Questions in this chapter

$x+3 y+2 z=5$

$\begin{array}{l}2 x+y+3 z=1 \\3 x+2 y+z=4\end{array}$

ক. ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়কের মধ্যে দুইটি পার্থক্য লিখ ।

খ. ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোটের সমাধান কর ।

গ. প্রদত্ত সমীকরণ জোটের চলকসমূহের সহগগুলো দ্বারা গঠিত

ম্যাট্রিক্সটি $M$ হলে $M^{2}-2 M+3 I$ এর মান নির্ণয় কর ।

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 5 & -2 \\4 & 3 & 7 \\-3 & 4 & 5\end{array}\right]$ এবং $B=\left[\begin{array}{rrr}2 & -3 & 1 \\7 & 2 & 5 \\-1 & 8 & 9\end{array}\right]$দুটি ম্যাট্রিক্স $f(x)=3 x^{2}+2 x-5 I$

ক. $(2 \mathrm{~A}-\mathrm{B})^{\mathrm{T}}$ নির্ণয় কর।

খ. $f(\mathrm{~A})$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{B}^{-1}$ নির্ণয় কর (যদি বিদ্যমান থাকে)

$p x+q y+r z=5$

$p^{2} x+q^{2} y+r^{2} z=5$

$\left(p^{3}-1\right) x+\left(q^{3}-1\right)$$y+\left(r^{3}-1\right) z=-5$

ক. $\left[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & 1 & 0 \\1 & 2 & 1 \\1 & 2 & \mathrm{x}\end{array}\right]$ একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে x এর মান নির্ণয় কর।

খ. $p=1, q=2, r=3$ হলে ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় কর।

গ. x, y ও z এর সহগগুলো দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক $D$ হলে প্রমাণ

কর যে, $D=(p q r-1)$$(p-q)(q-r)(r-p)$

দৃশ্যকল্প: $A=\left[\begin{array}{rrr}4 & 1 & 5 \\-2 & -1 & -3 \\3 & -4 & -9\end{array}\right],$$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{l}2 \\5 \\4\end{array}\right]$

এবং $f(x)=x^{3}-2 x^{2}$$+x-2 I$ যেখানে $I$ অভেদ ম্যাট্রিক্স ।

ক. $\left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\-1 & -2\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতি $\text { (involutory) }$ কি-না যাচাই কর।

খ. $f\left(\mathrm{~A}^{\mathrm{T}}\right)$ নির্ণয় কর, যেখানে $\mathrm{A}^{\mathrm{T}}$ হচ্ছে $A$ এর ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স ।

গ. ক্রেমারের সূত্রের সাহায্যে $AX = B$ সমীকরণ জোট সমাধান কর।

দৃশ্যকল্প: $A=$$\left[\begin{array}{ccc}x & y & z \\2 x^{3}+1 & 2 y^{3}+1 & 2 z^{3}+1 \\x^{2} & y^{2} & z^{2}\end{array}\right]$$\mathrm{B}=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & -1 \\1 & 3 & 1 \\1 & 2 & 1\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{rrr}0 & 2 & m \\-2 & 0 & 3 \\4 & -3 & 0\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম হলে $m$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\operatorname{det}(A)=-(2 x y z+1)(x-y)(y-z)$

গ. এমন ম্যাট্রিক্স $C$ নির্ণয় কর যেন $\mathrm{BC}=\mathrm{CB}=\mathrm{I}_{3}$ হয়।

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 4 \\2 & 2 & 3 \\4 & 3 & -5\end{array}\right],$$f(x)=x^{2}-x+3$

ক. $P=\left[\begin{array}{rr}3 & 3 \\-3 & -3\end{array}\right]$ হলে দেখাও যে, $P$একটি শূন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স ।

