Questions in this chapter

$f(x)=1+x$

ক. $\left(x^{3}-\frac{1}{x^{4}}\right)^{15}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{-18}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

খ. $f(x) \times \sqrt{\frac{f(x)}{f(-x)}}$ এর $x^{3}$ যুক্ত পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

গ. সংখ্যারেখার সাহায্যে সমাধান কর : $|f(\mathrm{x})| \leq|f(-\mathrm{x})|$

$P=1-3 x, Q=1+2 x$

ক. যদি $(1+x)^{20}$ এর বিস্তৃতিতে $\text { r }$ তম পদের সহগ $(r + 4)$ তম পদের সহগের সমান হয়,

তাহলে $r$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $|\mathrm{P}|>3$ এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ।

গ. x এর শক্তির ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে $P^{\frac{1}{2}} Q^{-\frac{1}{3}}$ এর বিস্তৃতিতে প্রথম তিনটি পদ নির্ণয় কর।

$z=2 x+y$ সীমাবদ্ধতা : $x+y \leq 5, x+2 y \geq 8$ $,y \leq 2 x, x \geq 0, y \geq 0$

ক. $\frac{(1+x)^{2}}{(1-x)^{3}}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

খ. $y=\frac{1}{6 x}$ হলে $z^{10}$ এর বিস্তৃতিতে x মুক্ত পদ নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামকে লেখচিত্রের সাহায্যে

সমাধান করে সর্বনিম্নকরণ কর।

দৃশ্যকল্প-১: $P=\left\{x^{2}-2\left(\omega+\omega^{2}\right)+\frac{1}{x^{2}}\right\}^{6}$

দৃশ্যকল্প-২: $x^{2}+(5-2 i) x+2(7-i)=0$

ক. $(1-2 x)^{\frac{3}{5}}$ এর চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় কর ।

খ. $P$ বিস্তৃতিতে ধ্রুবপদের মান নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণের মূলদ্বয় নির্ণয় কর ।

$f(x)=3-4 x+x^{2}$

ক. $f(x) = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. $f(x) = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে, $(\alpha+\beta)^{2}$ ও $(\alpha-\beta)^{2}$

মূল বিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $\frac{1}{f(x)}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

$f(x)=x^{2}+2 x+2$

ক. $f(x)=0$ হলে, দেখাও যে, $x=-1 \pm \sqrt{-1}$

খ. $f(x) < 10$ অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

গ. $\mathrm{n} \in \mathbb{N}$ এর জন্য প্রমাণ কর যে, $\{f(\mathrm{x})\}^{\mathrm{n}}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{3}$ এর সহগ $\frac{2^{n-1}}{3} n\left(n^{2}-1\right)$

$f(x)=1+x, g(x)=1-x$

ক. $(1+x)^{20}$ এর বিস্তৃতিতে $(2 r+1)$ তম এবং $(r + 3)$ তম পদের সহগ সমান হলে,

$r$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $f(x) \times \sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}$ এর $x^{4}$ যুক্ত পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি

$1+2 x+\frac{3}{2} x^{2}+x^{3}+\frac{7}{8} x^{4}+\ldots \ldots$

গ. সংখ্যারেখার সাহায্যে সমাধান কর : $|f(x)| \leq g(x) \mid$

$P=1+3 x$

ক. বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb{R}$ এর উপসেট

$S=\left\{x: 5 x^{2}-16 x+3<0\right\}$ এর ক্ষুদ্রতম ঊর্ধ্বসীমা $\text { (SupS) }$ নির্ণয় কর।

খ. $\frac{1}{|\mathrm{P}|} \geq 5$ অসমতাটির সমাধান নির্ণয় কর।

গ. x এর শক্তির উর্ধ্বক্রম অনুসারে $\frac{P}{\sqrt{1+2 x}}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{7}$ এর

সহগ নির্ণয় কর।

$f(x)=x-1$

ক. x এর মান কত হলে, $\frac{f(x+3)}{|f(x+2)|}$ এর মান বাস্তব হবে ?

খ. $2 \leq \frac{1}{|f(x)|}$ অসমতাটি পরমমান চিহ্ন ব্যতীত প্রকাশ কর ।

গ. $\{f(x+2)\}^{n}$ বিস্তৃতিতে তিনটি ক্রমিক পদের সহগের অনুপাত $1: 7: 42$ হলে,

$n$ এর মান নির্ণয় কর; যেখানে $\mathrm{n} \in \mathbb{N}$

$f(x)=1+q x+p x^{2}, g(x)=1+p x+q x^{2}$

ক. $\left(1-x+x^{2}\right)^{-1}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{13}$ এর সহগ নির্ণয় কর ।

খ. যে শর্ত সাপেক্ষে $f(x)$ এবং $g(x)$ রাশি দুইটির একটি সাধারণ উৎপাদক হতে পারে তা নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{q}=-1, \mathrm{p}=1$ হলে x এর শক্তির উর্ধ্বক্রম অনুসারে $\{f(x)\}^{\frac{1}{2}}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{3}$ যুক্ত পদ পর্যন্ত নির্ণয় কর ।

$f(x)=2 x^{3}+5 x^{2}+8 x+5, g({x})=1+x$

ক. দেখাও যে, $f(x)$ এর একটি উৎপাদক $g(x)$।

খ. $\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^{24}$ এর বিস্তৃতিতে দুইটি ক্রমিক পদ নির্ণয় কর যাদের সহগের অনুপাত $4 : 1$ হবে ।

