Questions in this chapter

$\alpha$ কোণে অন্তর্গত $P$ ও $Q (P> Q)$ বলদ্বয়ের লব্ধি $R$ ।

ক. প্রমাণ কর যে, দুইটি সমান বলের লব্ধি এদের অন্তর্গত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ।

খ. যদি লব্ধি $\alpha$ কোণকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে, তবে প্ৰমাণ কর যে, $\mathrm{RQ}=\mathrm{P}^{2}-\dot{\mathrm{Q}}^{2}$

গ. যদি $P-Q, Q, P+Q$ বলত্রয় কোনো সমবাহু ত্রিভুজের সমান্তরালে একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে,

তবে এদের লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।

$2S$ এবং $3T$ দুইটি বল $(2S >3T)$

ক. দেখাও যে, $P$ ও $Q$ দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বলের $P$ কে $\frac{\mathrm{Q}^{2}}{\mathrm{P}}$ তে পরিবর্তন করে $Q$ -

এর সাথে স্থান পরিবর্তন করলে লব্বির অবস্থান একই থাকে ।

খ. উদ্দীপকের বলদ্বয়ের লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণকে এক তৃতীয়াংশে বিভক্ত করলে বলদ্বয়ের

অন্তর্গত কোণ এবং তাদের লব্ধির মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের বলদ্বয় একটি হেলানো তলের ভূমি ও দৈর্ঘ্যের সমান্তরালে যথাক্রমে ক্রিয়াশীল থেকে

প্রত্যেকে আলাদা আদালাভাবে $F$ ওজনের কোনো বস্তুকে সমতলের উপর স্থিরভাবে ধরে রাখতে

পারে । প্রমাণ কর যে, $\mathrm{F}=\frac{6 \mathrm{ST}}{\sqrt{4 \mathrm{~S}^{2}-9 \mathrm{~T}^{2}}}$

$9P$ ও $6P$ মানের দুটি বল $O$ বিন্দুতে $\alpha$ কোণে ক্রিয়া করছে। তাদের লব্ধি $8P$

ক. সমমানের দুটি বলের লব্ধির বর্গ বলদ্বয়ের গুণফলের তিনগুণ হলে, এদের মধ্যবর্তী

কোণের মান নির্ণয় কর।

খ. একটি সরলরেখা উদ্দীপকে উল্লেখিত বলদ্বয় ও লব্ধির ক্রিয়ারেখাকে যথাক্রমে $D, E$ ও $C$

বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে, $\frac{8}{\mathrm{OC}}=\frac{8}{\mathrm{OD}}+\frac{6}{\mathrm{OE}}$

গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত বলদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যদি লব্ধির ক্রিয়ারেখা পূর্বের অবস্থান

থেকে $\beta$ কোণে সরে যায় তবে দেখাও যে $\tan \frac{\beta}{2}=\frac{1}{5} \tan \frac{\alpha}{2}$

দৃশ্যকল্প-১ : একই আনুভূমিক রেখায় $10$ একক দূরত্বে অবস্থিত $A$ ও $B$ বিন্দুতে $26$ একক দৈর্ঘ্যের

একটি মসৃণ সুতার প্রান্তদ্বয় বাঁধা আছে। সুতা বরাবর $W$ ওজনের একটি আংটা অবাধে গড়িয়ে ঝুলছে।

দৃশ্যকল্প-২ : দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল $P$ ও $Q$ এর ক্রিয়া রেখার একই সমতলে x দূরত্বে $S$ মানের

দুইটি বিসদৃশ সমান্তরাল বল সংযুক্ত করা হলো ।

ক. $P$ এবং $2P$ বলদ্বয়ের লব্ধি যদি $P$ এর ক্রিয়া রেখার সাথে লম্বভাবে ক্রিয়া করে তবে,

বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, সুতার টান $\mathrm{T}=\frac{13 \mathrm{~W}}{24}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, বলগুলোর মিলিত লব্ধি $\frac{S x}{P+Q}$ দূরত্বে সরে যাবে।

দৃশ্যকল্প-১ : এক বিন্দুতে ক্রিয়ারত $4, 3$ এবং $6$ একক বলগুলি কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলির

ক্রমানুসারে সমান্তরাল সরলরেখা বরাবর ক্রিয়া করে ।

দৃশ্যকল্প-২ :

$O$-অন্তঃকেন্দ্র এবং $S$ অর্ধপরিসীমা ।

ক. একজন লোক তার কাঁধে আনুভূমিকভাবে $l$ দৈর্ঘ্যের একটি হালকা লাঠি স্থাপন করে একপ্রান্তে

হাতের চাপ প্রয়োগ করে অপর প্রান্তে $W$ ওজনের একটি বস্তু বহন করছে। যদি কাঁধ হতে হাতের

দূরত্ব পরিবর্তন করা হয়, তবে কাঁধের উপর . চাপের পরিবর্তন কি হবে?

