Questions in this chapter

$a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0)$ এবং $c x^{2}-2 b x+4 a=0,(c \neq 0)$

দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ । প্রথম সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta.$

ক. $x^{2}+14 x+51=0$ সমীকরণটি সমাধান কর ।

খ. দ্বিতীয় সমীকরণের মূলদ্বয়কে $\alpha$ ও $\beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গ. $\left(\alpha+\frac{1}{\beta}\right)$ ও $\left(\beta+\frac{1}{\alpha}\right)$ মূল বিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

$2 x^{3}-9 x^{2}+9 x+2=0.......\text{(i)}$

$2 x^{2}+p x+q=0.......\text{(ii)}$

ক. $\mathrm k$ এর মান কত হলে $5 x^{2}-k x+6=0$ সমীকরণের একটি মূল অপরটির পাঁচগুণ হবে?

খ. (i) নং সমীকরণের মূলত্রয় $2, \gamma, \delta$ হলে $\frac{2 \gamma}{\delta}$ এবং $\frac{2 \delta}{\gamma}$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বের কর।

গ. (ii) এ বর্ণিত সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গ হলে প্রমাণ কর যে, $p^{3}-6 p q+2 q^{2}+4 q=0$

$x^{2}+k x-6 k=0, \frac{1}{x}+\frac{1}{p-x}=\frac{1}{q}$

এবং $3 x^{3}-26 x^{2}+52 x-24=0$ তিনটি সমীকরণ।

ক. $\mathrm k$ এর মান কত হলে ১ম সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?

খ. দ্বিতীয় সমীকরণটির মূলদ্বয়ের অন্তর $r$ হলে, $p$ কে $q$ ও $r$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

গ. ত্রিঘাত সমীকরণটির মূলগুলি গুণোত্তর প্রগমন শ্রেণিভুক্ত হলে তা সমাধান কর ।

$x^{2}+b x+c=0.......\text{(i)}$

$x^{2}+c x+b=0.......\text{(ii)}$

$2 x^{2}-4(1+c) x+\left(b^{2}+2 c^{2}+2\right)=0......\text{(iii)}$

ক. এমন একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল $2+\sqrt{3}$

খ. (i) ও (ii) নং এর একটি সাধারণ মূল থাকবে কোন শর্তে?

গ. (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হলে দেখাও যে,

(iii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় কাল্পনিক হবে ।

$x^{2}+x+1=0$ সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha, \beta$

ক. সমীকরণটির মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\alpha^{4}+\alpha^{2} \beta^{2}+\beta^{4}=0$

গ. এমন একটি চতুর্ঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার তিনটি মূল $\alpha, \beta$ এবং $2-\mathrm i$

$\text { (i) } a x^{2}+b x+c=0$ এর মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ এবং $\alpha \neq 0, \beta \neq 0$

$\text { (ii) } c x^{2}-2 b x+4 a=0$

ক. এমন একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল $1+\mathrm i$

খ. (i) থেকে প্রমাণ কর যে, $(a \alpha+b)^{-1}+(a \beta+b)^{-1}=\frac{b}{a c}$

গ. সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে প্রমাণ কর যে,

$(2 a-c)^{2}+2 b^{2}=0$ অথবা, $2 a+c=0$

$f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+9 x+2, g(x)=a x^{2}+b x+c$ এবং $a, b$ ও $c$ ধ্রুবক ।

ক. $x^{2}-4 x+1=0$ সমীকরণটির মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. $f(x) = 0$ এর মূলগুলি নির্ণয় কর।

গ. $g(x) = 0$ এর মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে $\alpha^{3}-\beta^{3}$ এর মান নির্ণয় কর।

$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)$

একটি বীজগাণিতিক রাশি এবং $\left(k^{2}-3\right) x^{2}+3 k x+(3 k+1)=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

ক. $\mathrm k$ এর মান কত হলে প্রদত্ত সমীকরণটির মূলদ্বয় পরস্পর গৌণিক বিপরীত হবে?

