Questions in this chapter

চিত্রে $C$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $P$ ও $Q$ বলের লব্ধি $R$

ক. একজন লোক তাঁর কাঁধে আনুভূমিকভাবে স্থাপিত $6$ ফুট দীর্ঘ একটি লাঠির প্রান্তে হাত রেখে অপর প্রান্তে $W$ ওজনের

একটি বস্তু বহন করছে। কাঁধের উপর চাপের পরিমাণ বস্তুটির ওজনের তিনগুণ হলে কাঁধ হতে হাতের দূরত্ব কত হবে ?

খ. $R$ এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান যথাক্রমে $F$ এবং $G$ হলে প্ৰমাণ কর যে, $R=\sqrt{F^{2} \cos ^{2} \frac{C}{2}+G^{2} \sin ^{2} \frac{C}{2}} .$

গ. $P \propto \cos A$ এবং $Q \propto \cos B$ হলে দেখাও যে, $R$ এর গতিপথ বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণকে $\frac{\mathrm{C}+\mathrm{B}-\mathrm{A}}{2}$ ও $\frac{C+A-B}{2}$

এ দুই অংশে বিভক্ত করে।

$O$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $P$ ও $Q$ মানের দুইটি সমবিন্দু বলের লব্ধি $R$ এবং অন্তর্গত কোণ $\alpha .$

ক. কোন বিন্দুতে দুইটি বল $120°$ কোণে ক্রিয়ারত। বৃহত্তর বলটির মান $10N$ এবং তাদের লব্ধি ক্ষুদ্রতর বলের সাথে

মকোণ উৎপন্ন করলে ক্ষুদ্রতর বলের মান কত?

খ. একটি ছেদক বলগুলির ক্রিয়ারেখাকে যথাক্রমে $\mathrm{L}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ বিন্দুতে ছেদ করলে

দেখাও যে, $\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{OL}}+\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{OM}}=\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{ON}} .$

গ. $P = Q$ এবং অন্তর্গত কোণ $\beta$ হলে লব্ধি $\frac{R}{2}$ প্রমাণ কর যে, $\cos \frac{\alpha}{2}=2 \cos \frac{\beta}{2} .$

দৃশ্যকল্প-১: $O$ বিন্দুতে $OA, OB, OC$ বরাবর যথাক্রমে $P, Q, R$ মানের তিনটি ক্রিয়ারত থেকে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে ।

দৃশ্যকল্প-২: $AB$ একটি ভারী সুষম দন্ডের $A$ প্রান্তে $10$ কেজি ওজন ঝুলানো হলে ঐ প্রান্ত থেকে $1$ মিটার দূরে একটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে সুস্থিত থাকে ।

ক. দৃশ্যকল্প-১ এ $P = Q = R$ হলে $P$ ও $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ $P$ ও $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ $P$ ও $R$ এর মধ্যবর্তী কোণের দ্বিগুণ হলে,

দেখাও যে, $R^{2}=Q(Q-P)$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর খুঁটির উপর চাপের পরিমাণ $30$ কেজি ওজন হলে দণ্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

চিত্রে $\mathrm{ABC}$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

ক. $\sqrt{3}$ এককের দুইটি সমান বল $120^{\circ}$ কোণে এক বিন্দুতে ক্রিয়া করে। তাদের লব্ধির মান নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের চিত্রে বলত্রয়ের লব্ধি ত্রিভুজটির লম্ববিন্দুগামী হলে প্রমাণ কর যে,$\mathrm {P: Q: R=\tan A: \tan B: \tan C}$

গ. কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত $\mathrm{F}_{1}-\mathrm{F}_{2}, \mathrm{~F}_{1}, \mathrm{~F}_{1}+\mathrm{F}_{2}$ মানের বলগুলির দিক একইক্রমে উদ্দীপকের

ত্রিভুজটির বাহুগুলির সমান্তরাল। বলগুলির লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১:

