Questions in this chapter

$p x^{2}+q x+r=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূল $\alpha$ ও $\beta$।

ক. $x^{2}+x+1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\alpha^{2}, \beta^{2}$ মূলবিশিষ্ট

সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে দেখাও যে,

$\alpha+\frac{1}{\beta}$ এবং $\beta+\frac{1}{\alpha}$ এর যোগফল $=-q\left(\frac{\mathrm{p}+\mathrm{r}}{\mathrm{pr}}\right)$

গ. উদ্দীপকের সমীকরণের $p=4, q=-6, r=1$ বসিয়ে পরিবর্তিত সমীকরণের

মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\alpha+\frac{1}{\beta}$ এবং $\beta+\frac{1}{\alpha}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

$\alpha, \beta$ মূল বিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণ $l x^{2}+m x+n=0$

যেখানে $l, \mathrm{~m}, \mathrm{n}$ বাস্তব সংখ্যা এবং $l \neq 0$

ক. $x^{2}+a x+1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব হলে $a$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $n x^{2}-2 m x+4 l=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়কে $\alpha$ ও $\beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গ. প্রমাণ কর যে,$(l \alpha+m)^{-2}+(l \beta+m)^{-2}=\frac{m^{2}-2 l n}{l^{2} n^{2}}$

দৃশ্যকল্প-১: $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}=0$একটি বহুপদী সমীকরণ।

দৃশ্যকল্প-২: $\left(p^{2}-l^{2}\right) x^{2}-2 p q x+\left(q^{2}-m^{2}\right)$

ক. বাস্তব সহগ বিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল $2+i \sqrt{3}$

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল অপর একটি দ্বিঘাত]

সমীকরণের মূলদ্বয় হলে, সমীকরণটি নির্ণয় কর ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে দেখাও যে, $\mathrm{q}^{2} l^{2}+\mathrm{p}^{2} \mathrm{~m}^{2}=l^{2} \mathrm{~m}^{2}$

দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ—

$x^{2}+(2+i) x-2(1+7 i)=0.......(i)$

$a(b-c) x^{2}+b(c-a) x+c(a-b)=0 \ldots....(ii)$

ক. $a x^{2}+b x+c=0$ সমীকরণের মূল দুইটি পরস্পর সমান ও

বিপরীত চিহ্নযুক্ত হওয়ার শর্ত নির্ণয় কর।

খ. (i) নং সমীকরণের মূল দুইটি নির্ণয় কর।

গ. (ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে দেখাও যে,$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

$x^{2}+b x+a c=0 \ldots \ldots(i)$

এবং $x^{2}+c x+a b=0 \ldots \ldots \ldots$(ii)

সমীকরণ দুইটির একটি সাধারণ মূল বিদ্যমান ।

ক. (i) নং সমীকণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে প্রমাণ কর যে, $\alpha+\beta=-b$

খ. দেখাও যে, $a+b+{c}=0$

গ. সাধারণ মূলটি $a$ হলে দেখাও যে, অপর মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত সমীকরণটি

$x^{2}+a x+b c=0$

$m x^{2}+n x+l=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$

ক. $(\alpha-\beta)$ নির্ণয় কর ৷

খ. $(m \alpha+n)^{-3}+(m \beta+n)^{-3}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\frac{1}{\alpha^{3}}$ এবং $\frac{1}{\beta^{3}}$ মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত সমীকরণটি নির্ণয় কর ।

$a x^{2}+b x+b=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যেখানে $a$ ও $b$ ধ্রুবক।

ক. $32 x^{3}-48 x^{2}+22 x-3=0$ সমীকরণের মূল তিনটি সমান্তর প্রগমনভুক্ত হলে

যে কোন একটি মূল নির্ণয় কর।

খ. সমীকরণটির মূলদ্বয়ের অনুপাত $4 : 5$ হলে $a$ ও $b$ এর মধ্যে একটি সম্পর্ক নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=0$ যখন মূলদ্বয়ের অনুপাত $p:q$

$p=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ ও $q=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})$ দুইটি জটিল সংখ্যা।

ক. $p-q$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $p^{4}+p^{2} q^{2}+q^{4}=0$

গ. $(p+1)(q+1) x^{3}-3(p+q) x^{2}+3 x+1=0$ সমীকরণের

সমাধান বের কর।

$9 x^{2}+2 x-\frac{(m+2)}{3}=0 \ldots \ldots \text { (i) }$

এবং $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{kx}+l=0 \ldots \ldots \text { (i) }$ দুটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।

ক. $p$ এর মান কত হলে $p x^{2}+2 x+3=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে।

খ. (i) নং সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গ হলে $m$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. (ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\frac{1}{\alpha-1}$ এবং $\frac{1}{\beta-1}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর ।

$\begin{array}{c}\mathrm{px}^{2}+2 \mathrm{x}+1=0 \ldots \ldots \ldots \text { (i) } \\\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+\mathrm{p}=0 \ldots \ldots \ldots \text { (ii) } \\3 \mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{x}^{2}+1=0 \ldots \ldots \text { (iii) }\end{array}$

ক. $x^{2}+3 x+4=0$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. (i) ও (ii) নং সমীকরণের একটি মূল সাধারণ হলে, সাধারণ মূলটি নির্ণয় কর।

গ. (iii) নং সমীকরণের মূল তিনটি $a, b, c$ হলে $\sum \mathrm{a}^{2} \mathrm{b}$ এর মান নির্ণয় কর।

$a x^{2}+b x+c=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যেখানে $a, b, c$