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ বলগুলির লব্ধির দিক নির্ণয় কর ।

গ. $O$ বিন্দুতে বল তিনটি সাম্যবস্থায় থাকলে দেখাও যে,

$\mathrm{P}^{2}: \mathrm{Q}^{2}: \mathrm{R}^{2}=\mathrm{a}(\mathrm{s}-\mathrm{a}): \mathrm{b}(\mathrm{s}-\mathrm{b}): \mathrm{c}(\mathrm{s}-\mathrm{c})$

$P, Q, R$ তিনটি বল ।

ক. $P = Q$ এদের লব্ধি $R$, মধ্যবর্তী কোণ x হলে দেখাও যে, লব্ধি যেকোন বলের সাথে $\frac{x}{2}$

কোণ তৈরিকরে ।

খ. $\mathrm{P}+\mathrm{Q}, \mathrm{P}-\mathrm{Q}$ বলদ্বয় $\varphi$ কোণে ক্রিয়ারত। তাদের লব্ধি তাদের - অন্তর্গত কোণের

সমদ্বিখণ্ডকের সাথে $\frac{\theta}{2}$ কোণ উৎপন্ন করলে প্রমাণ কর যে, $P: Q=\tan \frac{\varphi}{2}: \tan \frac{\theta}{2}$

গ. উদ্দীপকে বলত্রয় ভারসাম্যে ক্রিয়ারত। ১ম ও ২য়টির অন্তর্গত কোণ, ১ম ও ৩য়টির অন্তর্গত

কোণের দ্বিগুণ হলে দেখাও যে, $Q(Q-P)=R^{2}$

দৃশ্যকল্প-১ : কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত $P, Q, R$ বল তিনটি ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে। $P$ ও $Q$

এর মধ্যবর্তী কোণ $P$ ও $R$ এর মধ্যবর্তী কোণের দ্বিগুণ করা হল । .

দৃশ্যকল্প-২ : দুইটি বিপরীতমুখী সমান্তরাল বল $P$ ও $Q (P > O)$ যথাক্রমে $A$ ও $B$ বিন্দুতে

ক্রিয়াশীল। $P$ এবং $Q$ এর প্রত্যেককে x পরিমাণে বৃদ্ধি করা হল ।

ক. লামির উপপাদ্যটি লেখ ।

খ. দৃশ্যকল্প—১ হতে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{R}^{2}=\mathrm{Q}(\mathrm{Q}-\mathrm{P})$

গ. দৃশ্যকল্প—২ হতে দেখাও যে, তাদের লব্ধিটি $d$ দূরত্বে সরে যাবে, যখন $\mathrm{d}=\frac{\mathrm{xAB}}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}$

$P, Q, R$ তিনটি বল এবং $ABC$ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র $O$।

ক. $12 N$ ও $8 N$ দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল। $12 N$ বলটিকে $5 cm$ সরালে এদের লব্ধি

তদূরে সরে যাবে?

খ. $P, Q, R$ বল তিনটি $OA, OB, OC$ বরাবর ক্রিয়া করলে প্রমাণ কর যে,

$\frac{p}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}=\frac{Q}{b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)}=\frac{R}{c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}$

গ. যদি বল তিনটি সদৃশ সমান্তরাল হয় এবং এরা $A, B$ ও $C$ বিন্দুতে এবং এদের লব্ধি

$O$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে, তবে প্রমাণ কর যে, $P: Q: R=\sin 2 \mathrm{~A}: \sin 2 \mathrm{~B}: \sin 2 \mathrm{C}$

দৃশ্যকল্প-১ : $P$ ও $Q$ দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল। $P$ বলটির ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়া বিন্দুকে x দূরত্বে সরানো হলো ।

