Questions in this chapter

$\text { i) } \sin (\pi \cos \theta)=\cos (\pi \sin \theta) \text {;ii) } f(\theta)=\cos \theta$

ক. দেখাও যে, $2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}+\cot ^{-1} 7=\frac{\pi}{4}$

খ. দৃশ্যকল্প- i) এর আলোকে দেখাও যে, $\theta=\pm \frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4}$

গ.. দৃশ্যকল্প-ii) এর আলোকে $4 f(x) f(2 x) f(3 x)=1$ সমাধান কর যখন $0<x<\pi$

$P=\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{5}{13}-\cos ^{-1} 2$ এবং $Q=\sqrt{3} \cos x+\sin x$

ক. যদি $1-y=(1+x)^{-1}$ হয়, তবে দেখাও যে, $x=y+y^{2}+y^{3}+y^{4}+\ldots$

খ. $\sec ^{2} P$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $Q=1$ সমীকরণটির সমাধান কর । যখন $0 \leq x \leq 2 \pi$

দৃশ্যকল্প—১ : $\operatorname{cosec} B=\frac{5}{3}, \cot C=3$ এবং $\sec A=\sqrt{5}$

দৃশ্যকল্প—২ : $f(x)=\sin x$

ক. $\operatorname{cosec}^{-1} \sqrt{17}-\sec ^{-1} \frac{\sqrt{26}}{5}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প—১ থেকে, $A+C-\frac{1}{2} B$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. সমাধান কর : দৃশ্যকল্প—২ থেকে $\sqrt{3} f(x)-f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=2$

যখন $-2 \pi<x<2 \pi$

$\cos M=\frac{a}{b}, f(x)=\cos x, \cos N=\frac{e}{f}$

ক. $f\left(\cot ^{-1} \frac{3}{4}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $-2 \pi<x<2 \pi$ সীমার মধ্যে $\sqrt{3} f(x)+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1$

সমীকরণটিকে সমাধান কর ৷

গ. $\mathrm{M}+\mathrm{N}=\mathrm{x}$ হলে দেখাও যে, $\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}-\frac{2 \mathrm{ae} \cos \mathrm{x}}{\mathrm{b} f}+\frac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{f}^{2}}=\sin ^{2} \mathrm{x}$

$f(x)=\sin ^{-1} x$ এবং $g(x)=\cos x$

ক. $\tan ^{-1} \frac{1}{2}+\tan ^{-1} \frac{1}{3}$ এর মান নির্ণয় এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f\left\{\sqrt{2} \mathrm{~g}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}+f\{\sqrt{\mathrm{g}(2 \theta)}\}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. সরল কর : $\sqrt{3} g(x)+g\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=1$ যখন $-2 \pi<x<2 \pi$

$\mathrm{P}({\mathrm{x}})=\frac{2 \mathrm{x}}{1+\mathrm{x}^{2}}, \mathrm{Q}(\mathrm{y})=\frac{1-\mathrm{y}^{2}}{1+\mathrm{y}^{2}}, \mathrm{R}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}$

ক. দেখাও যে, $2 \operatorname{sin}^{-1} x=\sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right)$

খ. $\operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{\mathrm{P}(\mathrm{a})}-\sec ^{-1} \frac{1}{\mathrm{Q}(\mathrm{b})}=2 \tan ^{-1} \mathrm{x}$ হলে দেখাও যে, $x=\frac{a-b}{1+a b}$

গ. সমাধান কর : $2 \mathrm{R}(\theta) \cdot \mathrm{R}(3 \theta)=1$ যখন $0 \leq \theta \leq \pi$

$f(x)=\cos x$ এবং $g(x)=\cos ^{-1} x$

ক. $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y=\frac{\pi}{2}$ হলে, দেখাও যে, $x^{2}+y^{2}=1$

খ. $g\left(\frac{x}{a}\right)+g\left(\frac{y}{b}\right)=\theta$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{2 x y}{a b} \cos \theta+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sin ^{2} \theta$

গ. $4 f(x) f(2 x) f(3 x)=1$ হলে, $0<\mathbf{x}<\pi$ ব্যবধিতে x এর মান নির্ণয় কর ৷

