Questions in this chapter

$x^{2}+2 m x+m=0$ সমীকরণের দুইটি মূল $\alpha$ ও $\beta$ যেখানে,

$\alpha>\beta$ এবং $m$ একটি অশূন্য ধ্রুবক।

ক. $m$ এর মান কত হলে মূলদ্বয় পরস্পর বাস্তব ও সমান হবে?

খ. $\alpha \beta^{-2}$ ও $\beta \alpha^{-2}$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় করো ।

গ, $x^{2}+5 x+1=0$ এবং উদ্দীপকের সমীকরণের একটি সাধারণ

মূল থাকলে দেখাও যে, $m-\frac{1}{5 m}=\frac{13}{5}$

দৃশ্যকল্প-I: $2 x^{3}-9 x^{2}+9 x+2=0$ সমীকরণের মূলত্রয় $2, \alpha$ ও $\beta$

দৃশ্যকল্প- II: $a x^{2}-b x+c=0$ ও $a x^{2}-{c} x+b=0$ সমীকরণের মূলগুলির মধ্যে কেবল একটি

ধ্রুবকের পার্থক্য বিদ্যমান। যেখানে, $c \neq b$

ক. দৃশ্যকল্প-II এ বর্ণিত ১ম সমীকরণটির মূলদ্বয়ের অনুপাত $4 : 5$ হলে দেখাও যে, $20 b^{2}=81 a c$

খ. দৃশ্যকল্প-I এর আলোকে $\frac{1}{\alpha}$ ও $\frac{1}{\beta}-\alpha$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় করো।

গ. দৃশ্যকল্প -II হতে দেখাও যে, $b+c+4a=0$.

একটি ত্রিঘাত সমীকরণ $3 x^{3}-4 x^{2}+x+5=0$ এর

মূলগুলি $\alpha, \beta$ ও $\gamma$ এবং অপর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ

$a x^{2}+{b} x+c=0 ; a \neq 0$ এর মূলদ্বয় p ও q

ক. বাস্তব সহগবিশিষ্ট এরূপ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় করো যার একটি মূল $3-2 \mathrm i$

খ. $\Sigma \alpha^{2} \beta$ নির্ণয় করো।

গ. $c^{2}-5 b x+25 a=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়কে p ও q এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

$x^{2}+b x-6 b=0......(i)$

$x^{2}-2 x-b=0 \ldots \ldots \ldots { (ii) }$

এবং $x^{2}+2 b x+b^{2}-a^{2}=0.......(iii)$

ক. (i) নং সমীকরণের নিশ্চায়ক $– 44$ হলে $b$ এর মান নির্ণয় করো।

খ. (i) ও (ii) নং সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকলে $b$ এর মান নির্ণয় করো ।

গ. এমন একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় করো যার মূল দুইটি যথাক্রমে (iii) নং

সমীকরণের মূলদ্বয়ের সমষ্টি এবং অন্তরফলের ধনাত্মক মান হবে।

$\mathrm{mx}+\mathrm{nx}+l=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।

ক. $\mathrm k$ এর মান কত হলে $(k+1) x^{2}+2(k+3) x+2 k+3$ রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে ?

খ. উদ্দীপকের সমীকরণের মূলদ্বয় $\beta$ ও $\gamma^{}$ হলে দেখাও যে,

$\left(m \beta^{-}+n\right)^{-2}+(m \gamma+n)^{-2}=\frac{n^{2}-2 l m}{m^{2} l^{2}}$

গ. $l=\mathrm{n}$ হলে উদ্দীপক হতে দেখাও যে, $\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}}=0$

যেখানে মূলদ্বয়ের অনুপাত $a: b$

দৃশ্যকল্প-I: $\frac{1}{x}+\frac{1}{g-x}=\frac{1}{h}$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর $p$.

