Questions in this chapter

$A=a \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k},$$B=-2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ এবং $C=\hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$ তিনটি ভেক্টর।

ক. $|\mathbf{B}-\mathbf{C}|$ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm a$ এর কোন মানের জন্য $\mathrm {(B \times C)}$ ও $A$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?

গ. $\mathrm a=3$ হলে $A \times C$ বরাবর $B$ ভেক্টরের অংশক নির্ণয় কর।

$2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ এবং $\hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$ বিপরীত ক্রমে একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু নির্দেশ করে ।

ক. ১ম ভেক্টরের ওপর ২য় ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, বাহু তিনটি একই সমতলে অবস্থিত।

গ. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$\bar{a}=2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathrm{k}},$$\overline{\mathrm{b}}=\hat{\mathbf{i}}-2 \hat{\mathbf{j}},$$\overline{\mathrm{c}}=\hat{\mathbf{i}}+p \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overline{\mathrm{d}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{k}$

ক. $\mathrm{A}(2,-3,1)$ এবং $\mathrm B ( 1, 0, 4 )$ হলে $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ নির্ণয় কর।

খ. $\bar{b}$ ও $\bar{c}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $45°$ হলে $\mathrm p$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $\bar{a}$ এবং $\bar{d}$ যে সমতলে অবস্থিত তার উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

তিনটি ভেক্টর রাশি নিম্নরূপ :

$\mathbf{A}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}},$$\mathbf{B}=3 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $C=\hat{i}-3 \hat{j}+a \hat{k}$

ক. তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্ত কী?

খ. $\mathrm a$ এর মান কত হলে $(\mathbf{A} \times \mathbf{B})$$\cdot \mathbf{C}=0$ হবে ?

গ. প্রদত্ত ভেক্টরত্রয়ের সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

$P=3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ এবং $\mathrm {Q=-\hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}}$ দুইটি ভেক্টর ।

ক. প্রদত্ত ভেক্টর দুইটির লব্ধি ভেক্টর $\mathrm R$ হলে, $\mathrm R$এর মান নির্ণয় কর।

খ. লব্ধি $\mathrm R$ ভেক্টরটির সমান্তরাল একক ভেক্টর এবং $\mathrm R$ এর উপর $P$ এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm {P, Q, R}$ ভেক্টরত্রয় সমতলীয় ।

$\mathrm{\overrightarrow{\mathrm{A}}=2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}}$ এবং $\mathrm {\vec{B}=4 \hat{i}-5 \hat{j}+4 \hat{k}}$ দুইটি ভেক্টর ।

ক. $|\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}|$ এর মান কত?

খ. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ভেক্টরটি অক্ষত্রয়ের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর ।

গ. $(6, − 3, 2)$ বিন্দুগামী এবং $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ এর সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর ও কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।

$\overrightarrow{A B}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{A C}=2 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ ভেক্টর দুইটি এক বিন্দুতে ক্রিয়াশীল।

ক. $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$ নির্ণয় কর।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে $\sin \theta$ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, উদ্দীপকের ভেক্টর দুইটির লব্ধি এদের অন্তর্ভুক্ত কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

পাশের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং নিচের প্রশ্নগুলির উত্তর দাও

ক. দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন বিনিময় নিয়ম মানে উদাহরণসহ ব্যাখ্যা দাও।

খ. $\mathbf{R}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে,$\mathbf{P}, \mathbf{Q}, \mathbf{R}$ সমতলীয় ।

গ. উদ্দীপক অবলম্বনে $\alpha$ এর মান নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, $\theta=\frac{\alpha}{2}$

$\vec{A}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k},$$\vec{B}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ এবং $\vec{C}=5 \hat{i}-3$$\hat{j}+5 \hat{k}$ তিনটি ভেক্টর

ক. $|2 \overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}|$ নির্ণয় কর।

খ.. দেখাও যে, ভেক্টরত্রয় সমতলীয় এবং প্রদত্ত ভেক্টরত্রয়ের সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

গ. ভেক্টর পদ্ধতিতে $\mathrm{ABC}$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

দৃশ্যকল্প:

ক. $3 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\mu \hat{\mathrm{k}}$ ভেক্টরটির মান $7$ হলে $\mu$ এর মান কত?

