Questions in this chapter

$z=x+i y$ একটি জটিল সংখ্যা এবং $\frac{1}{x}+\frac{1}{p-x}=\frac{1}{q}$ একটি সমীকরণ ।

ক. যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম কাকে বলে?

খ. $|z+5|+|z-5|=15$ এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর $r$ হলে $p$ কে $q$ এবং $r$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

$f(x)=27 x^{2}+6 x-(a+2)$ এবং $g(x)=x^{2}+p x+q$

ক. $k$ এর কোন মানের জন্য $(k-1) x^{2}-(k+2) x+4$ রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

খ. $g(x) = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য $1$ হলে প্রমাণ কর যে,

$\mathrm{p}^{2}+4 \mathrm{q}^{2}=(1+2 \mathrm{q})^{2}$

গ. যদি $f(x) = 0$ সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হয় তবে, $'a'$ এর মান নির্ণয় কর ৷

$f(x)=x^{2}+p x+q$ ও $g(x)=x^{2}+q x+p$

ক. দেখাও যে, $\sqrt{i}+\sqrt{-i}=\sqrt{2}$

খ. এমন একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূল দুইটি যথাক্রমে $f(x) = 0$; যেখানে, $\mathrm{p}=\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}, \mathrm{q}=\mathrm{b}^{2}-\mathrm{a}^{2}$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের সমষ্টি এবং অন্তরফলের

ধনাত্মক মান হবে ৷

গ. যদি $f(x) = 0$ ও $g(x) = 0$ সমীকরণ দুইটির একটি সাধারণ মূল থাকে, তবে দেখাও যে,

অপর মূল দুইটি দ্বারা গঠিত সমীকরণ $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+\mathrm{pq}=0$

$a x^{2}+b x+c=0$ এবং $c x^{2}-2 b x+4 a=0$ দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ

ক. $k-$ এর মান কত হলে $(k-1) x^{2}-(k+2) x+4=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়

বাস্তব ও সমান হবে?

খ. ১ম সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\alpha+\frac{1}{\beta}$ এবং $\beta+\frac{1}{\alpha}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. ১ম সমীকরণের মূলদ্বয় ${\alpha}, \beta$ হলে ২য় সমীকরণের মূলদ্বয়কে $\alpha \beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

$f(x)=a x^{2}+b x+c$

ক. $2 x^{2}-2(m+n) x+m^{2}+n^{2}=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় কখন বাস্তব হবে?

খ. উদ্দীপকে $a=6, b=-5$ এবং $c = 1$ হলে দেখাও যে, এর $\frac{1}{f(x)}$ বিস্তৃতিতে $x^{n}$

এর সহগ $3^{n+1}-2^{n+1}$

গ. উদ্দীপকে $a = 4, b = – 6$ এবং $c = 1$ এর জন্য $f(x) = 0$ সমীকরণের মূল দুইটি $u$ ও $v$ হলে

দেখাও যে, $u+\frac{1}{v}$ এবং $v+\frac{1}{u}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি $4 x^{2}-30 x+25=0$

$f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\ldots \ldots .+a_{n}=0, a_{0} \neq 0$ একটি - $n$

ঘাতের বহুপদী সমীকরণ

ক. সমীকরণ ও অভেদ কী?

খ. উদ্দীপকে বহুপদী সমীকরণের মূল ও সহগের সম্পর্ক নির্ণয় কর।

গ. $a x^{3}+3 b x^{2}+3 c x+d=0$ সমীকরণের মূল $r, s, t$ হলে,

$\Sigma r(s-t)^{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

$\frac{1}{m-x}-\frac{1}{n}+\frac{1}{x}=0.....(i)$

$g(x)=a x^{2}+b x+c......(ii)$

ক. $a=2, b=-3, c=1$ হলে $g(x) = 0$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ধারণ কর ।

খ. উদ্দীপকে উল্লেখিত (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য $r$ হলে $m$ কে $n$ ও $r$ এর

মাধ্যমে প্রকাশ কর ৷

গ. উদ্দীপকের (ii) নং এর $g(x) = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta .$ হলে দেখাও যে,

$(a \alpha+b)^{-1}+(a \beta+b)^{-1}=\frac{b}{a c}$

$F(x)=27 x^{2}+6 x-(m+2), P(x)=r x^{2}-2 n x+4 m$ এবং $\mathrm{Q}(\dot{x})=m x^{2}+n x+r$

ক. $2+2 \sqrt{3} i$ মূল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর ।

খ. $F(x) = 0$ সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হলে $m$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $P(x)=0$ এবং $\mathrm{Q}(\mathrm{x})=0$ সমীকরণ দুইটির একটি সাধারণ মূল থাকলে,