বাস্তব ও মূলদ এবং $a \neq 0$

ক. সমীকরণের মূলদ্বয়: $\alpha, \beta$ হলে, $\frac{a \alpha^{2}}{b \alpha+c}-\frac{a \beta^{2}}{b \beta+c}$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $a+b+c=0$ হলে দেখাও যে, সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ হবে।

গ. $b^{3}+a^{2} c+a c^{2}=3 a b c$ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয়ের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।

$x^{3}-\frac{21}{4} x^{2}+\frac{63}{8} x-\frac{27}{8}=0$

এবং $x^{3}+3 p x^{2}+x+1=0$ দুইটি সমীকরণ

ক. $\mathrm k$ এর মান কত হলে $(k+1) x^{2}-2(k+3) x+(2 k+3)$

রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হইবে।

খ. ১ম সমীকরণের মূল তিনটি গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত হলে দেখাও যে,

মূল তিনটি $\frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 3$

গ. ২য় সমীকরণের মূল তিনটি সমান্তর প্রগমনভুক্ত হলে $p$ এর বাস্তব মান বের কর।

$f(x)=x^{3}-a x^{2}+b x+c$ এবং $g(x)=x^{3}+3 x+1$ দুইটি ফাংশন

ক. $x^{2}+p x+q=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\alpha+\beta$ এবং $\frac{\alpha \beta}{2}$ এই মূলবিশিষ্ট

সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $f(x) = 0$ সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হলে দেখাও যে $\sum \alpha^{3}$ এর মান $a^{3}-3 a b-3 c$

গ. $g(x)=0$ সমীকরণের মূল তিনটি $\alpha, \beta, \gamma$ হলে $\frac{1-\alpha}{\alpha}, \frac{1-\beta}{\beta}$ এর $\frac{1-\gamma}{\gamma}$ মূল বিশিষ্ট

সমীকরণ বের কর ।

$x^{2}+p x+6=0$ এবং $x^{2}+2 x-3=0$

ক. দ্বিঘাত সমীকরণটি গঠন কর যার একটি মূল $(1-\sqrt{3})$

খ. প্রথম সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল সংখ্যা হলে, $p$ এর ব্যবধি নির্ণয় কর ।

গ. সমীকরণদ্বয়ের একটি মূল সাধারণ থাকলে, $p$ এর মান $(p > 1)$ নির্ণয়

করে সাধারণ মূলটি নির্ণয় কর।

$f(x)=x^{4}-3 x^{3}-11 x^{2}+23 x-10$

$g(x)=x^{3}-3 x^{2}-8 x+30$

ক. $f(x)$ কে $(x + 3)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?

খ. $g(x) = 0$ এর একটি মূল $3 + \mathrm i$ হলে; অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।

গ. $f(x) = 0$ সমীকরণের একটি মূল $1$ এবং অপর মূলগুলি

$\alpha, \beta, \gamma$ হলে, $\Sigma \alpha^{3}$ নির্ণয় কর।

$f(x)=9-5 x-x^{2}$

ক. বহুপদী বলতে কী বোঝায়? উদাহরণসহ ব্যাখ্যা কর ।

খ. x বাস্তব হলে, $f(x)$ এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

গ. $f(x) = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\beta, \gamma$ হলে, $\frac{3}{\beta^{2}}$ এবং $\frac{3}{\gamma^{2}}$ মূলদ্বয় দ্বারা

গঠিত সমীকরণ নির্ণয় কর।

$f(x)=(k+1) x^{2}+2(k+3) x+2 k+3$

$g(x)=x^{2}-5 x+6$

ক. $m$ এর মান কত হলে, $x^{2}-(m+7) x+25=0$ সমীকরণের

মূলদ্বয়ের সমষ্টি এদের গুণফলের সমান হবে?

খ. $\mathrm k$ এর মান কত হলে, $f(x)$ পূর্ণবর্গ হবে?

গ. $f(x) = 0$ এবং $g(x) = 0$ এর কেবল একটি মূল সাধারণ থাকলে $\mathrm k$ এর

মান নির্ণয় কর।

$f(x)=\frac{2 x^{2}+4 x+1}{x^{2}+4 x+2}$ যখন $x \in \mathbb{R}$

$g(x)=x^{3}-5 x^{2}+17 x-22$

ক. x এর মান নির্ণয় কর যার জন্য $f(x)$ অসংজ্ঞায়িত।

খ. $g(x) = 0$ এর একটি মূল $2$ হলে, অপর মূল দুইটি নির্ণয় কর ।

গ. দেখাও যে, $f(x)$ এর মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা ।

$f(x)=6 x^{3}+a x^{2}+b x^{3}-5$ যেখানে $a$ ও $b$ ধ্রুব সংখ্যা। $f(x)$ কে $(x + 1)$ দ্বারা ভাগ

করলে ভাগশেষ শূন্য এবং $(2x – 1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ – $15.$

ক. $f(x)$ কে $(x – 1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

খ. $a$ এবং $b$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $a$ এবং $b$ এর মান [খ থেকে প্রাপ্ত] বসিয়ে $f(x) = 0$ এর মূলগুলি নির্ণয় কর ৷

$4 x^{2}-10 x+9=0$ এর মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

ক. $h x^{2}+k x+1$ রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে, $h$ এর মান $\mathrm k$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

খ. $\frac{1}{\alpha ^{3}}+\frac{1}{\beta^{3}}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ, দেখাও যে, উদ্দীপকে প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল সংখ্যা মূল দুইটি নির্ণয় কর।