Questions in this chapter

$A =\left[\begin{array}{ccc}3+x & 4 & 1 \\4 & 1+x & 3 \\1 & 3 & 4+x\end{array}\right]$$B=\left[\begin{array}{ccc}2+x & b+x & c+x \\2+y & b+y & c+y \\4 & b^{2} & c^{2}\end{array}\right]$

ক. $B=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\0 & 2\end{array}\right]$ হলে, $\text { B. } \mathrm{B}^{t}$ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\operatorname{det}(B)=(2-b)(b-c) \cdot(c-2)(x-y)$

গ. $\operatorname{det}(A)=0$ সমীকরণের বাস্তব মূল নিয়ে $A$ এর ট্রেস নির্ণয় কর ৷

$A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\3 & 0 & -2 \\1 & -4 & 1\end{array}\right]$

$\begin{array}{l}\frac{x}{5}-\frac{2 y}{5}+z=1 \\x+\frac{y}{4}+\frac{3 z}{4}=1 \\\frac{x}{3}-y+\frac{2 z}{3}=1\end{array}$

ক. $B=\left[\begin{array}{cc}K+4 & 3 \\4 & 4\end{array}\right], \mathrm{B}$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে $K$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $A$ নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকে বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর ।

$A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 2 & 3 \\4 & 2 & 1 \\2 & 1 & -2\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{rrr}2 & 10 & 3 \\3 & 8 & 2 \\1 & 8 & 1\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{rrr}a & 12 & 6 \\b & 10 & 3 \\3 & 9 & -1\end{array}\right]$

$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right],$$D=\left[\begin{array}{c}5 \\10 \\15\end{array}\right]$

ক. $A + B = C$ হলে $a, b$ এর মান নির্ণয় কর।

খ . $\mathrm{B}^{-1}$ নির্ণয় কর ৷

গ. নির্ণায়কের সাহায্যে $A X=D$ এর সমাধান কর ।

$N=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 2 \\2 & 1 & 2 \\-2 & 2 & -1\end{array}\right],$$\mathrm{X}=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$ এবং $B=\left[\begin{array}{l}3 \\5 \\4\end{array}\right]$

ক. $\left(\begin{array}{rrr}c & -5 & -6 \\5 & 2 c & 3 \\a & -3 & c\end{array}\right)$ ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম হলে, $c+a=?$

খ. $\mathrm{NX}=\mathrm{B}$ হলে ক্রেমারের নিয়ম ব্যবহার করে সমীকরণ জোটটি সমাধান কর।

গ. $\mathrm{MN}=\mathrm{I}_{3}$ (অভেদক ম্যাট্রিক্স) হলে $M$ ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{ccc}3 & -4 & 2 \\-2 & 1 & 0 \\-1 & -1 & 1\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{lll}x & 2 & -2 \\y & 5 & -4 \\z & 7 & -5\end{array}\right]$

ক. $A=\left(\begin{array}{ll}3 & -1 \\2 & -4\end{array}\right)$ হলে, $A+A^{\mathrm{T}}$ নির্ণয় কর।

খ. $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{AB}=\mathrm{I}_{3}$ থেকে ক্রেমারের সূত্রের সাহায্যে $(x, y, z)$ নির্ণয় কর।

$A=\left|\begin{array}{ccc}2 x-S & 2 x & 2 x \\2 y & 2 y-S & 2 y \\2 z & 2 z & 2 z-S\end{array}\right|,$$B=\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|$

ক. $2\left|\begin{array}{ll}1 & x \\2 & 3\end{array}\right|=x^{2}$ হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

খ. $B$ নির্ণায়কের ২য় সারির উপাদানগুলোর সহগুণক যথাক্রমে

$\mathrm{A}_{2}$, $B_{2}$ এবং $C_{2}$ হলে, $a_{3} A_{2}+b_{3} B_{2}+{c}_{3} C_{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $x+y+z=S$ হলে, দেখাও যে, $\mathrm{P}=\mathrm{S}^{3}$

$P=\left(\begin{array}{rrr}1 & 5 & 3 \\1 & -1 & 6 \\1 & 2 & -5\end{array}\right),$$Q=\left(\begin{array}{l}6 \\9 \\0\end{array}\right),$$R=\left(\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right)$

ক. দুইটি ম্যাট্রিক্সের গুণন যোগ্যতা ব্যাখ্যা কর।

খ. $f(x)=x^{2}-3 x$ হলে $f(P)$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{P}^{\mathrm{T}} \mathrm{R}=\mathrm{Q}$ থেকে প্রাপ্ত সমীকরণ জোটকে নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর ৷