দৃশ্যকল্প-২: $l$ দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি সুতার এক প্রান্ত একটি উলম্ব দেয়ালে আটকানো এবং অন্য প্রান্ত a ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি সুষম গোলকের সাথে যুক্ত আছে।

ক. কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বলের একটির মান অপরটির দ্বিগুণ হলে এবং তাদের লব্ধি ক্ষুদ্রতরটির

উপর লম্ব হলে বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ $P$ কে $R$ পরিমাণে এবং $Q$ কে $S$ পরিমাণে বৃদ্ধি করলে ও লব্ধি $O$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

আবার $P$ ও $Q$ এর বদলে যথাক্রমে $Q$ ও $R$ ক্রিয়া করলেও লব্ধি $O$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

প্রমাণ কর যে, $S=R-\frac{(Q-R)^{2}}{P-Q}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর গোলকটির ওজন $W$ হলে দেখাও যে, সুতার টান $\mathrm{T}=\frac{\mathrm{W}(\mathrm{a}+l)}{\sqrt{2 \mathrm{a} l+l^{2}}}$

দৃশ্যকল্প-২: $4$ মিটার দীর্ঘ এবং $15$ কেজি ওজনের একটি সুষম তক্তা দুইটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থির আছে। একটি খুঁটি A প্রান্ত -এবং অন্যটি B প্রান্ত হতে 0.5 মিটার ভিতরে অবস্থিত।

ক. $\mathrm{P}=\mathrm{Q}, \mathrm{R}=9 \mathrm{~N}$ এবং $\alpha=60^{\circ}$ হলে, সমান বলদ্বয় নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ $\theta=\frac{1}{3} \alpha$. হলে, প্রমাণ কর যে, $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{P}^{2}-\mathrm{Q}^{2}}{\mathrm{Q}} ;(\mathrm{P}>\mathrm{Q})$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ একটি বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে $B$ প্রান্তে পৌছাতে সক্ষম হলে বালকটির ওজন কত?

এখানে, $\mathrm{F}_{\mathrm{1}}$ ও $\mathrm{F}_{\mathrm{2}}$ সমান্তরাল বল। $C$ বিন্দুতে $F$ তাদের লব্ধি নির্দেশ করে। এখানে, $\mathrm{F}_{1}>\mathrm{F}_{2} .$

দৃশ্যকল্প-২: একটি হেলানো সমতলের ভূমি ও দৈর্ঘ্যের সমান্তরালে ক্রিয়াশীল যথাক্রমে $P$ এবং $Q$ মানের দুইটি পৃথক বল প্রত্যেকে $W$

ওজনের কোন বস্তুকে তাদের উপর স্থির রাখতে পারে ।

ক. কোনো বিন্দুতে $60^{\circ}$ কোণে ক্লিয়ারত দুইটি সমান বলকে একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত $9N$ বলের সাহায্যে সাম্যাবস্থায় রাখলে

সমান বলদ্বয়ের প্রতিটির মান কত?

খ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{W}=\frac{\mathrm{PQ}}{\sqrt{\mathrm{P}^{2}-\mathrm{Q}^{2}}}(\mathrm{P}>\mathrm{Q})$

গ. দৃশ্যকল্প-১ এর $\mathrm{F}_{1}$ ও $\mathrm{F}_{2}$ স্থান বিনিময় করলে, প্রমাণ কর যে, তাদের লব্ধির ক্রিয়া বিন্দু $AB$ বরাবর $\frac{F_{1}-F_{2}}{F_{1}+F_{2}} A B$ দূরত্বে সরে যাবে ।

(i) P, Q, R সদৃশ সমান্তরাল বলত্রয় যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের শীর্ষ A, B, C তে ক্রিয়ারত ।

(ii) $ACB$ একটি রশির দুই প্রান্ত একই আনুভূমিক রেখায় $A$ এবং $B$ বিন্দুতে আবদ্ধ আছে। রশিটির $C$ বিন্দুতে $W$ ওজনের বস্তু গিট দিয়ে বাঁধা। $ABC$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\Delta$ দ্বারা সূচীত হয়