খ. $f(\mathrm{~A})$ নির্ণয় কর ।

গ. প্রমাণ কর যে, $A^{-1} \cdot A=I_{3}$

$A=\left[\begin{array}{ccc}p & q & r \\p^{2} & q^{2} & r^{2} \\p^{3} & q^{3} & r^{3}\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{rrr}2 & 2 & -1 \\4 & 2 & -3 \\1 & 4 & 2\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{l}5 \\1 \\6\end{array}\right]$

এবং $X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$

ক. $\left(\begin{array}{rr}-a^{} & 6 \\2 & -a+1\end{array}\right)$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে $a$ এর মান বের কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $|A|=\operatorname{pqr}(p-q)(q-r)(r-p)$

গ. ক্রেমারের সূত্র ব্যবহার করে $B X=C$ সমীকরণ জোটটি সমাধান কর ।

$A=\left[\begin{array}{cc}a & a+1 \\-a+1 & -a\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\1 & 0 & 2 \\3 & 4 & -5\end{array}\right],$$x=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$ এবং $C=\left[\begin{array}{l}4 \\0 \\2\end{array}\right]$

ক. $a = 5$ হলে দেখাও যে, $A$ একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স।

খ. $\mathrm{B}^{\mathrm{T}}$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{BX}=\mathrm{C}$ হলে, ক্রেমারের সূত্র ব্যবহার করে সমাধান কর।

$A=\left[\begin{array}{lll}12 & 3 & 0 \\1 & 2 & 1 \\6 & 1 & 0\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\0 & 2 & 0 \\3 & 0 & 1\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{l}1 \\2 \\1\end{array}\right]$

ক. $|\mathrm{A}|$ এর $(3,2)$ তম ভূক্তির সহগুণক নির্ণয় কর।

খ. $5 \mathrm{~A}^{2}-3 I$ নির্ণয় কর, যেখানে $I$ অভেদ ম্যাট্রিক্স।

গ. $\mathrm{BC}=\mathrm{D}$ হলে, ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোটটি সমাধান কর।

$A=\left[\begin{array}{ccc}3+x & 4 & 2 \\4 & 2+x & 3 \\2 & 3 & 4+x\end{array}\right]$

ক. $B+2 I=\left(\begin{array}{ll}4 & 3 \\2 & 5\end{array}\right)$ হলে $B$ নির্ণয় কর।

খ. $|\mathrm{A}|=0$ হলে সমাধান সেট নির্ণয় কর।

গ. $x=-1$ হলে $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ $: A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\3 & 8 & 2 \\4 & 9 & -1\end{array}\right],$$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{c}-1 \\28 \\14\end{array}\right]$

দৃশ্যকল্প-২ $: \mathbf{P}=\left[\begin{array}{ll}3 & -1 \\2 & -2\end{array}\right],$$Q=\left[\begin{array}{ll}2 & -1 \\2 & -3\end{array}\right]$

ক. $P-Q$ ম্যাট্রিক্সটির নাম কি?

খ. $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ সমীকরণজোট ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর ।

গ. বিপরীতকরণযোগ্যতা যাচাইপূর্বক $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\3 & 6\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{ll}3 & 7 \\2 & 1\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\2 & 8\end{array}\right]$

$M=\left[\begin{array}{ll}x+2 y+3 z & 2 x+y\end{array}\right.$$+4 z \quad 3 x+2 y+z]$

এবং $\mathrm{N}=\left[\begin{array}{lll}-1 & 2 & 3\end{array}\right]$

ক. দুইটি ম্যাট্রিক্স সমান হওয়ার শর্তগুলি কী কী?

