Questions in this chapter

দৃশ্যকল্প-১ঃ $8 x^{2}-52 x^{2}+78 x^{2}-27=0$ একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।

দৃশ্যকল্প-২ঃ $x^{3}-9 x^{2}+14 x+24=0$ একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।

ক. $x^{3}-a x^{2}+b x-c = 0$ সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha, \beta$ ও $\gamma$ হলে নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর ত্রিঘাত সমীকরণটির মূলত্রয় গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত হলে সমীকরণটি সমাধান কর ।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর দুইটি মূলের অনুপাত $3 : 2$ হলে সমীকরণটি সমাধান কর।

$f(x)=x^{2}-5 x+4 ; \quad g(x)=p x^{2}+q x+r, p \neq 0$

ক. উৎপাদকের সাহায্যে $x^{2}+i 2 \sqrt{2} x+16=0$ সমীকরণের সমাধান নির্ণয় কর ৷

খ. $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $a, b$ হলে $a^{2}+b^{2}$ ও $a^{3}+b^{3}$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় কর।

গ. $g(x)=0$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ণয় করে পৃথায়ক ব্যাখ্যা কর ।

$\begin{array}{l}\varphi(x)=x^{3}-9 x^{2}+21 x-5 \\\psi(x)=x^{3}-3 x^{2}+5 x-8\end{array}$

ক. একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল $2-3 i$

খ. $\varphi(x)=0$ সমীকরণের একটি মূল 5 হলে অপর মূলদ্বয় নির্ণয় কর।

গ. $\psi(x)=0$ সমীকরণের মূলত্রয় $a, b, c$ হলে $\Sigma a^{3} b$ এর মান নির্ণয় কর ।

$f(x)=a x^{2}+b x+c$

উদ্দীপকের আলোকে নিচের (খ) ও (গ) প্রশ্নের উত্তর দাও ।

ক. দেখাও যে, $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{p}$ না হলে $2 x^{2}-2(b+p) x+b^{2}+p^{2}=0$ সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না ।

খ. $b=c$ এবং $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত $p : q$ হয়, তবে দেখাও যে, $\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{g}{p}}+\sqrt{\frac{c}{a}}=0$

গ. $f_{}(x)=0$ সমীকরণের মূল দুটি $\alpha, \beta$ হলে $\alpha+\frac{1}{\beta}$ ও $\beta+\frac{1}{\alpha}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

$a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0$ একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।

ক. $p$ এর মান কত হলে $p x^{2}+4 x+3$ রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে ?

খ. যদি $a=3, b=-2, c=0, d=1$ হয় এবং সমীকরণটির মূলত্রয় $\alpha_{}\beta, \gamma$ হয় তবে $\Sigma \alpha^{2} \beta$ বের কর ।

গ. যদি $a=1, b=-9, c=23, d=-15$ হয় এবং সমীকরণটির একটি মূল $3$ হয়, তবে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $f(x)=x^{4}-3 x^{3}-11 x^{2}+23 x-10$

দৃশ্যকল্প-২ : $g(x)=x^{3} - 3 x^{2}-8 x+30$

ক. $x^{2}+5 x+3=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে, $\frac{1}{\beta}-\frac{1}{\alpha}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে $g(x)=0$ সমীকরণের একটি মূল $3 + i$ হলে, অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে $f(x)=0$ সমীকরণের একটি মূল $1$ এবং অপর মূলগুলি $\alpha, \beta, \gamma$ হলে $\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}$ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $f(x)=a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ একটি দ্বিঘাত ফাংশন।

ক. $a=1, b=-2, c=1$ হলে, $f(x)=0$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর ৷

খ. দৃশ্যকল্পের আলোকে $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে, $c x^{2}-\left(\frac{b^{2}}{a}-2 c\right) x+c=0$

সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

গ. দৃশ্যকল্পে $a=1, b=-2 n, c=n^{2}-m^{2}$ হলে এমন একটি সমীকরণ গঠন কর যার মূলদ্বয়,

$f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল ও অন্তরফলের যোগবোধক মান হবে।

$p x^{2}+q x+1=0\ldots \ldots\text { ... (i) }$

এবং $x^{3}-11 x^{2}+47 x-85=0\ldots \ldots\text { ... (ii) }$

ক. $m$-এর মান কত হলে $(m-1) x^{2}-(m+2) x+4=0$ সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?