দৃশ্যকল্প-২ : $W$ ওজনের একটি আম $\alpha$ কোণে হেলানো ডালে ঝুলছিল।

ক. $60^{\circ}$ কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলের লব্ধি নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, বল দুইটির লব্ধি $\frac{P x}{P+Q}$ দূরত্বে সরে যায় ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে হেলানো ডালের ভূমি ও দৈর্ঘ্যের সমান্তরালে ক্রিয়ারত $F_{1}$ ও $F_{2}$ বল দুইটি

পৃথকভাবে আমটিকে তলের উপর স্থির রাখে । প্রমাণ কর যে, $\mathrm{W}=\frac{\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}}{\sqrt{\mathrm{F}_{1}^{2}-\mathrm{F}_{2}^{2}}}, \mathrm{~F}_{1}>\mathrm{F}_{2}$

$\triangle \mathrm{ABC}$ এর শীর্ষত্রয়ে $P, Q, R$ সমমুখী সমান্তরাল বলত্রয় ক্রিয়ারত ।

ক. $60^{\circ}$ কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলের লব্ধি কত?

খ. বলত্রয়ের লব্ধি $\triangle \mathrm{ABC}$ এর অন্তঃকেন্দ্রগামী হলে, দেখাও যে,

$P: Q: R=\sin A: \sin B: \sin C$

গ. উদ্দীপক হতে, বলত্রয়ের লব্ধি $\triangle \mathrm{ABC}$ এর ভরকেন্দ্রগামী হলে,

$P, Q$ ও $R$ এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন কর।

$\triangle A B C$ এর লম্বকেন্দ্র $O$

ক. লামী'র সূত্রের সীমাবদ্ধতাগুলো লিখ ।

খ. $BC, CA$ এবং AB বাহুর উপর লম্ব বরাবর ক্লিয়ারত $P, Q$ এবং $R$এর অনুপাত নির্ণয় কর।

গ. $A, B, C$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $L, M, N$ মানের তিনটি সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি O বিন্দুগামী হলে

প্রমাণ কর যে, $L: M : N=\tan A: \tan B: \tan C$

$\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}, \mathrm{P}_{3}$ মানের তিনটি বল যথাক্রমে $A, B, C$ বিন্দুগামী

ক. বলের ‘উপাংশ’ ও ‘লম্বাংশ’ ব্যাখ্যা কর।

খ. $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ এবং $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}, \mathrm{P}_{3}$ মানের বলগুলির দিক অভিন্ন হলে উহাদের

লব্ধি $O$ বিন্দুগামী হয়। দেখাও যে, $P_{1}: P_{2}: P_{3}=a \cos A: b \cos B: c \cos C$

গ. যদি $\mathrm{OD}=\mathrm{OE}=\mathrm{OF}$ হয় এবং বলগুলির ক্রিয়ারেখা $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়ে ভারসাম্য তৈরি করে,

তাহলে দেখাও যে, $P_{1}{ }^{2}: P_{2}{ }^{2}: P_{3}{ }^{2}=a(b+c-a): b(c+a-b): c(a+b-c)$

ক. কোন বিন্দুতে পরস্পর $60^{\circ}$ কোণে ক্রিয়াশীল দুটি সমান বলের লব্ধি $6N$ হলে বলদ্বয় নির্ণয় কর ।

খ. উদ্দীপকের $AB$ তলের $D$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল $W$ ওজনের বস্তুটিকে $Q$ ও $P$ বলদ্বয় তল

ও ভূমির সমান্তরাল বরাবর ক্রিয়াশীল থেকে প্রত্যেকে এককভাবে বস্তুটিকে তলের উপর PQ ধরে

রাখলে প্রমাণ কর যে,$\mathrm{W}=\frac{\mathrm{PQ}}{\sqrt{\mathrm{P}^{2}-\mathrm{Q}^{2}}} ; \mathrm{P}>\mathrm{Q}$

গ. প্রমাণ কর যে, উদ্দীপক ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র $O$ তে ক্রিয়াশীল বলের সমান্তরাল অংশকদ্বয়ের

অনুপাত : $\sin 2 \mathrm{~B}: \sin 2 \mathrm{C}$

ক. $S$ মানের সমান দুইটি বল পরস্পর $120^{\circ}$ কোণে ক্রিয়ারত হলে এদের লব্ধির মান নির্ণয় কর।

খ. $A B=d, w$ ওজনের একটি মসৃণ আংটা তার বরাবর অবাধে গড়িয়ে যেতে পারে।

$\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=l, \mathrm{ACB}$ হচ্ছে সুতা দেখাও যে,$\mathrm{T}=\frac{\mathrm{W} l}{2 \sqrt{l^{2}-\mathrm{d}^{2}}}$

গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত সমান্তরাল বল তিনটি ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্রে ক্রিয়ারত থাকলে

দেখাও যে, $L: M: N=a: b: c$

$P, Q$ ও $R$ তিনটি বল। $P$ ও $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ এবং $P$ ও $R$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$

ক. $25$ সে.মি. ব্যবধানে $5 N$ ও $2 N$ দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত। এদের লব্ধির

ক্রিয়া বিন্দু নির্ণয় কর।

খ. $\theta=\frac{1}{3} \alpha$ হলে, দেখাও যে, $\theta=\cos ^{-1} \frac{P}{2 Q}$ এবং $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{P}^{2}}{\mathrm{Q}}-\mathrm{Q} ; \mathrm{P}>\mathrm{Q}$

গ. বল তিনটি ভারসাম্য থাকলে এবং $\theta=\frac{1}{2} \alpha$ হলে, প্রমাণ কর,

যে, $\mathrm{R}^{2}=\mathrm{Q}(\mathrm{Q}-\mathrm{P})$

ক. $\sqrt{20} \mathrm{~N}$ ও $5N$ মানের দুইটি বল $60^{\circ}$ কোণে ক্রিয়ারত। লব্বির মান কত?

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে, প্রমাণ কর যে, $P = Q$ অথবা, $P = 2Q.$

গ. $AD = l$ একক দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি সুতার একপ্রান্ত একটি উল্লম্ব দেয়ালে আটকানো এবং

অন্যপ্রান্ত $CD = a$ একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট $w$ ওজনের একটি সুষম গোলকের সাথে যুক্ত আছে ।

প্রমাণ কর যে, সুতার টান $\frac{\mathrm{w}(l+\mathrm{a})}{\sqrt{2 \mathrm{a} l+l^{2}}}$

ক. লামির উপপাদ্য কী ব্যাখ্যা কর ।

খ. দৃশ্যকল্প—২ থেকে প্রমাণ কর যে,

$P \cos A: Q \cos B: R \cos C=a: b: c .$

গ. দৃশ্যকল্প—১ এ $\angle \mathrm{XOY}=\angle \mathrm{YOZ}=\angle \mathrm{ZOX}$ হলে বলত্রয়ের লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।

ক. সাম্যাবস্থায় বলের ত্রিভুজ সূত্রটি বর্ণনা কর ।

খ. চিত্র-১ এ ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র $O$ এবং $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}$ ও $\mathrm{P}_{3}$ বলগুলো ভারসাম্য সৃষ্টি করলে,

প্রমাণ কর যে, $\mathrm{P}_{1}{ }^{2}: \mathrm{P}_{2}{ }^{2}: \mathrm{P}_{3}{ }^{2}=\mathrm{a}(\mathrm{b}+c-a): b(c+a-b): c(a+b-c)$

গ. চিত্র-২ এ $\mathrm{M}=12 \text { dyne, } \mathrm{N}=8 \text { dyne }$ এবং $A B=20 \mathrm{~cm}$ হলে এবং বলদ্বয় পরস্পর

স্থান বিনিময় করলে, লব্ধি কত দূরে সরে যাবে?

$CA, CB$ বরাবর ক্রিয়াশীল বলদ্বয় যথাক্রমে $\cos A, \cos B$ এর সমানুপাতিক এবং $CD$ বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধি ক্রিয়ারত ।

ক. বলের অংশক ও লব্ধি ব্যাখ্যা কর ।

খ. দেখাও যে, $CD$ বরাবর ক্রিয়াশীল বলের মান $\sin C$ এর সমানুপাতিক ।

গ. দেখাও যে, $\angle A C D: \angle B C D=(C+A-B):(C+B-A)$

ক. বলের লম্বাংশ ব্যাখ্যা কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ : এ $R$ বলটি $P$ ও $Q$ বলের লব্ধি নির্দেশ করে এবং $\angle \mathrm{AOB}=3 \angle \mathrm{AOC}$

হলে প্রমাণ কর যে, $\angle A O B=3 \cos ^{-1} \frac{P}{2 Q}$ ও $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{P}^{2}-\mathrm{Q}^{2}}{\mathrm{Q}}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ : এ সদৃশ সমান্তরাল বলগুলোর লব্ধি ত্রিভুজটির লম্বকেন্দ্রগামী হলে প্রমাণ কর যে,

$P\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)=Q\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)=R\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)$