$S=\left(\begin{array}{rr}-1 & 1 \\2 & -3\end{array}\right),$$T=\left(\begin{array}{rr}3 & -5 \\-1 & 2\end{array}\right)$

$U=\left(\begin{array}{cc}a & b \\2 a^{3}+1 & 2 b^{3}+1 \\a^{2} & b^{2}\end{array}\right.$$\quad$$\left.\begin{array}{c}c \\2 c^{3}+1 \\c^{2}\end{array}\right)$

ক. বিস্তার না করে প্রমাণ কর $\left|\begin{array}{ccc}a & -x & a+x \\b & -y & b+y \\c & -z & c+z\end{array}\right|$$=0$

খ. দেখাও যে, $(S T)^{-1}-T^{-1} S^{-1}$ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স ।

গ. প্রমাণ কর যে, $|U|=-(2 a b c+1)$$(a-b)(b-c)(c-a) .$

$A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\3 & 4 & 2 \\2 & 1 & 3\end{array}\right],$$f(x)=x^{2}+3 x-5 I$

ক. বিস্তার না করিয়া প্রমাণ কর যে, $\left|\begin{array}{llll}1 & a & a & -2 \\2 & b & b & -4 \\3 & c & c & -6\end{array}\right|$$=0$

খ. $f(A)$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathbf{A}^{-1}$ নির্ণয় কর ।

দৃশ্যকল্প: $\mathrm{A}\left[\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right]_{3 \times 3} ;$ যেখানে $a_{i j}=2 i-j .$

$I_{3}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right]$ এবং $f(x)=x^{2}+3 x$

ক. k-এর কোন মানের জন্য $\left[\begin{array}{cc}\mathrm{k}+3 & -1 \\k & k+2\end{array}\right]$ ব্যতিক্রমী হবে ?

খ. $f(\mathrm{~A})+2 \mathrm{I}_{3}$ নির্ণয় কর ।

গ. $\left(A+I_{3}\right) \cdot\left(A^{T}-I_{3}\right)$ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $\frac{x}{5}+\frac{3 y}{10}+\frac{z}{10}$$=\frac{x}{4}+\frac{y}{4}$$=\frac{3 y}{7}$$+\frac{4 z}{7}=1$

দৃশ্যকল্প-২: $\Delta=\left\lvert\, \begin{array}{cc}(s-x)^{2} & x^{2} \\y^{2} & (s-y)^{2} \\z^{2} & z^{2}\end{array}\right.$$\quad$$\left.\begin{array}{ccc}x^{2} \\y^{2} \\ (s-z)^{2}\end{array}\right|$

ক. দেখাও যে, $A=\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\-2 & -1\end{array}\right]$ একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স । ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ, যদি $s=x+y+z$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\Delta=2 \mathrm{xyzs}^{3}$

দৃশ্যকল্প: $\left.\begin{array}{l}x+y+z=3 \\x+a y+a^{2} z=\ell \\x+a^{2} y+a^{4} z=m\end{array}\right\},$${C}=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\& 0 \\3 & 0\end{array}\right]$

$f(x)=x^{2}+3 x-7$

ক. প্রমাণ কর: $\left|\begin{array}{ccc}x+y & 3(y+z) & z+x \\1 & 3 & 1 \\z & 3 x & y\end{array}\right|$$=0$

খ. সমীকরণগুলোকে $AX = B$ আকারে প্রকাশ করে, দেখাও যে,

$\operatorname{Det}(A)=a(a-1)^{2}\left(a^{2}-1\right)$

গ. $f(\mathrm{C})$ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প: $A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2 \\-2 & 2 & -2 \\-2 & 1 & -6\end{array}\right],$$B=A^{-1},$$C=\left[\begin{array}{r}3 \\-2 \\-7\end{array}\right],$$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{rrr}0 & 7 & 10 \\-7 & 0 & 15 \\-10 & -15 & 0\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম কিনা যাচাই কর।

খ. $B$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{AX}=\mathrm{C}$ হলে $x, y, z$ নির্ণয় কর ৷

$A=\left[\begin{array}{ccc}1+m & 2 & 3 \\2 & 3+m & 1 \\3 & 1 & 2+m\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{l}6 \\0 \\8\end{array}\right]$

ক. প্রমাণ কর যে, $\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\1 & p & p^{2} \\1 & p^{2} & p^{4}\end{array}\right|$$=p(p-1)^{2}\left(p^{2}-1\right)$

