Questions in this chapter

দৃশ্যকল্প-১: $4 x^{2}+2 x-1=0$ সমীকরণের একটি মূল $\cos \alpha$

দৃশ্যকল্প-২: $a, b, c \in \mathbb{R}, a c=b c$ এবং $c \neq 0$

ক. $|3-2 x|<7$ অসমতাটি পরম মান চিহ্ন ব্যতীত প্রকাশ কর।

খ. দৃশ্যকল্প-২ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $a=b$

গ. দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত সমীকরণটির অপর মূলটি $\cos 3 \alpha$

$P=x^{2}+b x+a c, Q=x^{2}+c x+a b$ এবং

$\mathrm{R}=\sqrt{-3+\sqrt{-3+\sqrt{-3+\ldots \ldots \infty}}}$

ক. $x=\frac{a+i b}{a-i b}$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$\left(a^{2}+b^{2}\right) x^{2}+a^{2}+b^{2}=2\left(a^{2}-b^{2}\right) x$

খ. $P = 0$ এবং $Q = 0$ সমীকরণ দুইটির একটি সাধারণ মূল থাকলে

দেখাও যে, $a+b+c=0$

গ. $\mathrm R$ এর মডুলাস নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $x=\sqrt[3]{-1}$

দৃশ্যকল্প-২: $\mathrm{px}^{2}+8(\mathrm{q}-\mathrm{p}) \mathrm{x}+4(4 \mathrm{p}-8 \mathrm{q}+\mathrm{r})=0$ সমীকরণের

মূলদ্বয় $4-2 \alpha, 4-2 \beta$

ক. $-8-6 i$ এর আর্গুমেন্ট ষাটমূলক পদ্ধতিতে দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে x এর জটিল মানদ্বয় নির্ণয় করে তাদের যেকোনো একটি মানের

বর্গমূল নির্ণয় কর।

গ. $\alpha$ এবং $\beta$ মূল বিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

$z_{1}=1+i \sqrt{3}, z_{2}=\sqrt{3}-i$

ক. দেখাও যে, $(1-i)^{-2}-(1+i)^{-2}=i$

খ. কোনো একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল $\mathrm {z}_{1}$ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $\arg \left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\arg z_{1}-\arg z_{2}$

$\begin{array}{l}\text{(i) } 3 x^{2}+2 x+1=0\\\text{(ii) } z=\left\{\frac{1+(i)^{4 n+1}}{1+(i)^{4 n+3}}\right\}^{2(2 n+1)}\end{array}$

ক. $\omega=\frac{-1-\sqrt{3} i}{2}$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর ।

খ. $\mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathbb{N}$ এর জন্য, প্রমাণ কর যে, $\mathrm z=-1$

গ. আর্গন্ড চিত্রে: (i) এর যে মূলটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে

তার মডুলাস নির্ণয় কর ৷

$\mathrm z=4+3 i$ এর বর্গমূল দুইটি $\mathrm {z}_{1}$ ও $\mathrm {z}_{2}$

ক. দেখাও যে, $\sqrt{i}+\sqrt{-i}=\sqrt{2}$

খ. একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল $\frac{1}{\mathrm{z}}$

গ. আর্গন্ড চিত্রে $\mathrm z_{1}$ ও $\mathrm z_{2}$ দ্বারা সূচিত বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব নির্ণয় কর।

$z=3+4 \mathrm i$

ক. $x^{2}-5 x+7=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় নির্ণয় কর।

খ. আর্গন্ড চিত্রে $\overline{\mathrm {z}}$ দ্বারা সূচিত বিন্দুর অবস্থান দেখিয়ে এর মডুলাস

ও আর্গুমেন্ট চিহ্নিত কর ।

গ. $\sqrt{\mathrm z}=r(\cos \theta+\mathrm i \sin \theta)$ হলে, $\sin \theta$ এর মান নির্ণয় কর।

${x}^{2}+b x+c=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$

ক. বাস্তব সহগ বিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের সমষ্টি $\frac{b}{a},$ গুণফল $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$ ।

সমীকরণটির একটি মূল $m+\sqrt{n}$ হলে দেখাও যে, এর অপর মূলটি হবে $m-\sqrt{n}$

খ. $c x^{2}-\left(b^{2}-2 c\right) x+c=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়কে $\alpha, \beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

গ. $b, c$ এর মাধ্যমে $(\alpha+b)^{-4}+(\beta+b)^{-4}$ এর মান নির্ণয় কর।

$x^{2}+b x+c=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$

ক. $\alpha-\beta=\pm 1$ হলে, দেখাও যে, $b^{2}=4 c+1$

খ. $(b \alpha+c)^{-2}+(b \beta+c)^{-2}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $(\alpha+\beta)^{2}$ এবং $(\alpha-\beta)^{2}$ মূল বিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

$x^{2}+p x+q=0 \ldots \ldots \text { (i) }$ এবং

$x^{2}+q x+p=0 \dots \dots \text {(ii)}$

ক. বাস্তব সহগ বিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের সমষ্টি $-\frac{b}{a}$ গুণফল $\frac{c}{a}$;

সমীকরণটির একটি মূল $\mathrm m+\text { in }$ হলে দেখাও যে, এর অপর মূলটি হবে $\mathrm{m}-\text {n}$

খ. (i) সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ এবং (ii) সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha+4, \beta+4$ হলে $p, q$

এর মান নির্ণয় কর।

গ. যদি, (i) ও (ii) সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকে তবে তাদের অপর মূলগুলি

