Questions in this chapter

দৃশ্যকল্প: $\mathrm O$ বিন্দুতে কার্যরত $\mathrm P$ ও $\mathrm Q$ বল দুইটির লম্বি $\mathrm R$

ক. $AB$ একটি ভারী সুষম দন্ডের $A$ প্রান্তে $10$ কেজি ওজন ঝুলানো হলে ঐ প্রান্ত থেকে $1$ মিটার দূরে একটি খুটির উপর আনুভূমিকভাবে সুস্থিত থাকে।

খুটির উপর চাপের পরিমাণ $30$ কেজি ওজন হলে দন্ডটির দৈর্ঘ্য এবং ওজন নির্ণয় কর।

খ. $P$ ও $Q$ বল দুইটির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধি যথাক্রমে $OA$ ও $OB$ বরাবর ক্রিয়া করলে এদের লব্ধি $\angle A O B$ কোণের সমদ্বিখন্ডকের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে।

প্রমাণ কর যে, $P \tan \theta=Q \tan \alpha$ যখন $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOD}=\alpha$

গ. দৃশ্যকল্পের লব্ধি $\mathrm R$ এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান যথাক্রমে $G, H$ হলে

দেখাও যে, $R=\sqrt{G^{2} \cos ^{2} \alpha+H^{2} \sin ^{2} \alpha} .$

$\mathrm {ACB}$ একটি রশির দুই প্রান্ত একই আনুভূমিক রেখায় $\mathrm A$ ও $\mathrm B$ বিন্দুতে আবদ্ধ আছে। রশির $\mathrm C$ বিন্দুতে $\mathrm W$ ওজনের একটি মসৃণ আংটা বুঝানো হলো ।

ক. $6$ ফুট ও $8$ ফুট দৈর্ঘ্যের দুইটি রশির সাহায্যে $20$ পাউন্ড ওজনের একটি বস্তুকে ঝুলানো হলো। রশি দুইটির অপর প্রান্ত $10$ ফুট দৈর্ঘ্যের একটি দণ্ডের দুই প্রান্তে বাঁধা আছে। দণ্ডটি এরূপভাবে স্থাপন করা হলো যেন বস্তুটি এর মধ্যবিন্দুর ঠিক খাড়া নিচে থাকে । রশিদ্বয়ের টান নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকে $\mathrm {ABC}$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\Delta$ দ্বারা সূচিত হলে, এবং $\mathrm{CA}, \mathrm{CB}$ রাশির টান যথাক্রমে $\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}$ হলে, দেখাও যে,

$T_{1}: T_{2}=b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right): a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)$

গ. যদি আংটাটি রশির উপর দিয়ে অবাধে চলাচল করতে পারে এবং $P$ মানের একটি আনুভূমিক বল এরপর ক্রিয়া করলে $C$ বিন্দুতে ভারসাম্য সৃষ্টি হয়, যেখানে $CA$ ও $CB$ যথাক্রমে $C$ বিন্দু দিয়ে অংকিত উল্লম্ব রেখার সাথে $\mathrm {60°, 30°}$ কোণ উৎপন্ন করে। এক্ষেত্রে রশির টান $\mathrm{T}_{1}=\mathrm{T}_{2} .$ দেখাও যে,$\mathrm{P}=\mathrm{W}(2-\sqrt{3})$

$P$ ও $Q$ বল দুইটির লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

ক. $P = 10$ ডাইন, $Q = 5$ ডাইন এবং $\mathrm {AB = 20 cm}$ হলে $\mathrm {AC}$ নির্ণয় কর।

খ. $P$ কে $R$ পরিমাণে এবং $Q$ কে $S$ পরিমাণে বৃদ্ধি করলেও লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে । আবার $P, Q$ এর পরিবর্তে

যথাক্রমে $Q, R$ ক্রিয়া করলেও লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে। প্রমাণ কর যে, $S=R-\frac{(\mathrm{Q}-\mathrm{R})^{2}}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}$

গ. বল দুইটির সাথে একই সমতলে $b$ দূরত্বে $b$ মানের দুইটি বিসদৃশ সমান্তরাল বল প্রয়োগ করা হল । প্রমাণ কর যে,

এদের লব্ধি: $\frac{b S}{P+Q}$ দূরত্বে সরে যাবে ।

$\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ তিনটি বল ।

ক. প্রথম বল দুইটির ক্ষুদ্রতম লব্ধি তৃতীয়টি হওয়ার শর্ত নির্ণয় কর।

খ. একটি কণার উপর কার্যরত বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে এবং শেষ বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ $135°$

