Questions in this chapter

দৃশ্যকল্প-১ : $\operatorname{cosec} A=\frac{5}{3} ; \sec \mathrm{B}=\frac{13}{5} ; \cot C=2$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=\cos x$

ক. $\sin \cos ^{-1} \tan \cos ^{-1} \frac{3}{4}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে, $A-C+\frac{1}{2} B$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে সমাধান কর :

$\sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-2=f(x)$ যখন $-2 \pi<x<2 \pi$

দৃশ্যকল্প-১ : $\cos A=\frac{4}{5}, \sec B=\frac{13}{5}, \sin C=\frac{1}{\sqrt{5}}, \cot D=\frac{29}{28}$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=\cos x$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sec ^{-1} x+\operatorname{cosec}^{-1} x=\frac{\pi}{2}$

খ. দৃশ্যকল্প-১ থেকে প্রমাণ কর যে, $A+\frac{1}{2} B-C=D$

গ. দৃশ্যকল্প-২ থেকে সমাধান কর :

$f(x)\{1+2 f(x)\}+f(3 x)-1=0$ যখন $-\pi \leq \mathrm{x} \leq \pi$

ক. $f(x)=5 x-1$ হলে, $\frac{1}{|f(x)|} \geq \frac{1}{9}, x \neq \frac{1}{5}$ অসমতাটি সমাধান কর -

ও সংখ্যারেখায় দেখাও ৷

খ. দৃশ্যকল্পের আলোকে, যদি $A+P=\theta$ হয়, তবে দেখাও যে,

$x^{2}-2 x y \cos \theta+y^{2}=r^{2} \sin ^{2} \theta$

গ. যদি $f(\varphi)=\frac{r}{x}$ হয়, তবে $f(2 \varphi)-f(\varphi)=2$ সমীকরণের সমাধান কর।

সেখানে $-\pi \leq \varphi \leq \pi$

$f(x)=\sin x, g(x)=\cos x, \sin \theta=\frac{4}{5}$

ক. $\operatorname{cosec}^{-1} \sqrt{5}+\sec ^{-1} \frac{\sqrt{10}}{3}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে,

$\sec ^{-1} \sqrt{5}+\frac{1}{2} \theta-\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}=\tan ^{-1} 2$

গ. উদ্দীপকের আলোকে সমাধান কর : $\sqrt{3} \cdot \mathrm{g}(\mathrm{x})+f(\mathrm{x})=\sqrt{3}$

$H(x)=\sin ^{-1} x$ এবং $G(x)=\cos x$

ক. প্রমাণ কর যে, $3 \tan ^{-1} x=\tan ^{-1} \frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}$

খ. $\mathrm{H}\left(\sqrt{2} \mathrm{G}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right)+\mathrm{H}(\sqrt{\mathrm{G}(2 \theta)}$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. সমাধান কর :

$\sin ^{3} x G(3 x)+\{G(x)\}^{3} \sin 3 x=\frac{3}{4}$

$\mathrm{A}=\frac{\mathrm{x}}{2}, \mathrm{~B}=\frac{\mathrm{y}}{3}$ এবং $f(y)=\sin y$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin \cos ^{-1} \tan \sec ^{-1} \frac{x}{y}=\frac{\sqrt{2 y^{2}-x^{2}}}{y}$

খ. $\cos ^{-1} A+\cos ^{-1} B=\theta$ হলে, দেখাও যে,

$\frac{x^{2}}{4}-\frac{x y}{3} \cos \theta+\frac{y^{2}}{9}=\sin ^{2} \theta$

গ. $2 f(y) f(3 y)=1$ হলে, $0 \leq y \leq 2 \pi$ ব্যবধিতে $y$ এর মান নির্ণয় কর?