খ. প্রদত্ত রাশিটি একটি পূর্ণ বর্গ হলে, প্রমাণ কর যে, $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$

গ. $\mathrm k = 2$ এর জন্য প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় $m$ ও $n$ হলে, ও $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}^{2}}$ ও $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}^{2}}$ মূল

বিশিষ্ট সমীকরণ গঠন কর।

$f(x)=3 x^{2}+12 x+5 \equiv p(x+q)^{2}+r, x \in \mathbb{R}$

ক. $f(x) = 0$ সমীকরণটির মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. $p,q, r$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $f(x) = 0$ সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\alpha+\beta^{-1}$ এবং $\beta+\alpha^{-1}$

মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $\text { (i) } a x^{2}+b x+c=0$

এবং $\text { (ii) } a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 ; a, b, c, d \in \mathbb{R} ; a \neq 0$

দৃশ্যকল্প-২ : $M=(-1+\sqrt{-3})^{n}+(-1-\sqrt{-3})^{n}$

ক. দৃশ্যকল্প-১ (i) এর মূলদ্বয়ের অনুপাত $\mathbf{m}: \mathbf{n}$ হলে দেখাও যে,

$a c(m+n)^{2}=b^{2} m n$

খ. দৃশ্যকল্প-১ (ii) এর আলোকে $a=1, b=-5, c=17, \quad d=-13$ এবং সমীকরণটির একটি

মূল $2+3 i$ হলে এর একটি বাস্তব মূল এবং $\frac{3}{2}$ মূলবিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন কর ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, $\mathrm{n}, 3$ দ্বারা বিভাজ্য হলে $\frac{M}{2^{n}}=2$ এবং $n$ অপর

যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হলে, $\frac{\mathrm{M}}{2^{\mathrm{n}}}=-1$

$z=3+2 i,\left(1+x+x^{2}\right)^{n}=p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+\ldots+p_{2 n} x^{2 n}, v(x)= \mathrm{x}^{2}+\mathrm{px}$

ক. $\sqrt[3]{-i}$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{p}_{0}+\mathrm{p}_{3}+\mathrm{p}_{6}+\ldots=3^{\mathrm{n}-1}$

গ. $v(x)+8=0$ সমীকরণের একটি মূল $6$ এবং $\mathrm{v}(\mathrm{x})+\mathrm{n}=0$ সমীকরণের

মূল দুইটি পরস্পর সমান হলে $n$ এর মান নির্ণয়।

$P(x)=x^{2}+r x-s$

ক. দেখাও যে, $(-1+\sqrt{-3})^{8}+(-1-\sqrt{-3})^{8}=-256$

খ. $P(x)=0$ সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হয় তাহলে প্রমাণ কর যে,

$r^{3}+s^{2}+3 r s-s=0$

গ. $x^{2} P(x)-10 x+4=0$ সমীকরণের একটি মূল $1+\mathrm{i}$ হলে অন্য মূলগুলি নির্ণয় কর যখন

$r=-5$ এবং $s=-10$

নিচের উদ্দীপকটি পড় এবং প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :

দৃশ্যকল্প—i : $g(x)=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3 x})$

দৃশ্যকল্প—ii : $x^{2}+p x+q=0$ এবং $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{p}=0$

ক. $\sqrt[3]{i}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\{g(i)\}^{n}+\{g(-i)\}^{n}=2$ যখন $n$ এর মান $3$ দ্বারা বিভাজ্য এবং $-1$

যখন $n$ অপর কোনো পূর্ণসংখ্যা ।

গ. দৃশ্যকল্প—ii : এর সমীকরণদ্বয়ে যদি একটি সাধারণ মূল থাকে তাহলে প্রমাণ কর যে তাদের

অপর মূল দুইটি $x^{2}+x+\mathrm{pq}=0$ সমীকরণের মূল হবে ।

$t^{2}+b t+c=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $t_{1}$ ও $t_{2}$

ক. কোন শর্তে $t_{1}=t_{2}$ হবে?