হলে তাদের মধ্যে একটি সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা কর।

গ. বল তিনটি সদৃশ সমান্তরাল এবং তারা যথাক্রমে $\triangle \mathrm{ABC}$ এর কৌণিক বিন্দু $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ তে ক্রিয়া করে।

এদের লব্ধির ক্লিয়ারেখা যদি ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্রগামী হয়, তবে দেখাও যে, $P: Q: R=\sin A: \sin B: \sin C$

চিত্রে, $\mathrm {P, Q, R}$ মানের বল তিনটি সদৃশ সমান্তরাল।

ক. এক বিন্দুতে ক্রিয়াশীল দুইটি বলের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধির মান যথাক্রমে $8$ ও $2$ কেজি ওজন ।

যখন বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $60°$ তখন এদের লব্ধির মান নির্ণয় কর ।

খ. $P$ মানের বলটির ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়া বিন্দুকে x.দূরত্বে সরানো হলে $P$ ও $Q$ এর

লব্ধি যে দূরত্বে সরে যায় তা নির্ণয় কর ।

গ. বলত্রয়ের লব্ধি ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্রগামী হলে প্রমাণ কর যে, $\mathrm {P:Q: R=a \cos A: b \cos B: c \cos C}$

এক বিন্দুতে কার্যরত দুইটি বল $P$ ও $\mathrm {Q (P> Q)}$ এর লব্ধি $\mathrm R.$

ক. $\mathrm {P = Q = R}$ হলে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm {P = 2Q}$ হলে এবং $\mathrm {4Q ও Q + 8}$ বলদ্বয়ের লব্ধির দিক ও $R$ এর দিক একই হলে $Q$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm R$ যদি $\mathrm P$ ও $\mathrm Q$ এর অন্তর্গত কোণকে এক-তৃতীয়াংশে বিভক্ত করে তবে দেখাও যে, বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণের

পরিমাণ $3 \cos ^{-1}\left(\frac{P}{2 Q}\right)$ এবং লব্ধির মান $\frac{\mathrm{P}^{2}-\mathrm{Q}^{2}}{\mathrm{Q}} .$

ক. কোনো বিন্দুতে $60°$ কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলকে একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত $15N$ বলের সাহায্যে

ভারসাম্যে রাখলে সমান বলের মান নির্ণয় কর।

খ. চিত্র-১ এ উভয় বলকে $5N$ পরিমাণ বৃদ্ধি করলে লব্ধি কত দূরে সরে যায় তা নির্ণয় কর।

গ. চিত্র-২ এ বর্ণিত বল তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের সমান্তরালে ক্রিয়াশীল । এদের লব্ধির মান নির্ণয় কর।

ক. $AB$ দণ্ডের $A$ ও $B$ প্রান্তে যথাক্রমে $10kg$ ও $6kg$ ওজন স্থাপন করে $C$ বিন্দুতে রশি বেঁধে ঝুলানো হলে দণ্ডটি আনুভূমিকভাবে অবস্থান করে।

যদি $A$ প্রান্তে $75 kg$ ওজন রাখা হয় তবে B প্রান্তে কত ওজন দিলে দণ্ডটি আনুভূমিকভাবে স্থির থাকবে?

খ. চিত্র-১ এ বর্ণিত বল চারটির লব্ধির মান নির্ণয় কর।

গ. চিত্র-২ এ $O$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং বল তিনটি সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে প্রমাণ কর যে,

$\frac{P}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}=\frac{Q}{b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)}$$=\frac{R}{c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}$

চিত্রে, $\mathrm {ABC}$ ত্রিভুজের $\mathrm {BC}$ বাহু আনুভূমিক বরাবর অবস্থিত।

ক. $O$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল $\mathrm {7P, 3P}$ মানের বল দুইটির লব্ধির মান $5P$ যদি কোনো ছেদক এদের ক্রিয়া রেখাকে যথাক্রমে $\mathrm {R, S, T }$ বিন্দুতে 'ছেদ করে তবে দেখাও যে, $\frac{7}{\mathrm{OR}}+\frac{3}{\mathrm{OS}}=\frac{5}{\mathrm{OT}}$

খ. $BA$ ও $BC$ বরাবর যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বলদ্বয় প্রত্যেকে এককভাে $W$ ওজনের কোন বস্তুকে $AB$ বরাবর অবস্থিত একটি তলের উপর স্থির রাখতে পারে । প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{\mathrm{P}^{2}}-\frac{1}{\mathrm{Q}^{2}}=\frac{1}{\mathrm{~W}^{2}}$