দ্বারা গঠিত সমীকরণ নির্ণয় কর।

$a x^{2}+b x+c=0......\text{(i)}$ এবং

$b x^{2}+c x+a=0......\text {(ii)}$

ক. দেখাও যে, $x^{5}-x^{4}+10 x^{3}-9 x^{2}+8 x+699$ রাশিটির একটি উৎপাদক $\mathrm x+3$

খ. (i) সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গ হলে দেখাও যে,

$c(a-b)^{3}=a(c-b)^{3}$

গ. (i) ও (ii) সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য একটি ধ্রুব রাশি হলে প্রমাণ কর যে,

$4 a b\left(b c-a^{2}\right)=b^{4}-a^{2} c^{2}$

$|2 x+1|+|1-2 \dot{x}| \leq 8$ একটি অসমতা এবং

$x^{3}-p x+q=0$ একটি ত্রিঘাত সমীকরণ যার মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$

ক. $\mathrm{i}^{\mathrm{i}}$ এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকে উল্লেখিত অসমতাটি সমাধান কর ।

গ. $\sum \alpha^{4}$ নির্ণয় কর, যেখানে $\sum \alpha_{}^{2}=16, \sum \alpha^{3}=-9$

$x^{3}-x-1=0$ একটি ত্রিঘাত সমীকরণ যার মূলত্রয় $a, b, c$ এবং $\mathrm{x}^{2}-3|x-2| \leq 4 x-6$ একটি অসমতা ।

ক. $\ln (1+\sqrt{3} \mathrm i)$ এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\sum \frac{1-a}{1+a}=1$

গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত অসমতাটি সংখ্যারেখার সাহায্যে সমাধান কর।

$z=x+i y,(y \neq 0)$ এবং $\frac{\mathrm{z}}{1+z^{2}}$ একটি বাস্তব সংখ্যা,

যেখানে $1+z^{2} \neq 0 ; x^{2}-4 x+a=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় সমান।

ক. $f(x)=a x^{2}-7 x+4$ এর একটি উৎপাদক 1 হলে উৎপাদকের সাহায্যে $f(x) = 0$

সমীকরণটি সমাধান কর।

খ. প্রমাণ কর যে,$|z|=1$

গ. $\mathrm a \mathrm x^{2}-6 x+1=0^{}$ সমীকরণের মূল দুইটি $\alpha$ ও $\beta$ হলে দেখাও যে,

$\alpha+\frac{1^{}}{\beta}$ এবং $\beta+\frac{1}{\alpha}$ মূল বিশিষ্ট সমীকরণ $4 x^{2}-30 x+25=0$

$2 x^{2}-p x+q=0$ এবং $x^{2}+p x+q=0$ দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ। ১ম সমীকরণের মূলদ্বয়

$\alpha$ ও $\beta$ এবং ২য় সমীকরণের মূলদ্বয় $a$ ও $b$

ক. $x^{2}-5 x+7=0$ সমীকরণটি সমাধান কর ।

খ. $a^{4}-b^{4}$ এর মান $p$ ও $q$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গ. সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, $6 p^{2}+q=0$

$2 x^{2}-3 x+1=0 \ldots \ldots \ldots \text { (i) }$

$x^{3}+m x+n=0 \dots \dots \text {(ii)}$

ক. $x^{2}+2 x-1=0$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে মূলদ্বয়ের যোগফল ও বিয়োগফলের পরমমান

মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. (ii) নং সমীকরণের মূলত্রয় $a, b, c$ হলে $\sum \frac{1}{\mathbf{c}^{3}}$ এর মান নির্ণয় কর।

$x^{2}+2 a x+a=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ; যার মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ যেখানে $\alpha>\beta$

ক. $x^{2}-5 x+c=0$ এর একটি মূল $4$ হলে অন্যটি কত?

খ. $a$ এর কোন ধনাত্মক মানের জন্য $3 \alpha^{2}-10 \alpha^{2} \beta^{2}+3 \beta^{2}=0$ হবে?

গ. a এর মান কত হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় (i) বাস্তব ও সমান (ii) বাস্তব ও অসমান (iii) জটিল হবে?

$\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+1=0$ ও $q x^{2}+p x+1=0$ দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ এবং $x^{3}+a x^{2}+b x+c=0$

ত্রিঘাত সমীকরণটির মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$

ক. $\sqrt{-5^{}}-1$ মূলবিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. ১ম ও ২য় সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, $p+q+1=0$

গ. ত্রিঘাত সমীকরণটি থেকে $\sum \alpha^{3}$ এর মান নির্ণয় কর।

$a x^{2}+b x-c=0 ; a \neq 0.......\text{(i)}$

$x^{3}+p x^{2}+q x+r=0........\text{(ii)}$

ক. $x^{2}-8 x-9=0$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণের দুইটি মূল $m$ ও $n$ হলে $\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)$

$\frac{1}{\mathrm{mn}}$ এবং মূল বিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. যে শর্তে দৃশ্যকল্প-২ এর মূলগুলি সমান্তর প্রগমনে থাকবে তা নির্ণয় কর।

$x^{2}+p x+q=0$ এবং $x^{2}+q x+p=0$ দুইটি বহুপদী সমীকরণ ।

ক. $4 x^{2}+3 x+1=0$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের মূলদ্বয়ের পার্থক্য একটি ধ্রুব রাশি হলে $p$ ও $q$ এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে দেখাও যে,

$x^{2}+(p+q) x+4=0$ এর মূলদ্বয় সমান।

গ. $p = 5$ এবং $q = 6$ এর জন্য ১ম সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha \beta(\alpha> \beta)$ হলে, $\alpha-2, \beta-3$

এবং $8$ দ্বারা গঠিত ত্রিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় কর ।