Questions in this chapter

$f(x)=3+\frac{x}{2}$ এবং $g(p)=1-\frac{1}{2} p$

ক. $(3-y)^{3}$ বিস্তৃতির প্যাসকেলের ত্রিভুজ তৈরি কর।

খ. $\{f(x)\}^n$ এর বিস্তৃতিতে $x^{7}$ এবং $x^{8}$ এর সহগদ্বয় সমান হলে, n-এর মান নির্ণয় কর, যেখানে $\mathbf{n} \in \mathbf{N}$

গ. দেখাও যে, $\{g(4 x)\}^{-\frac{1}{2}}$ বিস্তৃতির (n+1) তম পদের সহগ $\frac{(2 n) !}{(n !)^{2} \cdot 2^{n}}$

$f(x)=a+b x$

ক. $\left(y^{2}-2+\frac{1}{y^{2}}\right)^{8}$ এর পদসংখ্যা কত?

খ. $a=1, b=-2$ হলে $\{f(x)\}^{2 \mathrm{~m}}$ এর মধ্যপদ নির্ণয় কর যেখানে $\mathbf{m} \in \mathbf{N}$

গ. $b = 2$ এর জন্য $\{f(x)\}^{m}$ এর প্রথম তিনটি পদ $k, \frac{10}{3} k x$ এবং

$\frac{40}{9} k x^{2}$ হলে $a, k$ এবং $m$ এর মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক : $h(x)=\frac{-8 x}{1-x^{2}}$ একটি ভগ্নাংশ এবং $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n ! n}{(n-1) ! 3^{n}}$ হলো একটি ধারার সমষ্টি।

ক. $x = i$ হলে $h(x)$ এর বর্গমূল বের কর। [i একটি কাল্পনিক সংখ্যা]

খ. উদ্দীপকের ধারাটির অভিসারিতা যাচাই কর।

গ. $h(x)$ এর বিস্তৃতিতে $x$ এর সহগ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক : দুইটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হলো-

$\sqrt{2} x=\sin ^{-1} A, \frac{-x}{2}=\cos ^{-1} B$ এবং একটি বহুপদী ফাংশন হলো

$h(x)=1-3 x+3 x^{2}-x^{3}$

ক. প্যাসকেলের ত্রিভুজ সূত্রের সাহায্যে বিস্তার করে দেখাও যে,

$(1-x)^{3}=h(x)$

খ. $A – B = 0$ হলে x এর সমাধানের জন্য সাধারণ রাশিমালা বের কর।

গ. $\{\mathrm{h}(\mathbf{x})\}^{3}$ এর বিস্তারের মধ্যপদ/মধ্যপদসমূহের মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $8 x^{2}-6 x+1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় a ও b.

দৃশ্যকল্প-২ : $(1+3 y)^{2 n}$ ; যেখানে $\mathbf{n} \in \mathbb{Z}$

ক: মান নির্ণয় কর : $\sqrt[3]{\mathrm{i}}$

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে এইরূপ একটি সমীকরণ নির্ণয়: কর যার

মূলদ্বয় $a+\frac{1}{b}$ এবং $b+\frac{1}{a}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রদত্ত বিস্তৃতির মধ্যপদটি হবে

$\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)}{n !} 6^{n} y^{n}$

দৃশ্যকল্প-১ : $p x^{2}+q x+r=0$ সমীকরণের মূল দুইটির অনুপাত $u: v$

দৃশ্যকল্প-২ : $\left(3 x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{n}$

ক. $4 x^{2}+2 x-1=0$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ থেকে প্রমাণ কর যে,$\sqrt{\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{v}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}=0$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে $n = 9$ ও $n = 12$ এর জন্য প্রদত্ত বিস্তৃতির

মধ্যপদের মান নির্ণয় কর।

$(y+1)^{2 n}$ এর বিস্তারে $\mathbf{y}^{\mathrm{n}+1}$ এর সহগ—?

দৃশ্যকল্প-১: $\frac{1}{x}+\frac{1}{p-x}=\frac{1}{q}$

দৃশ্যকল্প-২ : $\left(2 x^{3}-\frac{1}{x}\right)^{20}$

ক. $p = q = 1$ হলে দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণটির মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ মূলদ্বয়ের অন্তর $r$ হলে $p,q$ এবং $r$ এর মধ্যে I একটি সম্পর্ক লিখ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর বিস্তৃতিতে $x^{12}$ সংবলিত পদের সহগ বের কর।

$f(x)=\left(2-\frac{3}{x}\right)^{15}$

ক. $n = 4$ এর জন্য প্যাসকেলের ত্রিভুজ আঁক।

খ. $f(x)$ এর বিস্তৃতিতে কততম পদ x-বর্জিত এবং পদটির মান নির্ণয় কর।

গ. $f(x)$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ দুইটির পার্থক্য নির্ণয় কর; যখন $x = 1.$

দৃশ্যকল্প-১ : $A=\left(\frac{2}{x}+\frac{x}{2}\right)^{n}$

দৃশ্যকল্প-২ : $B=\left(1-9 x+20 x^{2}\right)^{-1}$

ক. $6 x^{2}-5 x-1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. $n$ এর জন্য কোন শর্ত আরোপ করলে দৃশ্যকল্প $A$ এর একটি মধ্যপদ থাকবে? $n = 21$ হলে