$5 \sin A=3,13 \cos 2 B=5, \cot C=2$ এবং $f(x)=\cos x$

ক. মান নির্ণয় কর : $\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}+\cot ^{-1} 3$

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{A}+\mathrm{B}-\mathrm{C}=\mathrm{D}$ যেখানে $D=\tan ^{-1} \frac{28}{29}$

গ. সমাধান কর : $\sqrt{3} f(x)+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1$ যখন, $,-2 \pi<{x}<2 \pi$

$\mathrm{A}=\frac{\pi}{2}, f(\mathrm{x})=\operatorname{cox}$

$\cos ^{-1} \frac{x}{M}+\cos ^{-1} \frac{y}{N}=\theta.....(i)$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{-1}(\sqrt{2} \sin \alpha)+\sin ^{-1} \sqrt{\cos 2 \alpha}=A$

খ. (i) নং হতে প্রমাণ কর যে, $\frac{x^{2}}{M^{2}}-\frac{2 x y \cos \theta}{M N}+\frac{y^{2}}{N^{2}}=\sin ^{2} \theta$

গ. সমাধান কর : $4 f(x) f(2 x) f(3 x)=1$ যখন $0<\mathrm{x}<\pi \text {. }$

নিচের উদ্দীপকটি পড় এবং প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :

দৃশ্যকল্প-I: $\sec ^{-1} \frac{5}{3}+\cot ^{-1} \frac{12}{5}+\sin ^{-1} \frac{16}{65}$

দৃশ্যকল্প-II : $\sqrt{3} \sin \theta=2+\cos \dot{\theta}$

ক. প্রমাণ কর :$2 \tan ^{-1} x=\cos ^{-1} \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$

খ. দেখাও যে দৃশ্যকল্প-i এর মান $\frac{\pi}{2}$

গ. দৃশ্যকল্প—ii : এর সমাধান কর যখন $-2 \pi<\theta<2 \pi$

$f(x)=\sin x, g(x)=\cos x$

ক. $\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}=\frac{4}{3}$ হলে, দেখাও যে, $2 x=\cot ^{-1} \frac{\sqrt{7}}{3}$

খ. যদি $f^{-1}(5 x)+f^{-1}(5 y)=\frac{3 \pi}{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর : $f(2 x)+g(2 x)=f(4 x)+g(4 x)$

দৃশ্যকল্প-১ : $f(x)=\frac{2 x}{1+x^{2}} ; g(y)=\frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}$

দৃশ্যকল্প-২ : $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}$

ক. $\operatorname{cosec}^{-1} \sqrt{17}+\sec ^{-1} \frac{\sqrt{26}}{5}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{f(a)}-\sec ^{-1} \frac{1}{g(b)}=2 \tan ^{-1} x$ হলে, দেখাও যে, $x=\frac{a-b}{1+a b}$

গ. সমাধান কর : $\sqrt{3} \mathrm{~h}(\mathrm{x})-\mathrm{h}\left(\frac{\pi}{2}+\mathrm{x}\right)=2$ যখন $-2 \pi<x<2 \pi$

$P(\theta)=\sin \theta$ এবং $\mathrm{Q}(\theta)=\cos \theta$

ক: যদি $x = 1$ হয়, তবে দেখাও যে, $3 \tan ^{-1} x=\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}$

খ. যদি $\sin \left\{\pi \mathrm{P}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}=\cos \left\{\pi \mathrm{Q}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\theta=\pm \frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4}$

গ. যদি $\mathrm{Q}(\theta)-\mathrm{P}(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ হয়, তবে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর, যেখানে $-2 \pi<\theta<2 \pi$

$f(y)=\tan ^{-1} y$

ক. মান নির্ণয় কর : $\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\sec ^{-1} \frac{\sqrt{11}}{2}$

খ. প্রমাণ কর যে, $\tan \{2 f(x)\}=2 \tan \left\{f(x)+f\left(x^{3}\right)\right\}$