দৃশ্যকল্প-II: $2 x^{3}-x^{2}-22 x-24=0$ এর দুইটি মূলের অনুপাত $3 : 4$

ক. $g=h=2$ হলে দৃশ্যকল্প-$\mathrm I$ এ বর্ণিত সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-II এ বর্ণিত সমীকরণের মূলগুলি নির্ণয় কর ।

গ. দৃশ্যকল্প-I হতে দেখাও যে, $\mathrm{g}=2 \mathrm{~h} \pm \sqrt{\mathrm{p}^{2}+4 \mathrm{~h}^{2}}$

দৃশ্যকল্প-I: $2 c x^{2}+2(b+c) x+3 b=2 c$ সমীকরণের একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ ।

দৃশ্যকল্প-II: $4 x^{2}-6 x+1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\mathrm u$ ও $\mathrm v$

ক. $\alpha+\beta=3, \alpha^{3}+\beta^{3}=7$ হলে $\alpha$ ও $\beta$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-II এর আলোকে $\mathrm{u}+\frac{1}{\mathrm{v}}$ এবং $v+\frac{1}{u}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-I হতে দেখাও যে, $\mathrm{b}=2 \mathrm{c}$ অথবা, $4 \mathrm{~b}=11 \mathrm{c}$

দৃশ্যকল্প-I: $\mathrm{px}^{2}+2 \mathrm{x}+1=0$ এবং $x^{2}+2 x+p=0$

সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূল $\alpha$

দৃশ্যকল্প-II: মূলদ সহগ বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের একটি জটিল মূল $\frac{1}{2+\sqrt{-3}}$

ক. দৃশ্যকল্প-I এ প্রথম সমীকরণের মূলদ্বয় $\beta$ ও $\gamma$ হলে

$\beta \gamma^{-1}+\gamma \beta^{-1}$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-II হতে দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-I হতে দেখাও যে, $p$ এর মান $1$ অথবা $– 3$

দৃশ্যকল্প-I: $a x^{3}+3 b x^{2}+3 c x+d=0$ সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha, \beta$ ও $\gamma .$

দৃশ্যকল্প-II: $\frac{1}{x-p}+\frac{1}{x-q}+\frac{1}{x-r}=0$ যেখানে, $\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r} \in \mathbb{R}$

ক. $2$ ও $−3$ মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-I হতে দেখাও যে, $\Sigma(\alpha-\beta)^{2}=\frac{18\left(b^{2}-a c\right)}{a^{2}}$

গ. প্রমাণ কর যে, দৃশ্যকল্প-II এ বর্ণিত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হবে।

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে $5$ মি., $4$মি. এবং $3$মি.। প্রতিটি মাত্রার দৈর্ঘ্য x মি. বৃদ্ধি করায়

এর আয়তন দ্বিগুণ হলো। আয়তনের সম্পর্কটি একটি ত্রিঘাত সমীকরণ যার মূলগুলো $\alpha, \beta$ ও $\gamma$

ক. $x^{2}+2 x+k=0$ সমীকরণের একটি মূল $2$ হলে অপর মূল কত ?

খ. আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রতিটি মাত্রা y পরিমাণ বৃদ্ধি করলে এর সমগ্রতলের

ক্ষেত্রফল $148$ বর্গ মি. হয়। $y$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\Sigma\left(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

উচ্চ মাধ্যমিক গণিত দ্বিতীয় পত্র পরীক্ষার প্রশ্নপত্রে $p x^{2}+q x+1=0$ সমীকরণটি সমাধান করতে বলা

হলো। কিন্তু রফিক উত্তরপত্রে ভুল করে $q x^{2}+p x+1=0$ সমাধান করল। খাতা দেখার সময়

শিক্ষক দেখলেন অঙ্কটি ভুল হলেও তার একটি মূল সঠিক।

ক. $4 x\left(x^{2}-1\right)+2 x+5=0$ সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হলে $\Sigma \alpha \beta$ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $p+q+1=0$

গ. রফিকের নির্ণিত ভুল সমাধানদ্বয় নির্ণয় কর।

$x^{2}-2 a x+a^{2}-b^{2}=0......(i)$

এবং $a x^{2}+b x+c=0......(ii)$

ক. $x^{2}-p x+q=0$ সমীকরণের মূল দুইটির অন্তর একক হলে $\mathrm{p}^{2}+4 \mathrm{q}^{2}$ এর মান বের কর ।