খ. (i) নং সমীকরণের মূল দুইটি $\boldsymbol{\alpha}$ ও $\boldsymbol{\beta}$ হলে দেখাও যে,$(p \alpha+q)^{-3} +({p} \beta+q)^{-3}=\frac{q\left({q}^{2}-3 p\right)}{p^{3}}$

গ. (ii) নং সমীকরণের মূলগুলি $5, \alpha, \beta$ হলে, $\alpha+\frac{1}{\beta}$ এবং এবং $\beta+\frac{1}{\alpha}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।

$\begin{array}{l}f(x)=a x^{2}+b x+c \\g(x)=p x^{2}+q x+r\end{array}$

ক. $x-\frac{1}{x}=k$ সমীকরণটির একটি মূল $\sqrt{5}-2$ হলে, $k$-এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে,$a^{2} x^{2}-\left(b^{2}-2 a c\right) x$ সমীকরণের মূলদ্বয়কে $\alpha$ ও $\boldsymbol{\beta}$ -এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গ. যদি $f(x)=0$ সমীকরণের মূল দুইটির অনুপাত $g(x)=0$ সমীকরণের

মূল দুইটির অনুপাতের সমান হয়, তাহলে দেখাও যে,$b: q=\sqrt{6}: \sqrt{35}$ যখন $a=2, c=3, p=5, r=7$

$\mathrm{F}(\mathrm{x})=27\mathrm{x}^2+6\mathrm{x}-(\mathrm{m}+2),\mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{rx}^2-2\mathrm{nx}+4\mathrm{m}$

এবং $Q(x)=m x^{2}+n x+r.$

ক. $(2+2 \sqrt{3} i)$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $F(x)=0$ সমীকরণটির একটি মূল অপর মূলটির বর্গের সমান হলে,

$m$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $P(x)=0$ এবং $Q(x)=0$ সমীকরণ দুইটির একটি সাধারণ মূল থাকলে, প্রমান কর যে,

$(2 m-r)^{2}+2 n^{2}=0$ অথবা $2 m+r=0.$

$f(\mathrm{x})=\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r}$ এবং $g(x)=r x^{2}+q x+p$

ক. $m$ এর মান কত হলে, $(m-1) x^{2}-(m+2) x+4=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে?

খ. উদ্দীপক থেকে $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে, $r x^{2}+4 q x+16 p=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়কে $\alpha$ ও $\beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গ. উদ্দীপকের $f(x)=0$ এবং $g(x)=0$ সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে $p, q$ এবং $r$ এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন কর।

$x^{2}+p x+q=0, p, q \neq 0$ এর মূলদ্বয় ${u}$ এবং $\text {v;}$

$2 x^{3}-9 x^{2}+14 x-5=0$ এর একটি মূল $2-\mathrm{i};$

ক. $x^{2}-2 m x+8 m-15=0$ এর মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে $m$ এর মান কত?

খ. দেখাও যে,$q x^{2}+p x+1=0$ এর মূলদ্বয় $\frac{1}{\mathrm{u}}$ ও $\frac{1}{v}$।

গ. উদ্দীপকের ২য় সমীকরণের বাস্তব মূল এবং $\frac{1}{4}$ মূলবিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $g(x)=\frac{1}{1-9 x+20 x^{2}}$

দৃশ্যকল্প-২ : $m x^{2}+n x+s=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

ক. $-4-4 i$ জটিল সংখ্যাটির আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ এর

বিস্তৃতির $x^{n}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে $m=9, n=2, s=-\frac{1}{3}(p+2)$ হলে প্রাপ্ত

