Questions in this chapter

চক্রবৃদ্ধি হারে মুনাফা-আসলকে $C=P(1+r)^{n}$ দ্বারা হিসাব করা হয়, যেখানে $P =$ আসল, $r =$ মুনাফার হার এবং $n =$ সময়

ক. $5 \%$ চক্রবৃদ্ধি হারে $20,000$ টাকার $10$ বছরের মুনাফা-আসল বের কর।

খ. $14$ বছর সময়ের জন্য $C$ এর বিস্তৃতির $(q+1)$ তম পদের সহগ $(3 q-1)$ তম পদের সহগের

সমান হলে $q$ নির্ণয় কর।

গ. $C$-এর বিস্তৃতিতে $S_{1}$ এবং $\mathrm{S}_{2}$ যথাক্রমে বিজোড় ও জোড় স্থানের পদগুলির সমষ্টি হলে প্রমাণ কর যে,

$\mathrm{P}^{2}\left(1-\mathrm{r}^{2}\right)^{\mathrm{n}}=\mathrm{S}_{1}{ }^{2}-\mathrm{S}_{2}{ }^{2}$

$(x+y)^{n}$ এর বিস্তৃতিতে বিজোড়তম ও জোড়তম পদগুলোর সমষ্টি যথাক্রমে $S_{O}$ ও $\mathrm{S}_{\mathrm{E}}$ যেখানে $\mathrm{n} \in \mathbb{N}$

ক. $n = 20$ হলে $(x+y)^{n}+(x-y)^{n}$ এর বিস্তৃতিতে মোট পদসংখ্যা কত?

খ. $x=3, y=2$ হলে দেখাও যে, দ্বিপদী রাশিটির বিস্তৃতিতে $S_{O}=S_{E}+1$

গ. দেখাও যে, $\left(x^{2}-y^{2}\right)^{n}=S_{0}^{2}-S_{E}^{2}$

x চলক বিশিষ্ট একটি দ্বিপদী রাশি $(1+\mathrm x)^{n}$

ক. $n$ জোড় হলে মধ্যপদ নির্ণয় কর।

খ. দ্বিপদী রাশিটির বিস্তৃতিতে যদি $p,q, r, s$ যথাক্রমে $6$ষ্ঠ, $7$ম, $8$ম, $9$ম পদ হয়,

তবে প্রমাণ কর যে, $\frac{q^{2}-p r}{r^{2}-q s} = \frac{4 p}{3 r}$

গ. দেখাও যে, ${ }^{n} C_{0}+{ }^{n} C_{2}+{ }^{n} C_{4}+\ldots .={ }^{n} C_{1}+{ }^{n} C_{3}+{ }^{n} C_{5}+\ldots .=2^{n-1}$

$1+\frac{3}{4}+\frac{3.5}{4.8}+\frac{3.5 .7}{4.8 .12}+\ldots \ldots$ ধারাটি বিবেচনা কর ।

ক. প্রদত্ত ধারাটি যদি $(1-x)^{-h}$ হয় তবে $n$ ও $x$ এর মান কত?

খ. ধারাটির যোগফলের সঠিক মান এবং আসন্ন মান তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।

গ. ধারাটির পদগুলি যদি পর্যায়ক্রমিক ধনাত্মক ও ঋণাত্মক করা হয় তবে যোগফল কত ?

$(a x+1)^{12}$

ক. ‘প্যাসকেলের ত্রিভুজ' বলতে কী বোঝায়?

খ. উদ্দীপকের রাশির বিস্তৃতিতে $x^{4}$ এর সহগ $1980$ হলে, $a$ এর মান নির্ণয় করো ।

গ. x এর ঘাতের ঊর্ধ্বক্রম অনুযায়ী উদ্দীপকের রাশির বিস্তৃতির প্রথম তিনটি পদ

$\left(1+5 x+b x^{2}\right)$ হলে, $a$ ও $b$ এর মান নির্ণয় করো।

$f(x)=\left(x^{2}-\frac{3}{x}\right)^{11} ; g(x)=(1+x)^{8}$

ক. দেখাও যে, $f(x)$ এর বিস্তৃতিতে কোনো পদ x-মুক্ত নয় ।

খ. $g(x)$ এর বিস্তৃতিতে $\mathrm{x}^{\mathrm{r}}$ এর সহগ $\mathrm x^{r+1}$ এর সহগের অর্ধেক হলে, $r$ এর মান নির্ণয় করো ।