ক. যদি কোন কণার উপর ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলের লব্ধির বর্গ তাদের গুণফলের তিনগুণ হয়,

তাহলে বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণের মান নির্ণয় কর।

খ. (ii) হতে দেখাও যে, রশির $CA$ অংশের টান $\frac{\mathrm{Wb}}{4 \mathrm{c} \Delta}\left(\mathrm{c}^{2}+\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}\right)$

গ. (i) এর বলগুলির যে কোন সাধারণ দিকের জন্য এদের লব্ধি ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রগামী হলে,

প্রমাণ কর যে, $P = Q =R.$

দৃশ্যকল্প-১: পরস্পর $\theta$ কোণে ক্রিয়াশীল $P, Q$ মানের বলদ্বয়ের লব্ধির মান $(2 \mathrm{~m}+1) \sqrt{\mathrm{P}^{2}+\mathrm{Q}^{2}}$ যখন তারা $\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$ কোণে ক্রিয়া করে, তখন লব্ধির মান $(2 m-1) \sqrt{\mathrm{P}^{2}+Q^{2}}$ হয়।

দৃশ্যকল্প-২: একটি হালকা দণ্ডের এক প্রান্ত হতে $2, 8, 6$ মিটার দূরত্বে অবস্থিত তিনটি বিন্দুতে যথাক্রমে $P, Q, R$ মানের তিনটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করার ফলে দণ্ডটি ভারসাম্য অবস্থায় থাকে ।

ক. কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বলের একটির মান অপরটির দ্বিগুণ হলে এবং তাদের লব্ধি

ক্ষুদ্রতরটির উপর লম্ব হলে বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, $\tan \theta=\frac{m-1}{m+1}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, $\mathrm{P}: \mathrm{Q}: \mathrm{R}=1: 2: 3$

দৃশ্যকল্প-১ : একটি হেলানো মসৃণ সমতলের ভূমি ও দৈর্ঘ্যের সমান্তরালে ক্রিয়াশীল যথাক্রমে $P$ এবং $Q$ মানের দুইটি পৃথক বল প্রত্যেকে W ওজনের কোনো বস্তুকে তলের উপর স্থির রাখতে পারে।

দৃশ্যকল্প-২ : $P$ ও $Q$ মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি $O$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে । $P$ কে $R$ পরিমাণে এবং $Q$ কে $S$ পরিমাণে বৃদ্ধি করলেও লব্ধি $O$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে। আবার, $P$ ও $Q$ এর বদলে যথাক্রমে $Q$ ও $R$ ক্রিয়া করলেও লব্ধি $O$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

ক. $2 \mu$ কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলের লব্ধি, $2 \varphi$ কোণে ক্রিয়ারত দুইটি বলের লব্ধির দ্বিগুণ হলে,

প্রমাণ কর যে,$\cos \mu=2 \cos \varphi$

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,$\mathrm{W}=\frac{\mathrm{PQ}} {\sqrt{\mathrm{P}^{2}-\mathrm{Q}^{2}}}, \mathrm{P}>\mathrm{Q}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, $S=R-\frac{(Q-R)^{2}}{P-Q}$

দৃশ্যকল্প-১ : $\mathrm{P}_{1}$ ও $\mathrm{P}_{2}$ বলদ্বয় যথাক্রমে $45^{\circ}$ কোণে একটি হেলানো তলের দৈর্ঘ্য ও ভূমির সমান্তরালে ক্রিয়ারত থেকে প্রত্যেকে এককভাবে তলের উপরস্থ $W$ ওজনের একটি বস্তুকে ধরে রাখতে পারে ।

দৃশ্যকল্প—২ : $25$ সে.মি. ব্যবধানে অবস্থিত দুইটি বিন্দুতে যথাক্রমে $12$ ডাইন ও $8$ ডাইন দুইটি বিসদৃশ সমান্তরাল বল কার্যরত আছে।

