Questions in this chapter

নিচের তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নের উত্তর দাও:

$A=\left(\begin{array}{ll}5 & 2 \\3 & 4\end{array}\right)$

$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{l}\mathbf{x} \\\mathbf{y}\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{l}7 \\7\end{array}\right)$ এবং $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$ $x+y$ কত ?

দৃশ্যকল্প-১:

$\begin{array}{l}\mathrm{x+y+z=1}\\\mathrm{x+2y+z=2}\\\mathrm{x+y+2z=0}\end{array}$

দৃশ্যকল্প-২:

$\mathrm{D}=8\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{\frac{p-q-r}{2}}&\mathrm{p}&\mathrm{p}\\\mathrm{q}&\mathrm{\frac{q-r-p}{2}}&\mathrm{q}\\\mathrm{r}&\mathrm{r}&\mathrm{\frac{r-p-q}{2}}\end{array}\right|$

ক. $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right)$ এবং $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}3 \\2 \\1\end{array}\right)$, হলে $(\mathrm{AB})^{\mathrm{t}}$ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{D}=\mathrm{S}^{3}$ যেখানে $\mathrm{S}=\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}$.

$\mathrm P=\left[\begin{array}{rrr}4 & -1 & 3 \\0 & 7 & 5 \\6 & -2 & 2\end{array}\right]$ এবং $\mathrm Q=\left[\begin{array}{rrr}0 & 4 & 3 \\-3 & -4 & -5 \\-2 & 1 & 2\end{array}\right]$

ক. $\mathrm{P + Q}$ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{(P Q)^{t}=Q^{t} P^{t}}$

গ. $\mathrm{PR = RP = I}$ হলে $\mathrm R$ ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর। যেখানে $\mathrm I$ একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।

$\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}1&4\\0&1\end{array}\right),$$\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ll}1&\mathrm{m}\\0&\mathrm{n}\end{array}\right),$$\mathrm{C}=\left(\begin{array}{lll}0&1&2\\1&2&0\\2&0&4\end{array}\right)$ এবং

$\mathrm{f(x)=x^{2}+5 x+6}$

ক. $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{l}1 \\2 \\3\end{array}\right)$ এবং $\mathrm{Q}=\left(\begin{array}{lll}4 & 5 & 6\end{array}\right)$ হলে $\mathrm{(P Q)^{\top}}$ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{AB}=\mathrm{I}_{2}$ হলে m ও n এর মান নির্ণয় কর।

গ. $f\mathrm{(C)}$ নির্ণয় কর।

$\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}(\mathrm{b}+\mathrm{c})^{2} & \mathrm{a}^{2} & \mathrm{bc} \\(\mathrm{c}+\mathrm{a})^{2} & \mathrm{~b}^{2} & \mathrm{ca} \\(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2} & \mathrm{c}^{2} & \mathrm{ab}\end{array}\right),$$\mathrm{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\0 & 2 & 0 \\3 & 0 & 1\end{array}\right), \\\mathrm{C}=\left(\begin{array}{l}\mathrm{x} \\\mathrm{y} \\\mathrm{z}\end{array}\right), \mathrm{D}=\left(\begin{array}{l}1 \\2 \\1\end{array}\right)$

ক. বিস্তার না করে প্রমাণ কর যে, $\left|\begin{array}{lll}1&\mathrm{bc}&\mathrm{bc(b+c)}\\1&\mathrm{ca}&\mathrm{ca(c+a)}\\1&\mathrm{ab}&\mathrm{ab(a+b)}\end{array}\right|$$=0$

খ. দেখাও যে, $\det\mathrm{ A=\left(a^2+b^2+c^2\right)(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)}\text{.}$

গ. BC = D হলে ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণজোট সমাধান কর।

দৃশ্যকল্প-১: $x-2 y+2 z=1,2 x+6 y-z$$=2, x+3 y-3 z=3$

দৃশ্যকল্প-২: $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\1 & y & y^{2} \\1 & z & z^{2}\end{array}\right|,$$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\y z & z x & x y \\x & y & z\end{array}\right|$

ক. দেখাও যে, $\left[\begin{array}{ll}2 & -1 \\3 & -2\end{array}\right]$ একটি অভেদঘাতি (involutory) ম্যাট্রিক্স।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি নির্ণায়ক পদ্ধতিতে সমাধান কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ ব্যবহার করে দেখাও যে, $\Delta+\Delta_{1}=0$

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&1&-1\\3&-1&1\end{array}\right],$$\Delta=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{x-1}&2&3\\1&\mathrm{x-1}&1\\3&2&\mathrm{x-1}\end{array}\right]$

ক. K এর কোন মানের জন্য $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{K}-3&-1\\-2&\mathrm{K}-2\end{array}\right]$ ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে?