গ. $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$ এবং $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CA}$ বাহু বরাবর যথাক্রমে $\mathrm {P, 2P, 3P}$ বলত্রয় ক্রিয়া করছে। তাদের লব্ধি $\mathrm {BC}$ কে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা নির্ণয় কর।

ক. কোনো কণার উপর ক্রিয়ারত দুইটি বলের লব্ধি একটি বলের উপর লম্ব এবং এর মান অপরটির মানের এক চতুর্থাংশের সমান । দেখাও যে, বল দুইটির অনুপাত $\sqrt{15}: 4$

খ. চিত্র-১ এ $\text { ABCDEF }$ একটি সুষম ষষ্ঠভুজ হলে, $A$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলগুলির লব্ধির মান নির্ণয় কর।

গ. চিত্র-২ এ $\mathrm{ABC}$ ত্রিভুজের অন্ত:কেন্দ্র $O$ এবং $B C=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{CA}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{AB}=7 \mathrm{~cm}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{P}^{2}: \mathrm{Q}^{2}: \mathrm{R}^{2}=27: 25: 7$

$ABCD$ বর্গের $AB$ বাহু আনুভূমিক বরাবর এবং $BC$ বাহু উল্লম্ব বরাবর অবস্থিত।

ক. $\mathrm{F}_{1}^{}$ ও $\mathrm{F}_{2}$ বলদ্বয়ের লব্ধির মান নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{AB}$ ও $\mathrm{AC}$ বরাবর যথাক্রমে $\mathrm{F}_{1}$ ও $\mathrm{F}_{2}$ বলদ্বয় প্রত্যেকে এককভাবে একটি বস্তুকে $AC$ বরাবর অবস্থিত

একটি তলের উপর স্থির রাখতে পারে।তলের উপর প্রতিক্রিয়াদ্বয়ের অনুপাত নির্ণয় কর ।

গ. প্রদত্ত বলগুলির লব্ধির $BA$ বাহুকে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর ।

ক. $OC$ বরাবর $P$ ও $Q$ বলের আনুভূমিক উপাংশ সমান হলে দেখাও যে, $\frac{P}{Q}=2 \cos \alpha-\sec \alpha$

খ. $Q$ ও $S$ বলের অবস্থান বিনিময় করলে $OA$ বরাবর এ বল দুইটির লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর সরণ কত?

গ. $P$ ও $Q$ বলের লম্বি $\mathrm{R} = \mathrm{mP}$ হলে দেখাও যে, $\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}-\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{P}}=\mathrm{m} .$

$\triangle A B C$ এর পরিকেন্দ্র $O$

ক. কোনো বিন্দুতে $120^{\circ}$ কোণে ক্রিয়াশীল দুইটি বলের লব্ধি ক্ষুদ্রতর বলের সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে ।

ক্ষুদ্রতর বলটির মান $7N$ হলে বৃহত্তর বলটির মান নির্ণয় কর।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ বল দুইটির লব্ধি $O$ বিন্দুগামী হলে, প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজটি সমকোণী বা সমদ্বিবাহু হবে ।

গ. $B$ ও $C$ বিন্দুতে $P$ এর সমান্তরাল উপাংশদ্বয় যথাক্রমে $Q$ ও $R$ হলে দেখাও যে, $\mathrm {Q: R=\sin 2 B: \sin 2 C}$

চিত্রে, $Q$ ও $R$ বলদ্বয় সদৃশ্য সমান্তরাল ।

ক. কোনো বিন্দুতে $1, 2$ ও $\sqrt{3}$ একক বলত্রয় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে।

প্রথম বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

খ. $O$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত বল তিনটির লব্ধির মান নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{OC}=16 \mathrm{~cm}$ এবং $Q$ ও $R$ বলদ্বয় স্থান বিনিময় করলে দেখাও

যে, $\mathrm{CO}$ বরাবর লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর সরণ $4 \mathrm {cm}.$

ক. $P$ বলের উপাংশদ্বয় বিপরীত দিকে $P$ এর সাথে $15°$ ও $45°$ কোণ উৎপন্ন করে। উপাংশদ্বয়ের মান নির্ণয় কর।

খ. $A$ ও $B$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত বিসদৃশ সমান্তরাল বল দুইটির প্রত্যেকের সাথে সমপরিমাণ কত বল যোগ করলে লব্ধি $10\mathrm {cm}$ দূরে সরে যাবে?