গ. $f(x)$ এর বিস্তৃতির মধ্যপদদ্বয়ের পার্থক্য নির্ণয় কর, যখন $x=1$

$f(x)=(1+x)^{-3}$ যখন $|x|<1 ; g(x)=\left(3+\frac{x}{2}\right)^{n}, n \in \mathbb{N}$

ক. $n$ ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) হলে,

$|x|<1$ শর্তে $(1+x)^{n}$ বিস্তৃতির তৃতীয় পদ পর্যন্ত লেখ ।

খ. $f(x)$ এর বিস্তৃতি থেকে $x^{n}(n \in \mathbb{N})$ এর সহগ সরল আকারে নির্ণয় করো ।

গ. $g(x)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{5}$ ও $x^{6}$ এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হলে, $n$ এর মান নির্ণয় করো।

$f(x)=\left(x^{4}+2+\frac{1}{x^{4}}\right)^{15} ; g(x)=\frac{2 x^{2}+3}{1-x^{2}}$ যখন $|x|<1 \text {. }$

ক. দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $f(x)$ এর বিস্তৃতির x-মুক্ত পদটি নির্ণয় কর ।

গ. $g(x)$ এর বিস্তৃতির $x^{16}$ এর সহগ নির্ণয় কর ।

$f(x)=(x+2)^{6}$ এবং $g(x)=\left(1+\frac{x}{2}\right)^{n}$

যেখানে, $\mathrm {n} \in \mathbb{N} \text { : }$

ক. x এর ঘাতের ঊর্ধ্বক্রম অনুযায়ী $f(x)$ কে বিস্তৃত কর ।

খ. $f(x)$ এর বিস্তৃতিতে x এর জন্য যথাযথ মান প্রতিস্থাপন করে দেখাও যে,

$(2+\sqrt{3})^{6}-(2-\sqrt{3})^{6}=m \sqrt{3}$ যেখানে $m$ একটি অখন্ড সংখ্যা ।

গ. $g(x)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{2}$ এর সহগ $7$ হলে, $n$ এর মান বের কর; অতঃপর

$x^{3}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

$f(\mathrm{x})=\left(2+\frac{\mathrm{x}}{4}\right)^{10} ; \mathrm{g}(\mathrm{x})=(1+\mathrm{bx})^{\mathrm{n}}$ যেখানে $\mathrm{n} \in \mathbb{N}$ এবং $b$ ধ্রুবক।

ক. x এর ঘাতের ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে $f(x)$ এর বিস্তৃতির চতুর্থ পদ পর্যন্ত নির্ণয় কর।

খ. x এর জন্য যথাযথ মান প্রতিস্থাপন করে ক. এ প্রাপ্ত বিস্তৃতি থেকে $(2.025)^{10}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. x এর ঘাতের উর্ধ্বক্রম অনুযায়ী $g(x)$ এর বিস্তৃতি $:1+12 x+70 x^{2}+\ldots$ হলে $n$ ও $b$ এর মান নির্ণয় কর।

$\text { (i) }\left(2 x^{2}+\frac{1}{2 x^{2}}\right)^{17}$ এবং $\text { (ii) }(2-x)^{-2},|x|<1$ লক্ষ কর ।

ক. দেখাও যে, (i) এর বিস্তৃতির কোনও পদ x-মুক্ত থাকবে না ।

খ. (i) এর বিস্তৃতির মধ্যপদদ্বয়ের সহগের পার্থক্য নির্ণয় কর।

গ. x এর ঘাতের উর্ধ্বক্রম অনুযায়ী (ii) এর বিস্তৃতির প্রথম চারটি পদ এবং $x^{n}$ এর সহগ নির্ণয় করো

$\text { (i) }(1+5 x)^{16}$ $\text { (ii) }(x-1)^{-4}$ লক্ষ কর ।

ক. (i) এর বিস্তৃতির মধ্যপদটি নির্ণয় কর ।

খ. $|x|<1$ হলে, x এর ঘাতের উর্ধ্বক্রম অনুযায়ী সরলতম আকারে

(ii) এর বিস্তৃতির প্রথম $5$টি পদ নির্ণয় কর।

গ. (ii) এর বিস্তৃতি থেকে দেখাও যে,$x^{n}$ এর সহগ $\frac{(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)(\mathrm{n}+3)}{6}$