খ. উদ্দীপক হতে $A^{3}-3 A^{2}-A+9 I=0$ এর সাহায্যে $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের সাহায্যে $|\Delta+\mathrm{I}|=0$ সমীকরণের সমাধান কর। যেখানে $\mathrm{I}$ একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।

$A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\3 & 1 & -4 \\5 & 2 & -3\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{lll}p^{2} & q r & 2 p \\q^{2} & r p & 2 q \\r^{2} & p q & 2 r\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{cc}x-5 & 8 \\-1 & y+3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}y-1 & 8 \\-1 & 7\end{array}\right]$ হলে (x, y) এর মান নির্ণয় কর।

খ. $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $|B|=-2(p-q)(q-r)$$(p-r)(p q+q r+r p)$ .

$A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 3 \\1 & 1 & 1 \\1 & -1 & 2\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{l}2 \\5 \\4\end{array}\right]$

ক. কী শর্তে দুইটি ম্যাট্রিক্সের যোগ ও গুণ করা সম্ভব?

খ. AB = C হলে ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোটটির সমাধান কর।

গ. $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর ।

$M=\left[\begin{array}{cc}a-5 & 2 \\2 & a-2\end{array}\right],$$N=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & -3 \\2 & 1 & 0 \\4 & -2 & 5\end{array}\right] \\P=\left[\begin{array}{ccc}-2 & a+b & -c \\-2 & b+c & -a \\a+b-c & \dot{c}^{2} & a b\end{array}\right]$

ক. a এর মান কত হলে M একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে?

খ. $\mathrm{N^{2}-5 N+4 I}$ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $\mathrm{|P|=(c-a)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}$

$2 x-y-z=6$$x+3 y+2 z=1$

এবং $\mathrm{3 x-y-5 z=1}$

ক. বিস্তার না করে $\left|\begin{array}{lll}a & 1 & b+c \\b & 1 & c+a \\c & 1 & a+b\end{array}\right|$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. x, y ও z এর সহগগুলো নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স A হলে $\mathrm{A^{-1}}$ নির্ণয় কর।

গ. ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোট সমাধান কর।

$\mathrm{Q}=\left[\begin{array}{ccc}3+\mathrm{x} & 4 & 2 \\4 & 2+\mathrm{x} & 3 \\2 & 3 & 4+\mathrm{x}\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\-1 & -k\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে k এর মান নির্ণয় কর।

খ. যদি x = 7 হয়, $\mathrm{Q^{2}-5 Q+3 I_{3}}$ এর মান নির্ণয় কর যেখানে $\mathrm{I_3}$ একক ম্যাট্রিক্স।

গ. $|\mathrm Q| = 0$ হলে সমাধান সেট নির্ণয় কর।

$\Lambda=$$\left[\begin{array}{ccc}p & p+1 & p+1 \\p+1 & p & p+1 \\p+1 & p+1 & p\end{array}\right]$

ক. বিস্তার না করে $\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\6 & 7 & 8\end{array}\right|$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের আলোকে $\mathrm{A}^{2}-7 \mathrm{~A}-8 \mathrm{I}_{3}$ নির্ণয় কর; যখন $\mathrm{p = 2}$

গ. AX = B হলে নির্ণায়কের সাহায্যে 'X' নির্ণয় কর যেখানে $\mathrm{p}=1, \mathrm{~B}=\left[\begin{array}{c}11 \\10 \\9\end{array}\right]$