সমীকরণের একটি মূল যদি অপরটির বর্গের সমান হয় তবে $p$ এর মান নির্ণয় কর।

$\varphi(x)=l x^{2}+m x+n.$

ক. $x^{3}+x^{2}+4 x+4=0$ সমীকরণের একটি মূল $2i$ হলে সমীকরণটি সমাধান কর।

খ. $\varphi(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $a,b$ হলে, $n l\left(x^{2}+1\right)+\left(2 n l-m^{2}\right) x=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়কে $a,b$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গ. $l=42, \mathrm{~m}=-13, \mathrm{n}=1$ হলে,$\{\varphi(\mathbf{x})\}^{-1}$

এর বিস্তৃতিতে $\mathrm{x}^{99}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

$P(x)=m x^{3}+n x^{2}+q x+r.$

ক. $m=0$ এবং $n=q=r=1$ হলে, $P(x)=0$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{P}(\mathrm{x})=0$ সমীকরণের মূলগুলো $\alpha, \beta, \gamma$ হলে, $\Sigma \alpha^{3}$ নির্ণয় কর।

গ. এমন একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় যথাক্রমে $P(x)=0$ সমীকরণের মূল দুইটির সমষ্টি ও অন্তরফলের পরমমান হবে, যেখানে,$\mathrm{m}=0, \mathrm{n}=2, \mathrm{q}=1, \mathrm{r}=-1$.

দৃশ্যকল্প-১ : $x^{2}+(-1)^{n} p x+q=0$

দৃশ্যকল্প-২ : $(1+a x)^{b}$

ক. $\left(2-\frac{3}{x}\right)^{12}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ বের কর।

খ. $a=-12$ এবং $b=-\frac{1}{2}$ হলে দৃশ্যকল্প-২ থেকে দেখাও যে,

বিস্তৃতির $\mathrm{x}^{\mathrm{r}}$ এর সহগ $=\frac{(2r)!\cdot3^r}{(r!)^2}.$

গ. দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য $1$ হলে প্রমান কর যে,$\left(p^{2}+4 q^{2}\right)=\left(1+2 q^{2}\right)^{2}$,যেখানে $\mathrm{n}=2$

$f(x)=ax^2+bx+c$ এবং $g(x)=c x^{2}+b x+a$ হয় তবে-

ক. $f(x)=0$ এর মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় যথাক্রমে $\alpha, \beta$ হলে দেখাও যে,

$(a \alpha+b)^{-3}+(\alpha \beta+b)^{-3}=\frac{b^{3}-3 a b c}{a^{3} c^{3}}$

গ. $f(x)=0$ এর একটি মূল $g(x)=0$ সমীকরণের একটি মূলের দ্বিগুন হলে,দেখাও যে, $2 a=c$ অথবা $(2 a+c)^{2}=2 b^{2}.$

দৃশ্যকল্প-১ : $z=2+4i-i^2.$

দৃশ্যকল্প-২: $p x^{2}+q x+r=0.$

ক. এককের জটিল ঘনমূল $\omega, \omega^{2}$ হলে $(-1+\sqrt{-3})^{7}+(-1-\sqrt{-3})^{7}.$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প ১ এ $\bar{z}$ এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা $\sqrt{5}$ সঠিক কিনা যাচাই কর। যেখানে $\bar{z}$ হচ্ছে $z$ এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।

গ. দৃশ্যকল্প ২ এ উল্লেখিত সমীকরণের মূলদ্বয় $\bar{z}$ হলে $\frac{2}{\alpha},\frac{2}{\beta}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

$x^{2}+b x+c=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ; \beta-$

ক. উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?

খ. $c\left(x^{2}+1\right)-\left(b^{2}=2 c\right) x=0$ এর মূল দুইটি $\alpha, \beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গ. এরূপ একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় $\alpha+\frac{1}{\beta}$ ও $\beta+\frac{1}{\alpha}$.

$m x^{2}+n x+1=0, \ \ l x^{2}+n x+m=0.$

ক. উদ্দীপকের সাহায্যে $2 x^{2}+5 x-9=0$ সমীকরণটি সমাধান কর।

খ. উদ্দীপকের উল্লিখিত সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, $\mathrm{m}+1=\pm \mathrm{n}.$

গ. উদ্দীপকের ১ম সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\operatorname{ml}\left(\mathrm{x}^{2}+1\right)-\left(n^{2}-2 m l\right) x=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।