ক. কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত $P$ ও $Q$ মানের বলদ্বয়ের লব্ধি যদি $Q$ এর ক্রিয়ারেখার উপর লম্ব হয়

তবে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর ৷

খ. দৃশ্যকল্প—১ থেকে প্রমাণ কর যে,$\mathrm{W}=\frac{\mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{2}}{\sqrt{\mathrm{P}_{2}^{2}-\mathrm{P}_{1}^{2}}}$

গ. দৃশ্যকল্প—২ থেকে- দেখাও যে, প্রত্যেকটি বলের সাথে সমপরিমাণ বল যোগ করিলে নতুন লব্ধি আরও দূরে সরে যাবে।

$P$ ও $Q (P< Q)$ মানের বলদ্বয়ের লব্ধির মান $R$

ক. যদি বলগুলো $O$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে এবং কোন ছেদক $P, Q, R$ এর ক্রিয়ারেখাকে যথাক্রমে

$A, B$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করে, তাহলে দেখাও যে, $\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{OA}}+\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{OB}}=\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{OC}}$

খ. উদ্দীপকে উল্লেখিত প্রথম ও দ্বিতীয় বল যথাক্রমে একটি হেলানো তলের দৈর্ঘ্য ও ভূমির সমান্তরালে

ক্রিয়ারত থেকে প্রত্যেকে এককভাবে তলের উপরস্থ $W$ ওজনের একটি বস্তুকে ধরে রাখে। প্রমাণ কর

যে, $\frac{1}{\mathrm{P}^{2}}-\frac{1}{\mathrm{Q}^{2}}=\frac{1}{\mathrm{~W}^{2}}$

গ. যদি বলদ্বয় সমমুখী সমান্তরাল হয়' এবং $P$ বলের. ক্রিয়ারেখাকে সমান্তরাল রেখে এবং

ক্রিয়াবিন্দুকে $l$ দূরত্বে সরালে প্রমাণ কর . যে, লব্ধি : $\frac{\mathrm{Pl}}{\mathrm{P}+\mathrm{Q}}$ দূরত্বে সরে যাবে।

দৃশ্যকল্প-১ : $W$ ওজনের একটি কাঁঠাল $\alpha$ কোণে হেলানো ডালে ঝুলছিল ।

দৃশ্যকল্প-২ : $8$ মিটার দীর্ঘ ও $42$ কেজি ওজনের $AB$ একটি তক্তা দুইটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থাপিত; একটি খুঁটি $A$ প্রান্তে, অপরটি $B$ প্রান্ত হতে $2$ মিটার ভিতরে অবস্থিত।

ক. $8N$ এবং $3N$ দুইটি বল একটি বিন্দুতে $60^{\circ}$ কোণে একটি বস্তুতে ক্রিয়ারত।

বলদ্বয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প—১ হতে হেলানো তলের ভূমি ও দৈর্ঘ্যের সমান্তরালে ক্রিয়ারত $\mathrm{F}_{1}$ এবং $\mathrm{F}_{2}$ বল

দুইটি পৃথকভাবে কাঁঠালটিকে তলের উপর স্থির রাখে। প্রমাণ কর যে,

$\mathrm{W}=\frac{\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}}{\sqrt{\mathrm{F}_{1}^{2}-\mathrm{F}_{2}^{2}}}$ যখন $\mathrm{F}_{1}>\mathrm{F}_{2}$

গ. দৃশ্যকল্প—২ হতে $55$ কেজি ওজনের একটি বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে $B$ প্রান্তের দিকে কত

দূর যেতে পারবে?