খ. $c\left(t^{2}+1\right)-\left(b^{2}-2 c\right) t=0$ এর মূলদ্বয় $\mathrm{t}_{1}$ ও $t_{2}$. এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

গ. এরূপ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় ,

$t_{1}+\frac{1}{t_{2}}$ এবং $t_{2}+\frac{1}{t_{1}}$

$\varphi(x)=l x^{2}+m x+n$ একটি ফাংশন ।

ক. $x^{3}+x^{2}+4 x+4=0$ সমীকরণটি সমাধান কর।

খ. $\varphi(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $a, b$ হলে,$\mathrm{n} l\left(\mathrm{x}^{2}+1\right)+(2 \mathrm{n} l- \left.m^{2}\right) x=0$ সমীকরণের

মূলদ্বয়কে $a$ ও $b$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

গ. $l=42, \mathrm{~m}=-13, \mathrm{n}=1$ হলে, $\{\varphi(\mathrm{x})\}^{-1}$ এর বিস্তৃতিতে এর $\mathrm{x}^{99}$ সহগ নির্ণয় কর।

$P(x)=a x^{2}+b x+c$ এবং $Q(x)=c x^{2}+b x+a$

ক. কোন শর্তে $Q(x)=0$ সমীকরণের মূলগুলো (i) জটিল ও অসমান

(ii) মূলদ ও অসমান হবে।

খ. $P(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$(a \alpha+b)^{-2}+(a \beta+b)^{-2}=\frac{b^{2}-2 a c}{a^{2} c^{2}}$

গ. যদি $P(x)=0$ ও $Q(x)=0$ সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকে তবে

প্রমাণ কর যে,$c+a=\pm b$

$f(x)=x^{4}+3 x^{3}-19 x^{2}-3 x+18$ এবং $g(x)=5 x^{2}-3 x+1$

ক. দ্বিঘাত সমীকরণের পৃথায়ক বলতে কি বুঝ ব্যাখ্যা কর ।

খ. $g(x)=0$ সমীকরণের মূলগুলি $\alpha$ ও $\beta$ হলে $(5 \alpha-3)^{2}$ ও $(5 \beta-3)^{2}$ মূলবিশিষ্ট

সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $f(x)=0$ সমীকরণের দুইটি মূলের সমষ্টি শূন্য হলে মূলগুলি নির্ণয় কর ।

$f(x)=x^{4}-3 x^{3}-11 x^{2}+23 x-10 ; g(x)=x^{3}-3 x^{2}-8 x+30$

ক. $f(x)$ কে $(x + 3)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

খ. $g(x)=0$ এর একটি মূল $3 + i$ হলে; অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।

গ. $f(x) = 0$ সমীকরণের একটি মূল $1$ এবং অপর মূলগুলি $\alpha, \beta, \gamma$ হলে,$\Sigma \alpha^{3}$ নির্ণয় কর ।

দৃশ্যকল্প-১ :

দৃশ্যকল্প-২ : $3 x^{3}-2 x^{2}+1=0$ সমীকরণের মূলগুলি $p, q$ এবং $r.$

ক. $i − 3$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর। -

খ. $\beta=\gamma$ হলে দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, তাদের ভিন্ন দুইটি মূল দ্বারা গঠিত সমীকরণ,

$x^{2}+a x+b c=0$

গ. $\sum \dfrac{p^{2}q}{r}$ এর মান নির্ণয় কর ।

দৃশ্যকল্প-১ : $(p-1) x^{2}-(p+2) x+4=0$

দৃশ্যকল্প-২ : $\alpha x^{2}+\beta x+\gamma=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\text { r, s. }$

ক. $z=x+i y$ হলে, $|z-5|=3$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর মূলগুলো বাস্তব ও সমান হলে $p$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, $(\alpha r+\beta)^{-2}+(\alpha s+\beta)^{-2}$ এর সরলীকৃত

মান $\frac{\beta^{2}-2 \alpha \gamma}{\alpha^{2} y^{2}}$