প্রমাণ কর যে, $(2 m-r)^{2}+2 n^{2}=0$ অথবা $2 m+r=0$

দৃশ্যকল্প-১: $\mathrm{Z}=\mathrm{a}+\mathrm{ib}$

দৃশ্যকল্প-২ : $2 x^{2}-5 x+1=0$

ক. এককের কাল্পনিক ঘনমূল $\omega$ হলে $\left(\frac{1+\omega-\omega^{2}}{2}\right)^{9}+\left(\frac{1+\omega^{2}-\omega}{2}\right)^{9}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\sqrt[3]{z}=p+i q$ হলে, প্রমাণ কর যে, $4\left(p^{2}-q^{2}\right)=\frac{a}{p}+\frac{b}{a}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\alpha+\frac{1}{\beta}$ এবং $\beta+\frac{1}{\alpha}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ

নির্ণয় কর।

$p x^{3}+q x^{2}+r x+1=0........(i)$

$r x^{2}+q x+1=0......(ii)$

ক. $1-\mathrm{i}, 2+\sqrt{3}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।

খ. (i) নং এর মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হলে $\Sigma \alpha^{3}$ নির্ণয় কর।

গ. $p = 0$ এর জন্য (i) ও (ii) নং এর একটি সাধারণ মূল থাকলে $\mathrm{x}^{2}-(q+r-4) x+6(q+r)^{3}=0$

এর মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

$\begin{array}{l}f(x)=a x^{2}+b x+c \\g(x)=c x^{2}-2 b x+4 a\end{array}$

ক. $\frac{1}{x}+\frac{1}{p-x}=\frac{1}{q}$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর $r$ হলে $p$ কে $q$ ও $r$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

খ. $f(x) = 0$ এর মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে $g(x) = 0$ এর মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

গ. $f(x) = 0$ এর মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে প্রমাণ কর যে,

$(a \alpha+b)^{-2}+(a \beta+b)^{-2}=\frac{b^{2}-2 a c}{a^{2} c^{2}}$

$3 x^{2}-6 x+2=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $m$ এবং $n$ হলে $m+\frac{1}{n}$ এবং $\begin{array}{r}\mathrm{n}+\frac{1}{\mathrm{~m}} \\2.5\end{array}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর?

দৃশ্যকল্প-১: $x^{2}-2 x-4 k=0$ ও $2 x^{2}-9 x+2 k=0$

দৃশ্যকল্প— ২: $36 x^{3}-36 x^{2}+11 x-1=0$

ক. $5 x^{2}-2 x+3=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প—১ এ প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে $k$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. দৃশ্যকল্প—২ এ প্রদত্ত সমীকরণটির মূলগুলি সমান্তর প্রগমনে তা সমাধান কর ।

$a x^{2}+b x+c=0$ এর মূলদ্বয়ের অনুপাত 3 : 4 হলে দেখাও যে, $12 b^{2}=49 a c$.

$x^{3}-3 x^{2}+7 x-5=0$ সমীকরণের একটি মূল $(1+2 i)$ হলে, অন্য মূলগুলো নির্ণয় কর।

$a x^{2}+b x+c=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ এবং $b x^{2}+c x+a=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\gamma, \delta$ হলে, কোন শর্তে $\frac{\alpha}{\beta}=\frac{{\gamma}}{\delta}$

হবে, বের কর।

$'a'$ এর বাস্তব মান কত হলে $x^{3}+3 a x^{2}+x+1=0$ সমীকরণের মূলগুলো সমান্তর প্রগমনে থাকবে? সমীকরণটির মূলগুলোও নির্ণয় কর।

যদি $x^{3}-p x^{2}-q x-r=0$ সমীকরণের মূলগুলি $a, b, c$ হয় তবে $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ এর মান নির্ণয় কর।

দুজন ছাত্রকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে বলা হল। একজন ছাত্র সমীকরণের x এর সহগটি ভুল লিখে $2$ এবং $6$ এই বীজ দুটি পেল। অপর ছাত্র ধ্রুবক পদটি ভুল লিখে $2$ এবং $– 9$ এই বীজ দুটি পেল। নির্ভুল সমীকরণের বীজগুলি নির্ণয় কর।

যদি $x^{2}+p x+q=0, x^{2}+q x+8 p=0$ এবং $4 x^{3}+16 x^{2}-9 x-36=0$ সমীকরণ গুলোর একটি সাধারণ মূল থাকে -

এবং $4 x^{3}+16 x^{2}-9 x-36=0$ সমীকরণের অন্য দুইটি মূলের যোগফল শূন্য হলে, $p$ এবং $q$ এর মান নির্ণয় কর ।