গ. $\theta=f(y)$ হলে সমাধান কর : $y=\cot 2 \theta, 0 \leq \theta \leq \pi$

$f(x)=\cos ^{-1} x, g(x)=\sin x$

ক. দেখাও যে, $2 \cos ^{-1} x=\cos ^{-1}\left(2 x^{2}-1\right)$

খ. প্রমাণ কর যে, $f\left(\frac{4}{5}\right)+\frac{1}{2} f\left(\frac{5}{13}\right)-f\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\tan ^{-1} \frac{28}{29}$

গ. সমাধান কর : $g(x)-\sqrt{3} g\left(\frac{3 \pi}{2}+x\right)=\sqrt{3}$ যখন $-\pi<x<\pi \text {. }$

দৃশ্যকল্প-১ : $\sin ^{-1} \frac{2 p}{1+p^{2}}-\cos ^{-1} \frac{1-q^{2}}{1+q^{2}}=2 \tan ^{-1} x$

দৃশ্যকল্প -২ : $2 \sin \theta \sin 3 \theta=1,0<\theta<\pi$

ক. প্রমাণ কর যে, $2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{7}=\frac{\pi}{4}$

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{p}-1}{1+\mathrm{pq}}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে সমীকরণটি সমাধান কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $\frac{2 x^{2}-1}{(x+1)^{2}(x-2)}$

দৃশ্যকল্প-২: $\sin \theta=\frac{4}{5}$

ক. $D^{\prime} \text { Alembert }$ অনুপাত পরীক্ষণের সাহায্যে $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n !}$ ধারাটি অভিসৃতি পরীক্ষা কর।

খ. $\mathbf{x}^{n-1}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

গ. $\operatorname{cosec}^{-1} \sqrt{5}+\frac{1}{2} \theta-\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}=\tan ^{-1} 2$ এর সত্যতা যাচাই কর।

$f(x)=\sin x, g(x)=\cos x$

ক. প্রমাণ কর যে,

$2 \tan ^{-1} x=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}}$

খ. $0 \leq \mathrm{x} \leq \pi$ ব্যবধিতে $2 f(x) f(3 x)=1$ এর সমাধান নির্ণয় কর।

গ. $f(\pi \cos \theta)=g(\pi \sin \theta)$ হলে প্রমাণ কর যে,

$\theta=\pm \frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4}$

$f(\theta)=\cos \theta$

ক. দেখাও যে, $\cos ^{-1} x=2 \sin ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{2}}$

খ. প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{2} \theta+\sin ^{-1} \frac{3}{5}-\tan ^{-1} \frac{1}{2}=\cot ^{-1} \frac{29}{28}$ যেখানে,

$f(\theta)=\frac{5}{13}$

গ. সমাধান কর : $4 f(\theta) f(2 \theta) f(3 \theta)=1$ যেখানে, $0<\theta<\pi .$

$\mathrm{p}(\mathrm{x})=\cos ^{-1} \mathrm{x}$ এবং $f(x)=\cos{x}$

ক. $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y=\frac{\pi}{2}$ হয়, তবে দেখাও যে, $x^{2}+y^{2}=1$

খ. প্রমাণ কর যে, $p\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)-p\left(\frac{\sqrt{6}+1}{2 \sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}$

গ. সমাধান কর : $\frac{\sqrt{3}}{f\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)}-\frac{1}{f(2 x)}=4$

দৃশ্যকল্প-১ :

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=\cos x$

ক. $\tan ^{-1} \frac{1}{2}+\cot ^{-1} 3$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, $\sin ^{2}\left(\cos ^{-1} \frac{1}{x}\right)-\cos ^{2} \left(\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{x}}\right)=\frac{2}{9}$ যেখানে $A B=2, y=\sqrt{5}$

গ. $\sqrt{3} f(\mathrm{x})+f\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)=1$, দৃশ্যকল্প-২ হতে $-2 \pi<{x}<2 \pi$ ব্যবধিতে

সমীকরণটি সমাধান কর।