির $\theta$ বর্জিত পদ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{r}^{-\frac{\mathrm{n}}{3}}$ এর বিস্তৃতির মধ্যপদ $\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)}{n !} (-2)^{n}$ যেখানে $n \in \mathbb{N}$

$S=1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots \ldots$

ক. $x^{\mathrm{r}}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

খ. $S^{\frac{3}{2}}$ এর বিস্তৃতির প্রথম চারটি পদ পর্যন্ত নির্ণয় কর ।

গ. $\frac{1}{\mathbf{S}^{n}}$ এর বিস্তৃতির $(r + 1)$ তম পদের সহগ $(r + 3)$ তম পদের সহগের সমান হলে

দেখাও যে, $2 \mathrm{r}=\mathrm{n}-2$

$1$ মিটার দূরত্বে অবস্থিত $10^{-4}$ কুলম্ব ধনাত্মক আধান বিশিষ্ট দুটি বিন্দুর মাঝে

$y$ নিউটন বল ক্রিয়া করছে। বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $X$ মিটার পরিবর্তন

করলে $y$ বলকে একটি ঋণাত্মক $x$ ঘাতের দ্বিপদী হিসেবে প্রকাশ করা যায়।

যেখানে y বল আধানদ্বয় $\left(q_{1}\right.$ ও $\left.\mathrm{q}_{2}\right)$ এর সাথে সমানুপাতিক এবং দূরত্ব $(r)$ এর

বর্গের সাথে ব্যাস্তানুপাতে সম্পর্কিত। সামগ্রিক সমানুপাতিক ধ্রুবক $C=9 \times 10^{9}$

ক. $\left(x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}\right)^{6}$ এর বিস্তৃতিতে পদের সংখ্যা কত?

খ. বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব $0.25$ মিটার পরিবর্তন করলে $y$ বলের মান কত হবে?

গ. $y$ বলের দ্বিপদীটির বিস্তৃতির প্রথম তিনটি পদ ব্যবহার করে x নির্ণয় কর যখন $y=180$ ?

$f(x)=\left(x+\frac{1}{3 x}\right)^{2 n}, n \in \mathbb{N}$

ক. $f(x)$ দ্বিপদী রাশিটির সমদূরবর্তী দুইটি পদ নির্ণয় কর।

খ. $f(x)$ বিস্তৃতির x বর্জিত পদ নির্ণয় কর।

গ. $f(x)$ এবং $[f(2 x)]^{\frac{3}{n}}$ এর বিস্তৃতির মধ্যপদ সমান হলে, দেখাও যে, $n = 3.$

$f(x)=2 x+3 x^{2}+4 x^{3}+\ldots$

ক. $f(x)$ ফাংশনটির ১০ম পদ নির্ণয় কর।

খ. $f(0.5)$ এর সঠিক মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে,

$f^{-1}(x)=\frac{1}{2} x-\frac{3}{8} \quad x^{2}+\frac{5}{16} x^{3}-\ldots .$

$f(x)=(1+x)^{p}$ এবং $g(x)=(1-x)^{-1}(1-2 x)^{-1}$ যেখানে $p$ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা ।

ক. x এর কোন মানের জন্য $g(x)$ এর বিস্তৃতি বৈধ?

খ. দেখাও যে, $g(x)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ $2^{n+1}-1$

গ. $f\left(\frac{x}{2}\right)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{2}$ এর সহগ $7$ হলে, $p$ এর মান নির্ণয় কর ।

$\text { (i) } a x^{2}+b x+c=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

$\text { (ii) } y=2 x+3 x^{2}+4 x^{3}+\ldots .$

ক. $\left(2 x+\frac{1}{6 x}\right)^{10}$ এর বিস্তৃতিতে x-বর্জিত পদটি কততম ?

খ. (i) ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, $(a \alpha+b)^{-2}+(a \beta+b)^{-2}=\frac{b^{2}-2 a c}{a^{2} c^{2}}$

গ. (ii) ব্যবহার করে দেখাও যে, $x=\frac{1}{2} y-\frac{3}{8} y^{2}+\frac{5}{16} y^{3}-\ldots \ldots$

$f(x)=\frac{1}{(1-p x)(1-q x)}, g(x)=(1-x)^{n}$

ক. $2 x^{3}-2 x^{2}-3 x-6=0$ সমীকরণের মূলগুলি $a, b$ ও $c$ হলে $a + b + c + abc$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $n=\frac{1}{2}$ এবং $x = 0.02$ হলে $g(x)$ এর বিস্তৃতি হতে $\sqrt{2}$ এর মান পাঁচ দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।