খ. (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $|\alpha+\beta|$ এবং $|\alpha-\beta|$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ বের কর ।

গ. (ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় P, q হলে $c x^{2}-2 b x+4 a=0$ সমীকরণের

মূলদ্বয় $p, q$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

$x^{2}-a x+b=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ

ক. মূলদ সহগবিশিষ্ট এমন একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল $1+\sqrt{2}$

খ. উদ্দীপকের সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে দেখাও যে, $\frac{b}{a-\alpha}$ এবং $\frac{b}{a-\beta}$ মূল বিশিষ্ট সমীকরণ

$x^{2}-a x+b=0$

গ. উদ্দীপকের সমীকরণের মূল দুইটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা হলে প্রমাণ

কর যে, $a^{2}-4 b-1=0$

$p x^{2}+q x+r=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

ক. $2 x^{2}-2(p+q) x+p^{2}+q^{2}=0$ সমীকরণের মূলগুলো কেমন হবে যদি $p \neq q$ হয়?

খ. উদ্দীপকের সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ এবং $\alpha-\beta=1$

হলে দেখাও যে, $p^{2}-q^{2}+4 p r=0$

গ. উদ্দীপকের সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\alpha^{2}$ হলে প্রমাণ কর যে,

$\left(\frac{p-q}{r-q}\right)^{3}=\frac{p}{r}$

দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ, $\mathrm{x}^{2}+(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{px}+\mathrm{q}=0.....(i)$

$(k-1) x^{2}-(k+2) x+4=0 \ldots \ldots \ldots { (ii) }$

ক. $\mathrm z=x+i y$ হলে, $|z-5|=3$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর ।

খ. (ii) নং সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব ও সমান হলে, $\mathrm k$ এর মান নির্ণয় কর ৷

গ. (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর $1$ হলে প্রমাণ কর যে,

$p^{2}+4 q^{2}=(1+2 q)^{2}$ যখন $n=0$

$x^{2}+a x+b=0....(i)$

এবং $x^{2}+b x+a=0......(ii)$

ক. $\frac{\mathrm i}{4+\mathrm i}$ কে $A+\mathrm i B$ আকারে প্রকাশ কর।

খ. (i) এবং (ii) নং সমীকরণের সাধারণ মূল $\alpha$ হলে দেখাও যে, $a+b+1= 0$

গ. (i) এবং (ii) নং সমীকরণের সাধারণ মূল ব্যতিত অপর মূল দুইটি দ্বারা গঠিত সমীকরণ নির্ণয় কর।

$a x^{2}+b x+c=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

ক. $(p-1) x^{2}-(p+2) x+4=0$ সমীকরণের পৃথায়ক নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\alpha^{-1}, \beta^{-1}$ মূল বিশিষ্ট সমীকরণ বের কর।

গ. উদ্দীপকের সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত $p:q$ হলে $\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{a}{p}}$

এর মান বের কর।

একটি সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ যেন, $\alpha+\beta=13$

$\alpha>\beta$ এবং $\alpha \beta=11$

ক. সমীকরণটি নির্ণয় কর।

খ. $\alpha$ ও $\beta$ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $(\alpha+\beta)$ ও $\alpha^{2}+\beta^{2}$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটির

পৃথায়ক একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

$x^{2}+x+1=1$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\beta$ ও $\gamma$

ক. $2, 3$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\beta^{4}+\beta^{2} \gamma^{2}+{\gamma}^{4}=0$

গ. এমন একটি চতুর্ঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার তিনটি মূল $\beta, \gamma$ এবং $2+\mathrm i$

$x^{2}-5 x+6=0$ ....... (i) এবং $x^{2}-x-6=0$ ...... (ii)

দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ

ক. $\mathrm k$ এর মান কত হলে $\mathrm{kx}^{2}+2 \mathrm{x}+3=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?

খ. দেখাও যে (i) এবং (ii) নং সমীকরণের একটি সাধারণ মূল বিদ্যমান ।

গ. প্রমাণ কর যে, (i) এবং (ii) নং সমীকরণের অপর মূল দ্বারা গঠিত

সমীকরণ $x^{2}-4=0$