গ. $\frac{f(x)}{g(x)}=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$ হলে, $\frac{1}{\alpha^{3}}$ এবং $\frac{1}{\beta^{3}}$ মূল দ্বারা গঠিত সমীকরণ নির্ণয় কর,

যেখানে $g(x) \neq 0$।

$f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}-7 x-1, g(x)=2 x+1$

ক. দেখাও যে, $f(x)$ এর একটি উৎপাদক $g(x)$।

খ. $g(x) /\left(1+x^{2}\right)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{\mathbf{r}}$ এর সহগ নির্ণয় কর ।

গ. $f(x) = 0$ সমীকরণের মূলগুলি $\alpha, \beta$ ও $\gamma$ হলে, $\Sigma \alpha^{3} \beta$ নিৰ্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $x^{4}-5 x^{3}+10 x^{2}-10 x+4=0$ সমীকরণের একটি মূল $1+\mathrm{i}$।

দৃশ্যকল্প-২: $(1+x)^{n}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r-1}, x^{r}$ এবং x এর $x^{r+1}$ সহগগুলি সমান্তর শ্রেণিভুক্ত ।

ক. $x^{3}-7 x^{2}+8 x+10=0$ সমীকরণের একটি মূল $1+\sqrt{3}$ হলে - অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লেখিত সমীকরণটি সমাধান কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

$n^{2}-n(4 r+1)+4 r^{2}-2=0$

$P=1+3 x, Q=1-2 x$

ক. $\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2 n}$ এর বিস্তৃতিতে কত তম পদ ধ্রুবপদ; যেখানে $\mathrm{n} \in \mathbb{N}$

খ. $|\mathrm{Q}|<3$ এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও ।

গ. x এর শক্তির উর্ধ্বক্রম অনুসারে $P^{\frac{1}{2}} Q^{-\frac{1}{3}}$ এর বিস্তৃতিতে প্রথম তিনটি পদ নির্ণয় কর।

$P=8-3 x$

ক. $\mathrm{p}^{\frac{3}{5}}$ এর ৩য় পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

খ. $x=\mathrm i$ হলে $\mathrm{P}^{2}+\mathrm{P} \overline{\mathrm{P}}+(\overline{\mathrm{P}})^{2}$ নির্ণয় কর।

গ. x এর যে মানের জন্য, x-এর ঘাতের উর্ধ্বক্রম অনুসারে $\frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}$ এর

বিস্তৃতি বৈধ তা নির্ধারণ করে ঐ বিস্তৃতিকে চতুর্ঘাত পর্যন্ত বিস্তৃত কর।

$P=\sqrt{x}-\frac{\sqrt{m}}{x^{2}}, Q=1+x^{2}$

ক. $\mathrm{Q}^{-3}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{4 r}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

খ. $p^{10}$ এর বিস্তৃতিতে x বর্জিত পদের মান $405$ হলে, $\mathrm m$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $Q=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের বর্গমূল চারটি দ্বারা সূচিত বিন্দু চারটির অবস্থান আর্গন্ড চিত্রে দেখাও।

দৃশ্যকল্প-১: $P=\left\{x^{\prime}-2\left(\omega+\omega^{2}\right)+\frac{1}{x}\right\}^{n}$ যেখানে $\mathrm{n} \in \mathbb{N}$

এবং $\boldsymbol{\omega}$ এককের কাল্পনিক ঘনমূল ।

দৃশ্যকল্প-২: $x^{2}+(5-2 i) x+2(7-\mathrm i)=0$

ক. $(1+x)^{10}$ এর বিস্তৃতিতে $(4 r+5)$ তম পদের সহগ $(2r + 1)$ তম পদের

সহগের সমান হলে, $r$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $\mathrm P$ বিস্তৃতিতে ধ্রুবপদের মান নির্ণয় কর ।

গ. দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণের মূলদ্বয় $-2-2 i,-3+4 \mathrm i$

$P=x^{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}$

ক. দেখাও যে, $\left(1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots \infty\right)^{2}$

$=1+2 x+3 x^{2}+\ldots \ldots+n x^{n-1}+\ldots \infty$

খ. $P^{n}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{\mathbf{r}}$ সম্বলিত পদ থাকার শর্ত উল্লেখ করে এর সহগ নির্ণয় কর।

গ. $x=3+4 \mathrm i$ হলে দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত $|\mathrm{P}|$ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $(x+3)^{15}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এবং $x^{r+1}$ এর সহগ দুটি সমান।

দৃশ্যকল্প-২: $a=p+q, b=p \omega+q \omega^{2}$

ক. $\left(1+x+x^{3}\right)^{9}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{5}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে r এর মান নির্ণয় কর।

গ. $p = q = 1$ হলে দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে $a x^{2}+3 x+5 b i=0$ এর মূলদ্বয় নির্ণয় কর।

$P=1-x, Q=1+x$

ক. $|x|>1$ হলে $\mathrm{P}^{-1}$ বিস্তৃত কর।

খ. $\left|\mathrm{P}^{-1}\right|>10$ হলে প্রমাণ কর যে,$|\mathrm{PQ}|<\frac{21}{100}$

গ. $n$ এর মান কত হলে, $Q^{n}$ এর বিস্তৃতিতে $x, x^{2}$ এবং $\mathrm{x}^{3}$ এর সহগগুলি একটি

সমান্তর প্রগমন ভুক্ত হবে?