গ. $p = 1$ এবং q = 2 হলে $f(x)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

$f(x)=(p+x)$ একটি ফাংশন।

ক. $-\frac{1}{2} \leq x \leq 4$ কে পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. $p = 2$ এবং $x=-2 i$ হলে $\sqrt{f(x)}$ নির্ণয় কর।

গ. $\{\mathrm{f}(\mathrm{x})\}^{\mathrm{n}}$ এর বিস্তৃতিতে ৩য়, ৪র্থ ও ৫ম পদ যথাক্রমে

$240 x^{2}, 160 x^{3}$ ও $60 x^{4}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{np}=12$

$(1-2 x)^{-\frac{1}{2}}$ একটি দ্বিপদী রাশি যেখানে $|x|<\frac{1}{2}$

ক. $(1-2 x)^{-1}$ কে চতুর্থপদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর ।

খ. দেখাও যে, উদ্দীপকের বিস্তৃতিতে $(r + 1)$ তম পদের সহগ $\frac{(2 \mathrm{r}) !}{2^{\mathrm{r}}(\mathrm{r} !)^{2}}$

গ. $x=\frac{1}{3}$ হলে দেখাও যে, বিস্তৃতিতে সাংখ্যমানে বৃহত্তম পদটির মান 1

$f(x)=x^{n}$ যেখানে $n$ একটি যোগবোধক পূর্ণ সংখ্যা ।

ক. $f\left(3+\frac{x}{2}\right)$ এর বিস্তৃতির প্রথম তিনটি পদ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{f}\left(3+\frac{x}{2}\right)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{7}$ এবং $x^{8}$ এর সহগ সমান হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $f\left((1+x)^{2}\right)$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ $\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)}{n !} 2^{n} \cdot x^{n}$

$A=(1+x)^{\frac{1}{2}}, B=(1-2 x)^{\frac{- 1}{2}}$

ক. x এর কোন কোন মানের জন্য $A$ ও $B$ বিস্তৃতি বৈধ?

খ. $AB$ এর বিস্তৃতি $x^{2}$ যুক্ত পদ পর্যন্ত নির্ণয় কর ও বৈধ ব্যবধি নির্ণয় কর।

গ. $A$-এর বিস্তৃতিতে $x = -0.04$ বসিয়ে $\sqrt{6}$ এর মান এবং $B$-এর বিস্তৃতিতে $x = 0.02$ বসিয়ে

$\frac{1}{\sqrt{6}}$ এর মান পাঁচ দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর। প্রাপ্ত ফলাফলের গুণফল সম্পর্কে মন্তব্য কর।

পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে যত গভীরে যাওয়া যায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g$ এর মান তত কমতে থাকে। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $r$ এবং $h$

গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g_{h}=g_{0}\left(1+\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{r}}\right)^{-2}$ যেখানে, $g_{o}$ হলো ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ।]

$\left[\mathrm{g}_{0}=9.8\right.$ মি./সে$^2$ এবং $r=6400$ কি.মি.]

ক. $(r+h)^{-2}$ এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

খ. $g_{\mathrm{h}}$ ফাংশনের দ্বিপদীটির বিস্তৃতির প্রথম তিনটি পদ ব্যবহার করে $500$ কি.মি.

গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{h}=\frac{\mathrm{r}}{2}$ হলে $g_{h^{-}}$-ফাংশনের দ্বিপদীটির বিস্তৃতির কত তম পদ $\frac{-5}{256}$ হবে।

$\left(2 x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{n}$ ও $\left(1-\frac{x}{6}\right)^{n}$ দুইটি বীজগণিতীয় রাশি।

ক. $(1-a x)^{5}$ কে বিস্তৃতি কর।

খ. $n = 20$ হলে প্রথম রাশিটির বিস্তৃতিতে $x^{10}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

গ. $n=\frac{1}{2}$ এবং $|x|<6$ হলে দ্বিতীয় রাশিটির বিস্তৃতিতে প্রমাণ কর

যে, $1-\frac{1}{6}-\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{12}-\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{3}{18} \cdots=\sqrt{\frac{2}{3}}$

$\frac{x}{1-9 x+20 x^{2}}$ ও $(1-4 x)^{-\frac{1}{2}}$ দুইটি বীজগণিতীয় রাশি ।

ক. $(a+2 x)^{5}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{3}$ এর সহগ $320$ হলে, $a$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রথম রাশির বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, দ্বিতীয় রাশির বিস্তৃতিতে x৭ এর সহগ $\frac{(2 \mathrm{q}) !}{(\mathrm{q} !)^{2}}$