উদ্দীপক-১ : $P$ ও $Q (P> Q)$ মানের বল দুইটি পরস্পর $\alpha$ কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধি $R$, বৃহত্তম লব্ধি $S$ এবং ক্ষুদ্রতম লব্ধি $T$ ।

উদ্দীপক—২ : $ACB$ রাশিটির দুই প্রান্ত একই অনুভূমিক রেখায় $A$ ও $B$ বিন্দুতে এবং $C$ বিন্দুতে

$W$ ওজনের একটি বস্তু গিট দিয়ে বাঁধা।

ক. প্রমাণ কর যে, $R=\sqrt{\frac{1}{2}\left(S^{2}+T^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(S^{2}-T^{2}\right) \cos \alpha}$

খ. বলদ্বয়ের অবস্থান বিনিময় করলে যদি লব্ধির দিক $\theta$ কোণে ঘুরে যায় তবে প্রমাণ কর যে,

$\tan \frac{\theta}{2}=\frac{P-Q}{P+Q} \tan \frac{\alpha}{2}$

গ. দেখাও যে, $CA$ অংশে টানের পরিমাণ $\frac{W b}{4 c \Delta}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)$ যেখানে,

$a, b, c$ এবং $\Delta$ প্রচলিত অর্থ বহন করে ।

ক. বলের সাম্যাবস্থায় ত্রিভুজ সূত্রটি লিখ এবং প্রমাণ কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে P ও Q বলকে R পরিমাণে বৃদ্ধি -

করলে দেখাও যে, লব্বি $\left(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}\right), \mathrm{AB}$ দূরত্বে সরে যাবে ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে যদি সুতার দৈর্ঘ্য $\mathrm{AD}=l$ হয়। তাহলে দেখাও যে,

$za$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকের সুতার টান $=\frac{\mathrm{W}(\mathrm{a}+l)}{\sqrt{2 \mathrm{a} l+l^{2}}}$

দৃশ্যকল্প-১ : $ABC$ ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র $\text { I }$ হতে $P, Q, R$ মানবিশিষ্ট তিনটি বল যথাক্রমে $\mathrm{IA}, \mathrm{IB}, \mathrm{IC}$ বরাবর ক্রিয়াশীল ।

দৃশ্যকল্প-২ : $P$ ও $Q$ দুইটি বিসদৃশ সমান্তরাল বল $(Q > P)$ যথাক্রমে $B$ ও $A$ বিন্দুতে কার্যরত আছে।

ক. $C$ বিন্দুতে $CA$ এবং $CB$ বরাবর $p cos A$ ও $p cos B$ বলদ্বয় ক্রিয়ারত (যেখানে $p$ একটি ধ্রুবক)

এবং $p \cos A$ বলের সহিত 'লব্ধি বলটি $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে দেখাও যে, $\theta=\frac{\mathrm{C}+\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}$

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর বলগুলো সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রমাণ কর যে,

$P: Q: R=\cos \frac{\mathrm{A}}{2}: \cos \frac{\mathrm{B}}{2}: \cos \frac{\mathrm{C}}{2} .$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর $P$ ও $Q$ বলকে X পরিমাণে বৃদ্ধি করা হলে, যদি এদের লব্ধি $R$ দূরত্বে সরে যায়,

তবে দেখাও যে, $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{X}}{\mathrm{Q}-\mathrm{P}} \cdot \mathrm{AB}$

দৃশ্যকল্প (১) কোন বিন্দুতে পরস্পর $\alpha$ কোণে ক্রিয়ারত বলদ্বয় $P$ ও $Q$ এর লব্ধি $R$ এবং $\mathrm{P}^{\wedge} \mathrm{R}=\theta$

দৃশ্যকল্প (২) কোন বিন্দুতে $P, Q, R$ বল তিনটি ভারসাম্য সৃষ্টি করে এবং $\mathrm{P}^{\wedge} \mathrm{R}=\alpha$

ক. কোন বিন্দুতে $P$ ও $Q$ বলদ্বয়ের লব্ধি $R$ একটি ছেদক তাদের ক্রিয়া রেখাগুলোকে যথাক্রমে

$L, M, N$ বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ কর যে, $\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{OL}}+\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{OM}}=\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{ON}}$