$\mathrm{p x+q y+r z=1}$

$\mathrm{p^{2} x+q^{2} y+r^{2} z=a}$

$\left(p^{3}-1\right) x+\left(q^{3}-1\right)$$y+\left(r^{3}-1\right) z=a^{2}$

ক. প্রমাণ কর যে, $\left[\begin{array}{rr}4 & 3 \\-4 & -3\end{array}\right]$ একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স।

খ. উদ্দীপকের সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, pqr = 1, যখন Det (A) = 0 এবং $\mathrm{p \neq q \neq r}$

গ. $\mathrm{p = 1, q = 2, r = 1}$ হলে $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর।

$A=\left(\begin{array}{ll}1-2 & 3\end{array}\right), X=\left(\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right),$

$B=\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\1 & 5 & 0 \\4 & -2 & 1\end{array}\right)$

$\mathrm{C}=\left(\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2&l^2&l^2\\\mathrm{~m}^2&(\mathrm{n}+l)^2&\mathrm{~m}^2\\\mathrm{n}^2&\mathrm{n}^2&(l+\mathrm{m})^2\end{array}\right)$

ক. $3\left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\2 & 4\end{array}\right)+E=l_{2}$ হলে E ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর।

খ. ক্রেমারের নিয়মে $\mathrm{BX}^{\mathrm{T}}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}}$ সমীকরণ জোট সমাধান কর।

গ. দেখাও যে, $|\mathrm{C}|=2 l \mathrm{mn}(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^{3}$

সমীকরণ জোট:

$\mathrm{t x+u y+v z=5}$

$\mathrm{t^2x+u^2y+v^2z=5}$

$\left(t^{3}-1\right) x+\left(u^{3}-1\right) y$$+\left(\mathrm{v}^{3}-1\right) \mathrm{z}=-5$

ক. $\mathrm{M}=\left[\begin{array}{r}2 \\9 \\-3\end{array}\right], \mathrm{N}=\left[\begin{array}{lll}-3 & 5 & 6\end{array}\right]$ হলে $[\mathrm{MN}]^{\mathrm{T}}$ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{t}=1, \mathrm{u}=2, \mathrm{v}=3$ হলে ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোটের সমাধান কর ।

গ. x, y, z এর সহগগুলো দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক D হলে প্রমাণ কর, $\mathrm{D=(tuv-1)(t-u)(u-v)(v-t)}$

$A=\left[\begin{array}{ccc}x-1 & 1 & 2 \\-2 & x+1 & 3 \\2 & 0 & x\end{array}\right]$ এবং $B=\left[\begin{array}{rr}5 & 2 \\-10 & -4\end{array}\right]$

ক. দেখাও যে, $B$ একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স ।

খ. $|A|=0$ হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$ নির্ণয় কর যখন, $x = 0$ হয় ।

$M=\left[\begin{array}{cc}p-q-r & 2 q \\2 p & q-r-p \\2 p & 2 q\end{array}\right.$ $\quad$ $\left.\begin{array}{c}2 r \\2 r \\r-p-q\end{array}\right]$ $N=\left[\begin{array}{r}-3 \\0 \\3\end{array}\right]$ এবং $X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{rr}x & 3 \\5 & x-2\end{array}\right]$ একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $|\mathrm{M}|=(\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r})^{3}$

গ. উদ্দীপকে $p=q=r=1$ হলে, $M X=N$ কে ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

$f(x)=x^{2}-4 x+5$

$B=\left[\begin{array}{cc}a^{2} & b c \\a^{2}+a b & b^{2} \\a b & b^{2}+b c\end{array}\right.$$\quad$$\left.\begin{array}{c}c a+c^{2} \\c a \\c^{2}\end{array}\right]$

ক. যদি $\left[\begin{array}{cc}x+3 & 6 \\5 & x-4\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হয়, তবে এর X মান বাহির কর।

খ. যদি $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\2 & 1 & 2 \\2 & 2 & 1\end{array}\right]$ হয়, তবে $f(A)$ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $|B|=4 a^{2} b^{2} c^{2} \text {. }$

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 3 \\3 & 1 & 3 \\3 & 3 & 1\end{array}\right]$

ক. বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স ব্যাখ্যা কর ।

খ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $A^{2}-5 A-1 {4}$ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স ।

গ. উদ্দীপকের আলোকে $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর ।