Questions in this chapter

$f(x)=\frac{x}{(1-a x)(1-b x)} \ldots \ldots \ldots \text { (i) }$

$y=2 x+3 x^{2}+4 x^{3}+\ldots \ldots \ldots \text { (ii) }$

ক. $\left(2 \mathrm{x}-\frac{1}{4 \mathrm{x}^{2}}\right)^{12}$ এর বিস্তৃতিতে ধ্রুব পদটি নির্ণয় কর।

খ. (i) এ $a=3, b = 4$ হলে, $f(x)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

গ. (ii) অবলম্বনে প্রমাণ কর যে, $x=\frac{1}{2} y-\frac{3}{8} y^{2}+\frac{5}{16} y^{3}-\ldots .$

$\phi(x)=(1-4 x)^{-\frac{1}{2}}, \psi(x)=\left(1-5 x+6 x^{2}\right)^{-1}$

ক. $(1-x)^{-3}$ এর বিস্তৃতির $(\mathrm{r}+1)$ তম পদটি সরলতম আকারে লিখ ।

খ. দেখাও যে, $\psi(x)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ $3^{n+1}-2^{n+1}$

গ. প্রমাণ কর যে, $\phi(\mathrm{x})$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ $=\frac{(2 r) !}{(r !)^{2}}$ যখন, $|4 x|<1$

$g(x)=(1+x)$

ক. (1 + ax)' এর বিস্তৃতিতে $x^{3}$ এবং $x^{4}$ এর সহগ পরস্পর সমান হলে $\mathrm a$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^{-2}$ এর বিস্তৃতির সাধারণ পদটি নির্ণয় করে তা থেকে, প্রথম চারটি পদ লিখ ।

গ. দেখাও যে, $\{g(x)\}^{2 n}$ এর বিস্তৃতির মধ্যপদটি

$\frac{1,3,5 \ldots(2 n-1)}{n !}(2 x)^{n}$ যখন $\mathrm{n} \in \mathrm{N}$

$(1++x)^{\frac{1}{2}}$ যখন $|x|<1$ একটি দ্বিপদী রাশি।

ক. দেখাও যে, $\left(x+\frac{2}{x}\right)^{8}$ এর বিস্তৃতির মধ্যপ্রদের মান $1120$

খ. উদ্দীপকে উল্লেখিত বিস্তৃতির প্রথম চারটি পদ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, উদ্দীপকের দ্বিপদী ধারাটি অভিসৃত।

$\text { (i) }\left(2 x+\frac{1}{6 x}\right)^{6}$ এবং $\text { (ii) }\left(x+\frac{1}{3 x}\right)^{2 n}$

ক. (i) এর বিস্তৃতিতে $x^{6}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{n} \in \mathbb{N}$ এর জন্য বিস্তৃতি দুইটির মধ্যপদ সমান হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $\mathrm{n}=\frac{1}{4}$ হলে, (ii) এর বিস্তৃতির প্রথম তিনটি পদের সহগের গড় নির্ণয় কর ৷

$P(x)=1-5 x+6 x^{2}$

ক. $\left(1+2 x+3 x^{2}+4 x^{3}+\ldots . . \infty\right)^{\frac{1}{2}}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ নির্ণয় কর ।

খ. $\frac{1}{\mathrm{P}(\mathrm{x})}$ এর বিস্তৃতিতে $\mathrm {x}^{\mathrm{r}}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

গ. x এর শক্তির উর্ধক্রম অনুসারে $\{2-\mathrm{P}(\mathrm{x})\}^{\frac{1}{2}}$ এর বিস্তৃতিতে প্রথম তিনটি পদ নির্ণয় কর ।

$P=\left(1-\frac{x}{6}\right)^{\frac{1}{2}}, Q=\left(\frac{4+x}{4-x}\right)^{\frac{1}{3}}$

ক. $\left(x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}\right)^{n}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর।

খ. $x<6$ হলে, $P$ কে $x$ এর উর্ধক্রমিক ধারায় পঞ্চম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত করে দেখাও যে,

$1-\frac{1}{6}-\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{12}-\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{3}{18}-\cdots=\sqrt{\frac{2}{3}}$

গ. x এর শক্তির উর্ধক্রম অনুসারে $\mathrm Q$ এর বিস্তৃতিতে $x^{2}$ সম্বলিত 'পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর ৷

$P=\sqrt{x}-\frac{\sqrt{m}}{x^{2}}, Q=8-3 {x}$

ক. $\left(1+x^{2}\right)^{-3}$ এর বিস্তৃতিতে কোন পদটিতে $x^{4 r}$ বিদ্যমান তা নির্ণয় কর।

খ. $P^{10}$ এর বিস্তৃতিতে x বর্জিত পদের মান $405$ হলে, $m$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. x-এর ঘাতের ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে $\frac{1}{\sqrt{\mathrm{Q}}}$ এর বিস্তৃতি বৈধ হওয়ার শর্ত উল্লেখ

করে চতুর্ঘাত পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

$f(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots \ldots \ldots \infty$

$g(x)^{}=x^{}+3$

ক. $\left(3 x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{10}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর।

খ. $\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^{15}$ এর বিস্তৃতিতে $\mathrm {x}^{\mathrm{r}}$ এবং $\mathrm {x}^{\mathrm{r}+1}$ এর সহগ দুইটি সমান হলে, $r$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\frac{1}{\{f(\mathbf{x})\}^{15}}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{5}$ এবং $x^{15}$ এর সহগ দুইটির অনুপাত নির্ণয় কর।

$\mathrm{P}=1-\mathrm{x}+\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}^{3}+\ldots \ldots \ldots \infty, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}$

ক. $\mathrm{n} \in \mathbb{N}$ এর জন্য $\left(\mathrm{x}+2+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{n}$ বিস্তৃতিতে ধ্রুব পদটি কততম ?

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{P}^{3}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{\mathrm{r}}$ এর সহগ

$(-1)^{\mathrm{r}} \frac{(\mathrm{r}+1)(\mathrm{r}+2)}{2}$

গ. $\left\{f\left(\mathrm{x}^{2}+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}}\right)\right\}^{\mathrm{n}}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{\mathrm{r}}$ এর পদ থাকার শর্ত উল্লেখ করে

পদটির সহগ নির্ণয় কর।

$y=\sum_{t=1}^{\infty}(t+1) x^{t}$ এবং $f(x)=x^{n},$ যেখানে $n$ যোগবোধক পূর্ণসংখ্যা ।

ক. $\left(1+x+x^{3}\right)^{9}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{5}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

খ. $f\left(4+\frac{t}{3}\right)$ এর বিস্তৃতিতে $\mathrm{t}^{7}{ }^{}$ ও $\mathrm{t}^{8}{ }^{}$ এর সহগ সমান হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $x=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{(2 n) !}{2^{2 n}(n !)^{2}} y^{n}$

$P=\left(1+4 x+16 x^{2}+64 x^{3}+\ldots \ldots \infty\right)^{1 / 2}, Q(x)=(1+x)^{1 / 2}$

ক. $(1+x)^{20}$ এর বিস্তৃতিতে $(2 r+1)$ তম এবং $(r + 3)$ তম পদের সহগ

সমান হলে, $r$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে,$p$ এর বিস্তৃতিতে $x^r$ এর সহগ $\frac{(2 r) !}{(r !)^{2}}$

গ. $Q\left(-\frac{x}{8}\right)$ কে 5 ম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত করে দেখাও যে,

$1-\frac{1}{8}-\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{16}-\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{3}{24}-\ldots \ldots=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$P=\left(1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \infty\right)^{n}$

$\mathrm{Q}=\left(1-2 \mathrm{x}+3 \mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}^{3}+\ldots \ldots \ldots \infty\right)^{\mathrm{m}}$

ক. $(1-2 x)^{\frac{3}{5}}$ এর চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

খ. $\left|\mathrm{P}^{-1}\right|>10$ হলে প্রমাণ কর যে, $\left|x^{2}-1\right|<\frac{21}{100}$

যখন $n=-1$

গ. $l$ এর মান কত হলে,$\mathrm{Q}^{l}$ এর বিস্তৃতিতে $x, x^{2}$ এবং $x^{3}$ এর

সহগগুলি একটি সমান্তর প্রগমন ভুক্ত হবে যখন $m=-\frac{1}{2} ?$

$f(x)=1-9 x+20 x^{2}$

ক. $\left(x^{3}-\frac{1}{x^{4}}\right)^{15}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{-18}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

খ. $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে, একটি দ্বিঘাত

সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূল দুইটি $(\alpha+\beta)^{2}$ ও $(\alpha-\beta)^{2}$

গ. $\frac{x}{f(x)}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

$f(x)=1+3 x, g(x)=1-2 x$

ক. $|f(\mathrm {x})| \leq \frac{1}{2}$ এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।

খ. $\{f(x)\}^{\frac{1}{2}}\{g(x)\}^{-\frac{1}{3}}$ কে x এর ঊর্ধ্বক্রমিক ধারায় তৃতীয় পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর।

গ. সংখ্যারেখার সাহায্যে $|f(\mathrm{x})| \leq|\mathrm{g}(\mathrm{x})|$ অসমতার সমাধান নির্ণয় কর।

$f(x)=1+x, g(x)=1-x$

ক. $n$ বিজোড় পূর্ণ সংখ্যা হলে $\left(x^{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{n}$ বিস্তৃতির মধ্যপদ দুইটির অনুপাত নির্ণয় কর।

খ. $\left\{g(i)+\frac{1}{f(i)}\right\}$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

গ. $\{\mathrm{f}(\mathrm{x})\}^{\mathrm{n}}$ বিস্তৃতিতে $x^{r-1} ; x^{r}$ ও $x^{r+1}$ এর সহগগুলি সমান্তরাল শ্রেণিভুক্ত হলে -

প্রমাণ কর যে, $n^{2}-n(4 r+1)+4 r^{2}-2=0$

$P=1+3 x, Q=1-2 x$

ক. $(2 x+1) /\left(1+x^{2}\right)$ বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

খ. $|\mathrm{P}|<3$ এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ।

গ. দেখাও যে, $Q^{-\frac{1}{2}}$ বিস্তৃতিতে $(r + 1 )$ তম পদের সহগ $\frac{(2 r) !}{(r !)^{2} 2^{r}}$

$f(x)=1+x$

ক. দেখাও যে, $\frac{f(x)}{\left\{2^{\prime}-f(x)\right\}^{2}}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ $2 r+1$

খ. $|f(x-2)|<\frac{1}{9}$ হলে প্রমাণ কর যে, $|f(x) f(x-2)|<\frac{19}{81}$

গ. $\{\mathrm{f}(\mathrm{x})\}^{24}$ এর বিস্তৃতিতে দুইটি ক্রমিক পদ নির্ণয় কর যাদের সহগের অনুপাত $4 : 1$ হবে ।

অভিষ্ট ফাংশন, $z=2 x-y$; সীমাবদ্ধতা : $x+y \leq 5,x+2 y \geq 8, x, y \geq 0$

ক. $x = i$ এবং $y=2 \sqrt{3}$ হলে $\mathrm z$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. $y=\frac{1}{3 x^{2}}$ হলে, $\mathrm z^{12}$ এর বিস্তৃতিতে x বর্জিত পদের মান নির্ণয় কর।

গ. প্রদত্ত সীমাবদ্ধতার আলোকে অভিষ্ট ফাংশন $\mathrm z$ এর মান নির্ণয় কর।

$f(x)=5 x^{2}+6 x-1$

ক. যদি $(1+x)^{20}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ $x^{r-1}$ এর সহগের দ্বিগুণ হয়,

তাহলে, $r$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(x)+2<0$ অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর ।

গ. $g(x)=5 x^{2}-f(x)$ হলে দেখাও যে,$\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^{-\frac{1}{2}}$ এর বিস্তৃতিতে $(r + 1)$

তম পদের সহগ $\frac{(2 r) !}{(r !)^{2}}\left(\frac{3}{2^{}}\right)^{r}$