মধ্যপদ বা (পসমূহের) মান নির্ণয় কর ৷

গ. দৃশ্যকল্প $B$ এর জন্য প্রমাণ কর যে, $x^{9}$ এর সহগ $5^{10}-4^{10}।$

দৃশ্যকল্প-১ : $x^{2}-5 x+3=0$ এর মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

দৃশ্যকল্প-২ : $\frac{1+x}{\sqrt{1-2 x}}$

ক. $(3-2 x)^{\frac{1}{2}}$ এর বিস্তৃতি x-এর কোন মানের জন্য বৈধ? -

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে $\frac{3}{5-\alpha}$ ও $\frac{3}{5-\beta}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত রাশিটির বিস্তৃতি হতে $x^{3}$-এর সহগ নির্ণয় কর।

$f(x)=\left(x^{2}+\frac{3}{x}\right)^{11}....(1)$

$\mathrm{g}(\mathrm{x})=(1+\mathrm{px})^{\mathrm{m}}.....(2)$

ক. $(1-3 x)^{-1}$- এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

খ. $f(x)$ এর বিস্তৃতিতে $(r + 1 )$ তম ও $(r + 2)$ তম পদের সহগ সমান হলে $r$-এর মান নির্ণয় কর।

গ. $g( x )$ এ $p = -8$ এবং $m=-\frac{1}{2}$ হলে দেখাও যে, $x^{\mathbf{r}}$ এর সহগ $\frac{(2 r) ! 2^{r}}{(r !)^{2}}$

$z=\alpha+\beta i$ যেখানে $\alpha$ ও $\beta$ বাস্তব সংখ্যা।

ক. $\frac{x^{3}-8}{x-2}$ বহুপদীর ঘাত নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকে $\alpha=2, \beta=\sqrt{3}$ হলে, $z$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর ।

গ. উদ্দীপকে $\beta=0$ এবং $\alpha^{5}$ ও $\alpha^{15}$ এর সহগ পরস্পর সমান হলে

$\left(2 z^{2}+\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{z}^{3}}\right)^{10}$ এর বিস্তৃতি থেকে $R$ এর মান নির্ণয় কর।

$(1+2 y)^{\mathrm{m}}$ একটি বীজগাণিতিক রাশি ।

ক. $\left(42 x^{2}-13 x+1\right)^{-1}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

খ. $m=2 n,(n \in Z)$ হলে, দেখাও যে, উদ্দীপকের রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদের মান $\frac{\text { 1. 3. } 5 \ldots . \ldots(2 n-1)}{n !} \cdot 2^{2 n} \cdot x^{n}$

গ. $m = 20$ হলে উদ্দীপকের রাশিটির বিস্তৃতিতে দুইটি ক্রমিক পদের সহগের অনুপাত $11:20$ হয়।

পদ দুইটি নির্ণয় কর।

$f(x)=x^{4}-13 x^{3}+61 x^{2}-107 x+58, g(x)=\frac{x}{1-4 x+3 x^{2}}$

ক. উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও ।

খ. $f(x) = 0$ সমীকরণের একটি মূল $5 + 2i$ হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

গ. $g(x)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

$P=4 x+3$ একটি দ্বিপদী রাশি ।

ক. $\left(2 x^{2}-\frac{3}{x}\right)^{12}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{P}^{34}$ এর বিস্তৃতিতে দুইটি ক্রমিক পদের সহগ সমান হলে এ পদ

দুইটির x এর ঘাত নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{P}^{-\frac{1}{2}}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ নির্ণয় করে বিস্তৃতিটির পঞ্চম পদটিও বের কর।

$f(x)=1-2 x-15 x^{2}$ এবং $g(x)=\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)^{14}$

ক. $f(x) = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. $g(x)$ এর বিস্তৃতিতে x বর্জিত পদের মান নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $\frac{x}{f(x)}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ $\frac{1}{8}\left\{5^{r}+(-3)^{r}\right\}$

$\varphi(x)=3+x$ এবং $g(x)=p x^{2}+q x+r$

ক. $g(x) = 0$ হলে x এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\left\{\varphi\left(\frac{x}{2}\right)\right\}^{n}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{4}$ এবং $x^{5}$ এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{p}=9, \mathrm{q}=-\frac{2}{3 x}$ এবং $r=\frac{1}{81 x^{2}}$ হলে $\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^{7}$ এর বিস্তৃতিতে x বর্জিত পদের মান নির্ণয় কর।

$R(x)=1+x$

ক. সমাধান কর: $\left|R\left(\frac{4 x}{3}\right)\right|<5$

খ. দেখাও যে, $\left\{R(x)-R\left(\frac{1}{x}\right)\right\}^{2 n}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ

$\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)}{n !}(-2)^{n}$ যেখানে $n \in \mathbb{N}$

গ. $\{\mathrm{R}(\mathrm{x})\}^{\mathrm{n}}$ এর বিস্তৃতিতে তিনটি ক্রমিক পদের সহগের অনুপাত

$1: 7: 42$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

$M=1+3 x, N=3+\frac{1}{x}$ এবং $P(x)=3 x-6 x^{2}+10 x^{3}-\ldots$

ক. $N^{8}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{p}, \mathrm{q} \in \mathbb{N}$ হলে, $M^{p} N^{q}$ এর বিস্তৃতি থেকে ধ্রুবক পদের মান নির্ণয় কর।

গ. $y=P(x)$ হলে দেখাও যে,$x=\frac{1}{3} y+\frac{2}{9} y^{2}+\frac{14}{81} y^{3}+\ldots \infty$