$\sin A=\frac{3}{5}, \cos B=\frac{5}{13}, \cot C=2, f({x})=\cos x$

ক. ত্রিকোণমিতিক সূত্র প্রয়োগ করে $\sin \left(4 \tan ^{-1} \frac{1}{3}\right)$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $A+\frac{1}{2} B-C$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $4 f(\theta) f(2 \theta) f(3 \theta)=1$ সমীকরণটি সমাধান কর যখন $0<\theta<\pi$

$f(\theta)=\sin \theta, \cos \theta_{1}=\frac{x}{a}$ এবং $\cos \theta_{2}=\frac{y}{b}$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}+\cot ^{-1} 3=\frac{\pi}{4}$

খ. $\sqrt{3} f(\theta)-f\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=2$ সমীকরণটি সমাধান কর,

যখন, $-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi$

গ. $\theta_{1}+\theta_{2}=z$ হলে দেখাও যে,$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{2 x y}{a b} \cos z+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sin ^{2} z$

$\sin \theta_{1}=\frac{3}{5}, \sin \theta_{2}=\frac{12}{13}, \sin \theta_{3}=\frac{1}{\sqrt{5}}, \tan \theta_{4}=\frac{28}{29}$ এবং $f(x)=\sin x$

ক. প্রমাণ কর যে, $4 \sin ^{-1} \frac{3}{5}=\sin ^{-1} \frac{336}{625}$

খ. প্রমাণ কর যে, $\theta_{1}+\frac{1}{2} \theta_{2}-\theta_{3}=\theta_{4}$

গ. সমাধান কর : $2\{f(x)\}^{2}+\{f(2 x)\}^{2}=2$ যেখানে $-\pi<\mathbf{x}<\pi$

$f(\theta)=\tan \theta$

ক. প্রমাণ কর যে,

$\sin \cos ^{-1} \tan \sec ^{-1} \frac{x}{y}=\frac{\sqrt{2 y^{2}-x^{2}}}{y}$

খ. সমাধান কর :$f\left(\frac{x}{2}\right)\left\{f\left(\frac{x}{2}\right)-2 \sqrt{2}\right\}=-1$ যখন $-2 \pi<x<2 \pi$

গ. দেখাও যে,

$\tan ^{-1}\left\{\sqrt{\frac{a}{b}} f\left(\frac{x}{2}\right)\right\}=\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left\{\frac{\cos x+\frac{b-a}{a+b}}{\frac{b-a}{a+b} \cos x+1}\right\}$

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন $f(x)=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$

ক. $\mathrm{f}(\sqrt{3})$ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে,$f(x)=\frac{1}{4} \operatorname{cosec}^{-1} \frac{1+x^{2}}{2 x}=\frac{1}{4} \sec ^{-1} \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}$

গ. $f(x)=\tan ^{-1} \frac{1-x}{1+x}$ হলে x নির্ণয় কর।

$\sin \theta+\sin 2 \theta+\sin 3 \theta=1+\cos \theta+\cos 2 \theta$

$\sin ^{-1} \frac{4}{5}+\cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}$ এর মান নির্ণয় কর।

দেখাও যে, $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y$$=\tan ^{-1} \frac{x+y}{1-x y}$

$a \tan \theta+b \sec \theta=c$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে প্রমাণ কর যে, $\tan (\alpha+\beta)=\frac{2 a c}{a^{2}-c^{2}} 1$

সমাধান কর: $\sin ^{-1} 2 x+\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{3}$

সমাধান কর : $\cos ^{-1} x-\sin ^{-1} x=\sin ^{-1}(1-x)$

$\tan \left(\cos ^{-1} x\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$ এর সমাধান কর ।

সমাধান কর $\tan ^{-1} x+2 \cot ^{-1} x=\frac{2}{3} \pi$

$\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{2}{3} \pi \Rightarrow \frac{\pi}{2}+\cot ^{-1} x=\frac{2}{3} \pi \Rightarrow \cot ^{-1} x=\frac{\pi}{6} \quad \therefore x=\sqrt{3}$