খ. দৃশ্যকল্প (১) হতে $P$ এর দিক বরাবর $R$ এর লম্বাংশ $Q$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$\alpha=\cos ^{-1}\left(\frac{Q-P}{Q}\right)=2 \sin ^{-1} \sqrt{\frac{P}{2 Q}}$ এবং $R=\sqrt{\mathrm{Q}^{2}-\mathrm{P}^{2}+2 \mathrm{PQ}}$

গ. দৃশ্যকল্প (২) হতে $P$ ও $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ $P$ ও $R$ এর মধ্যবর্তী কোণের দ্বিগুণ হলে

প্রমাণ কর যে, $\mathrm{R}^{2}=\mathrm{Q}(\mathrm{Q}-\mathrm{P})$

নিচের চিত্রটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :

ক. $100 N$ ও $70 N$ মানের দুইটি বলের লব্ধি কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করে। এদের মধ্যবর্তী কোণের

পরিমাণ $62^{\circ}$ হলে বল দুইটির লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।

খ. $P$ কে $R + 3$ পরিমাণে এবং $Q$ কে $(S + 2)$ পরিমাণে বৃদ্ধি করলেও লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া

করে। আবার $P, Q$ এর পরিবর্তে যথাক্রমে $Q, R + 3$ ক্রিয়া করলেও লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

প্রমাণ কর

যে, $\mathrm{R}=\mathrm{S}+\frac{(\mathrm{Q}-\mathrm{R}-3)^{2}}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}-1$

গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত বলদ্বয়ের সমতলে x দূরত্বের ব্যবধানে $R$ মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল

বল প্রয়োগ করা হলে প্রমাণ কর যে, এদের লব্ধি: $\frac{X R}{P+Q}$ দূরত্বে সরে যাবে ।

দৃশ্যকল্প-১ : $l$ দৈর্ঘ্যের সুতার দুই প্রান্ত একই আনুভূমিক রেখার $a$ দূরত্বে $(l>\mathrm{a})$ অবস্থিত $A$ ও $B$ বিন্দুতে বাঁধা আছে। $W$ ওজনের একটি মসৃণ, আংটা সুতার উপর দিয়ে অবাধে চলাচল করতে পারে ।

দৃশ্যকল্প-২ : $P$ ও $Q$ দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল $(Q > P)$ যথাক্রমে $A$ ও $B$ বিন্দুতে কার্যরত।

ক. $\sqrt{3} P, \sqrt{3} P$ বলের লব্ধি $\sqrt{3} P$ হলে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ $P$ মানের একটি আনুভূমিক বল আংটাটিকে টেনে $B$ বিন্দুর খাড়া নিচে স্থির রাখে।

প্রমাণ কর যে, $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{aw}}{l}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ উভয় বলকে $Q$ পরিমাণ বৃদ্ধি করলে প্রমাণ কর লব্ধি সরণ, $d=\frac{Q}{Q-P} A B$

দৃশ্যকল্প-১: $S$ ও $T$ দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল। $S$ বলটির ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়া বিন্দুকে $r$ দূরত্বে সরানো হলো ।

দৃশ্যকল্প-২ : $P$ ও $Q(P> Q)$ বল দুইটি পরস্পর $\beta$ কোণে ক্রিয়ারত ।

এদের অবস্থান বিনিময় করলে লব্ধি $\varphi$ কোণে ঘুরে যায় ।

ক. $4 N$ ও $3 N$ মানের দুইটি বল পরস্পর $120^{\circ}$ কোণে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধি নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, বল দুইটির লব্ধি $\frac{\mathrm{Sr}}{\mathrm{S}+\mathrm{T}}$ দূরত্বে সরে যায়।

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, $(\mathrm{P}-\mathrm{Q}) \tan \frac{\beta}{2}=(\mathrm{P}+\mathrm{Q}) \tan \frac{\varphi}{2}$