খ. $A B+B^{t}-2 C$ নির্ণয় কর ।

গ. $M=N$ হলে ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

$A=\left[\begin{array}{rrc}2 & 3 & -1 \\2 & 0 & 2 \\1 & -2 & 0\end{array}\right]$

$f(t)=t^{2}-3 t+2$

সমীকরণ জোট : $x+y+z=6$

$x-2 y+2 z=3$

$2 x+y-z=1$

ক. বিস্তার না করে প্রমাণ কর যে,

$\left[\begin{array}{ccc}x y(x+y) & y z(y+z) & z x(z+x) \\x y & y z & z x \\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$=x y z$$\left[\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\1 & 1 & 1 \\z & x & y\end{array}\right]$

খ. $f(\mathrm{~A})$ নির্ণয় কর ।

গ. সমীকরণ জোটটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান কর।

$x-y+z=2$

$2 x+z=5$

$x+2 y-3 z=-4$

ক. ম্যাট্রিক্ও নির্ণায়কের দুইটি পার্থক্য লিখ।

খ. ক্রেমার-এর প্রক্রিয়ায় প্রদত্ত সমীকরণ জোট সমাধান কর।

গ. প্রদত্ত সমীকরণ জোটের চলকসমূহের সহগগুলি নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ $\text { : }A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\6 & 4\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\4 & 3\end{array}\right]$

দৃশ্যকল্প-২ : $2 x+3 y-5 z$$=7, x-4 y+z=4, \frac{3}{5} x-\frac{1}{5} y-\frac{2}{5}$$z=1$

ক. বিস্তার না করে প্রমাণ কর $:\left|\begin{array}{lll}2 & a & 6-a \\3 & b & 9-b \\9 & c & 27-c\end{array}\right|=0$

খ. $C=A-B$ হলে $C^{2}+5 B+3 I$ নির্ণয় কর ৷

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $f(x)=3 x^{2}+5 x$

দৃশ্যকল্প-২ : $\mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}l & \mathrm{~m}^{2} & \mathrm{n} \\l^{2} & \mathrm{~m}^{2} & \mathrm{n}^{2} \\l^{3}-1 & \mathrm{~m}^{3}-1 & \mathrm{n}^{3}-1\end{array}\right]$

ক. যদি $\left(\begin{array}{ll}x & 2 \\x & 2\end{array}\right)$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হয় তবে $x$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $A=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \\-1 & 4 & 3 \\4 & -7 & 5\end{array}\right)$ হলে $f(A)$ নির্ণয় কর ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, $|\mathrm{B}|=(l \mathrm{mn}-1)(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l)$

$M=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\-1 & 2 & 0 \\3 & 0 & 1\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$

ক. $f(x)=\frac{x^{2}-3}{x-\sqrt{3}}$ -ফাংশনের রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{M}^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{M}^{t} \mathrm{X}=\left[\begin{array}{c}-1 \\0 \\2\end{array}\right]$ হলে নির্ণায়ক পদ্ধতিতে সমাধান কর।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{l}2 \\5 \\4\end{array}\right]$

ক. $A \times C$ নির্ণয় করে উহার মাত্রা নির্ণয় কর।

খ. $A^{-1}$ নির্ণয় কর ।

গ. $A \times B=C$ হলে, ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোটটির সমাধান কর

$f(x)=x^{2}+3 x, g(x)=2 x-3$ এবং $A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -1 \\2 & 3 & 4 \\-4 & 5 & 6\end{array}\right]$

ক. নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর : $x+3 y+2$$=0,2 x+y+3=0$

খ. $f(\Lambda)+1$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{go} f(\mathrm{x})$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর ।

$x+y+z=1$$........(i)$

$l x+m y+n z=k$$.......(ii)$

$l^{2} x+\mathrm{m}^{2} y+\mathrm{n}^{2} \mathrm{z}=\mathrm{k}^{2}$$......(iii)$

ক. $2\left[\begin{array}{r}1-2 \\2-1\end{array}\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_{2}$ হলে, $F$ ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে, $\mathrm{I}_{2}$ একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স ।

খ. সমীকরণগুলোকে $A X=B$ আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, $\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})$$(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l)$

গ. $x,y,z$ এর সহগ নিয়ে গঠিত $A$ একটি ম্যাট্রিক্স। $A$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে $l=1, m=2,$$n=-1 \text {. }$