গ. দেখাও যে, $O$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত বল চারটির লব্ধির মান $2P$ যা $P$ বলের ক্রিয়ারেখার সাথে $60°$ কোণ উৎপন্ন করে ।

ক. একই বিন্দুতে কার্যরত $P$ ও $Q$ বল দুইটির লব্ধি $R$ । $Q$ কে দ্বিগুণ করলে

যদি নতুন লব্ধি $P$ বলের ক্লিয়ারেখার উপর লম্ব হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, $\mathrm {R = Q}$

খ. $O$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে R এর মনি নির্ণয় কর ৷

গ. $\mathrm{R}=6 \mathrm{~N}$ ও $\alpha=45^{\circ}$ হলে $O$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত বল তিনটির লব্ধির মান নির্ণয় কর ।

$\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ বল তিনটি সদৃশ সমান্তরাল।

ক. $P$ ও $Q$ বল দুইটির লব্ধি $R$ । $Q$ কে দ্বিগুণ করলে যদি নতুন লব্ধি $P$ বলের ক্রিয়ারেখার উপর লম্ব হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে,$\mathrm{R}=\mathrm{Q}$

খ. উদ্দীপকের চিত্রে বলত্রয়ের লব্ধি ত্রিভুজটির লম্ববিন্দুগামী হলে প্রমাণ কর যে, $P: Q: R=\tan A: \tan B: \tan C$

গ. $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$ এবং কোনো এক বিন্দুতে ক্রিয়ারত $S-T, S, S+T$ মানের বলগুলির দিক একইক্রমে যথাক্রমে $\mathrm {AB, BC, CA}$ এর সমান্তরাল হলে লব্ধির মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: কোনো বিন্দুতে দুইটি বল এরূপভাবে ক্রিয়া করে যেন এদের একটিকে, বিপরীতমুখী করলে লব্ধির দিক এক সমকোণ ঘুরে যায়।

দৃশ্যকল্প-২: 4 মি. দৈর্ঘ্যের আনুভূমিক $AB$ রেখার $A, B$ বিন্দুতে $2$ মি. ও $3$ মি. দৈর্ঘ্যের দুইটি তারের দুই প্রান্ত বাঁধা আছে। $C$ বিন্দুতে তারের অপর প্রান্তদ্বয় দিয়ে ৪ কেজি ওজনের একটি বস্তুকে বেঁধে ঝুলানো হলো ।

ক. একটি ভারি সুষম রড $24 \mathrm {cm}$ ব্যবধানে অবস্থিত দুইটি খুঁটির উপর অনুভূমিকভাবে স্থাপিত।

যদি খুঁটিদ্বয়ের উপর চাপের অনুপাত $1 : 2$ হয়, তবে রডের মধ্যবিন্দু থেকে খুঁটির অবস্থান নির্ণয় কর ৷

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, বলদ্বয়ের মান সমান।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সাহায্যে তার দুইটির টান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: তিনটি সমতলীয় বল $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ একটি বস্তুকণায় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় রয়েছে, যেখানে $P \wedge Q=90^{\circ}, Q \wedge R=120^{\circ}$ |

দৃশ্যকল্প-২: $ACB$ একটি সরলরেখার $AC$ ও $BC$ অংশের মধ্যবিন্দুতে কার্যরত $P$ ও $Q$ দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি বিন্দুগামী।

ক. এক বিন্দুতে ক্রিয়াশীল দুইটি বলের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধির মান $8$ ও $2$ কেজি । যখন বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $60°$ তখন লব্ধির মান কত?

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে বলত্রিভুজের বিপরীত সূত্র প্রয়োগ করে দেখাও যে, $P: Q: R=\sqrt{3}: 1: 2$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, $P$ ও $Q$ বল দুইটি পরস্পর স্থান বিনিময় করলে লব্ধি $AB$ এর মধ্যবিন্দুগামী হবে ।

$\triangle \mathrm{ABC}$ এর $AB$ ও $AC$ বাহুদ্বারা দুইটি বলের মান ও দিক সূচিত হল । তাদের লব্ধি ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্রগামী ।

ক. $AD$ মধ্যমা এবং $G$ এর ভরকেন্দ্র হলে, $AG$ কে $AD$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

খ. উদ্দীপক হতে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী বা সমদ্বিবাহু ।

গ. $B, C$ বিন্দুতে $2$টি সমমুখী সমান্তরাল বল $P, Q$ এর অবস্থানে বিনিময় করলে যদি লব্ধি

একই স্থানে থাকে তবে দেখাও যে, $P=Q$