খ. $\mathrm{m}=0$ হলে $A^{-1}$ নির্ণয় কর ।

গ. $\mathrm{AB}=\mathrm{C}$ হলে নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর, যখন $m = 1$

$P=\left[\begin{array}{c}1+x^{2}-y^{2} \\2 x y \\-2 y\end{array}\right.$$\quad$$\begin{array}{c}2 x y \\1-x^{2}+y^{2} \\2 x\end{array}$$\quad$$\left.\begin{array}{c}2 y \\-2 x \\1-x^{2}-y^{2}\end{array}\right]$

এবং $f(x)=x^{3}-3 x+2 I$

ক. ${A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{rr}0 & 2 \\1 & 2 \\0 & -1\end{array}\right]$ হলে $BA$ নির্ণয় কর।

খ. $\operatorname{det}(P)=0$ হলে' প্রমাণ কর যে, $x^{2}+y^{2}=-1$

গ. $x=1, y=2$ হলে $f({\mathrm{p}})$ নির্ণয় কর, যেখানে $I একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স ।

$A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -4 & 2 \\-2 & 1 & 0 \\-1 & -1 & 1\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{cc}x^{2} & x \\-3 & 2\end{array}\right]$ ব্যতিক্রমী ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে x এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $A B=B A=I_{3}$ হলে, $B$ নির্ণয় কর; যেখানে $B$ একটি $3 \times 3$ ক্রমের ম্যাট্রিক্স ।

গ. ${C}=A^{t}$ হলে $C^{2}-5 C+6 I$ নির্ণয় কর ।

$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$$A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\1 & 3 & 2 \\3 & -1 & -5\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{l}6 \\1 \\1\end{array}\right]$

এবং $C=$$\left[\begin{array}{ccc}p & q & r \\p^{2} & q^{2} & r^{2} \\p^{3}-1 & q^{3}-1 & r^{3}-1\end{array}\right]$

ক. বিস্তার না করে , $\left|\begin{array}{lll}y+z & x & 1 \\z+x & y & 1 \\x+y & z & 1\end{array}\right|$ নির্ণায়কের মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $|C|=(p q r-1) \cdot(p-q)(q-r)(r-p)$

গ. $A X=B$ হলে নির্ণায়কের সাহায্যে $X$ নির্ণয় কর ।

$A=\left[\begin{array}{ll}4 & 3 \\0 & 1\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{ll}1 & \mathrm{n} \\0 & \mathrm{p}\end{array}\right]$ এবং $C=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\1 & 2 & 0 \\2 & 0 & 4\end{array}\right]$

ক. $P=\left[\begin{array}{r}1 \\-2 \\3\end{array}\right]$ এবং $Q=\left[\begin{array}{lll}-2 & -10\end{array}\right]$ হলে, $[\mathrm{PQ}]^{T}$ নির্ণয় কর ।

খ. $\mathrm{AB}=\mathrm{I}$ হলে, $n$ ও $p$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $C^{-1}$ নির্ণয় কর ।

$\left.\begin{array}{c}x+2 y-z=5 \\3 x-y+3 z=7 \\2 x+3 y+z=11\end{array}\right\}$ এবং

$R=\left[\begin{array}{c}a \\b \\c+a+2 b\end{array}\right.$$\quad$$\begin{array}{c}b \\b+c+2 a \\a\end{array}$$\quad$$\left.\begin{array}{c}a+b+2 c \\c \\c\end{array}\right]$

ক. $A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 2 \\3 & 4 & 5\end{array}\right]$ এবং $B=\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 2 \\-7 & 1 & 8\end{array}\right]$ হলে $2 A+B$ নির্ণয় কর।

খ. ক্রেমারের নিয়ম ব্যবহার করে উদ্দীপকে উল্লিখিত সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $|R|=2(a+b+c)^{3}$

$A=\left[\begin{array}{cc}4 & 1 \\3 & M\end{array}\right]$$B=\left[\begin{array}{ccc}p^{2} & q & r \\p^{3} & q^{2} & r^{2} \\p^{3}-1 & q^{3}-1 & r^{3}-1\end{array}\right]$ এবং $C=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\1 & 2 & 3 \\3 & 1 & 1\end{array}\right]$

ক. $M$ এর মান কত হলে $A$ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস $5$ হবে?

খ. দেখাও যে, $|B|=(p q r-1)(p-q)(q-r)(r-p)$

গ. $C^{-1}$ নির্ণয় কর।