$\text { (i) }(1-4 x)^{-\frac{1}{2}}$ যখন $|4 x|<1$

$\text { (ii) }(1+2 x)^{p}\left(2+\frac{1}{x}\right)^{q}$ যখন $\mathrm{p}, \mathrm{q} \in \mathbb{N}$

ক. দেখাও যে, (i) বিস্তৃতির পদসংখ্যা সীমিত নয়।

খ.. (ii) এর বিস্তৃতি থেকে x বর্জিত পদটির মান নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, (i) এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ $\frac{(2 n) !}{(n !)^{2}}$

$\text { (i) }(3+\mathrm{mx})^{5} \text {; }$ $\text { (ii) }\left(1-x+x^{3}\right)^{8}$ লক্ষ কর।

ক. কি শর্তে $\left(1-\frac{1}{x}\right)^{-\frac{1}{2}}$ কে বিস্তৃত করা যায়?

খ. (i) এর বিস্তৃতিতে $x^{3}$ এর সহগ $720$ হলে, $m$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. (ii) এর বিস্তৃতি থেকে $x^{7}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

$f(x)=(a x-1)^{10}$

ক. x এর শক্তির ঊর্ধ্বক্রমে $f(x)$ এর বিস্তৃতির তৃতীয় পদ পর্যন্ত নির্ণয় কর।

খ. $f(x)$ বিস্তৃতির মধ্যপদ নির্ণয় কর।

গ. a এর মান কত হলে, $f(x)$ এর বিস্তৃতির $x^{4}$ এর সহগের মান $840$ হবে।

$f(x)=\frac{1}{1-3 x+2 x^{2}} ; g(x)=\frac{1+x^{2}}{(1-x)^{2}}$

ক. ‘গাণিতিক আরোহ বিধির' বর্ণনা দাও।

খ. $g(x)$ এর বিস্তৃতি থেকে $x^{10}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $f(x)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ $2^{n+1}-1$

$\begin{array}{l}\text{(i) } \left(3+\frac{x}{2}\right)^{n} \text{;}\\\text{(ii) } 1-\frac{1}{4}+\frac{1.3}{4.8}-\frac{1.3 .5}{4.8 .12}+\ldots\end{array}$

ক. $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2 p}(p \in \mathbb{N})$ এর বিস্তৃতি থেকে মধ্যপদ/ মধ্যপদদ্বয়ের মান নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের (i) এর বিস্তৃতিতে $x^{4}$ এবং $x^{5}$ এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে; উদ্দীপকের (ii) এর রাশির মান $\sqrt{\frac{2}{3}}$

$\left(x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}\right)^{n}$ একটি বীজগাণিতিক রাশি ।

ক. প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে বিস্তৃতি কর: $\left(x_{}^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{5}$

খ. উদ্দীপকের রাশিটিতে $n = 6$ হলে, বিস্তৃতির x বর্জিত পদ এবং পদের মান নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, প্রদত্ত রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি $\frac{1.3 .5 \ldots(2 n-1)}{n !}(-2)^{n}$ যখন $\mathrm{n} \in \mathbb{N} \text {. }$

$f(x)=(a+x)$

ক. দেখাও যে, $\left(x+\frac{2}{x}\right)^{8}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি x বর্জিত ।

খ. $\{f(2 x)\}^{5}$ এর বিস্তৃতির $x^{3}$ এর সহগ $320$ হলে, $\mathrm a$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $\{f(3 x)\}^{n}$ এর বিস্তৃতিতে প্রথম তিনটি পদ যথাক্রমে $b,\frac{21}{2} \mathrm{bx}, \frac{189}{4} \mathrm{bx}^{2}$

হলে, $a, b, n$ নির্ণয় কর।

$F=(1+x)^{p}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{q}$ যখন $p, q \in N$

ক. $(1-x)^{8}(1+x)^{7}$ এর বিস্তৃতির $x^{7}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm F$ এর সাধারণ পদ বের করে x বর্জিত পদটির মান নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm q = \mathrm p$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\mathrm F$ এর বিস্তৃতির মধ্যম পদ

$=\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(2 p-1)}{p !} .2 p$