খ. দৃশ্যকল্প থেকে $\sin \alpha$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\underline{b}$ ভেক্টরের উপর $\underline{a}$ ভেক্টরের অভিক্ষেপ এবং $\underline{a}$ এর দিক বরাবর $\underline{b}$ এর উপাংশ নির্ণয় কর ।

$\mathrm{ABCD}$ সামান্তরিকের $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ কর্ণ দুইটি যথাক্রমে $\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}$ ও $3 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}+6 \hat{\mathrm{k}}$

ক. $\mathrm{OAC}$ ত্রিভুজের $\mathrm{AC}$ বাহুর মধ্যবিন্দু $B$ যদি $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\underline{\mathrm{a}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\underline{\mathrm{b}}$ হয়,

তবে $\overrightarrow{O C}$ কে $\underline{\mathrm{a}}$ ও $\underline{\mathrm{b}}$ মাধ্যমে প্রকাশ কর।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ নির্ণয় কর।

গ. ভেক্টর পদ্ধতিতে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$(1,-2,3)$ বিন্দুতে কোনো একটি বস্তুকণার উপর $\mathbf{F}=2 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}-6 \hat{\mathrm{k}}$ বলটি প্রয়োগের ফলে বস্তুকণাটি $(3,5,-2)$ বিন্দুতে সরে গেল ।

ক. $\bar{A}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $B=2 \hat{i}+\hat{j}-k$ ভেক্টর দুটি লম্ব কিনা যাচাই কর ।

খ. প্রদত্ত বলটি দ্বারা সম্পাদিত কাজের পরিমাণ কত?

গ. উদ্দীপকের দুইটি বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর ও কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।

$A$ ও $B$ বিন্দু দুইটির কার্তেসীয় স্থানাংক যথাক্রমে $(1, -2, 3)$ ও $(6, 8, −2)$

ক. অবস্থান ভেক্টর বলতে কি বুঝ?

খ. মূলবিন্দু $O$ এর সাপেক্ষে $A$ ও $B$ বিন্দু দুইটির অবস্থান ভেক্টর লিখ এবং $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$ নির্ণয় কর ।

গ. $AB$ কে $2 : 3$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর এবং স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

$\overrightarrow{\mathbf{A}}=4 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}},$$\overrightarrow{\mathbf{B}}=3 \hat{i}-2 \hat{i}+2 \hat{\mathbf{k}}$ এবং $\overrightarrow{\vec{C}}=2 \hat{i}-\lambda \hat{j}+\hat{k}$ তিনটি ভেক্টর।

ক. $\vec{P}=a \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ এবং $\vec{Q}=2 a \hat{i}-a \hat{j}-4 \hat{k}$ ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হলে $\mathrm a$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\lambda$ এর মান কত হলে, $(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C}=0$ হবে?

গ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টর দুইটি কোনো সামন্তরিকের সন্নিহিত বাহু হলে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর; $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে $\cos \theta$ কত?

$A(1,3,-1),$$B(2,-1,1)$ এবং $C(-1,4,2)$ বিন্দু তিনটি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

ক. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ পরস্পর লম্ব কিনা যাচাই কর।

খ. $BC$ বাহুর ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর ।

গ. ভেক্টর পদ্ধতিতে $ABC$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$\text { PQR }$ ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি $\mathrm{P}(1,2,3),$$\mathrm{Q}(-1,-1,8)$ এবং $\mathrm{R}(-4,4,6)$

ক. $\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}$ ভেক্টরটি x-অক্ষের সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে?

খ. $\mathrm{PQ}$ বাহুর ভেক্টর ও কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, $\triangle \mathrm{PQR}$ সমবাহু ।

$\mathbf{P}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k},$$\mathbf{Q}=\hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k},$$\mathbf{R}=2 \hat{i}+\hat{j}-4$$\hat{k}$ তিনটি ভেক্টর ।

ক. দেখাও যে, $4 \hat{\mathrm{i}}-6 \hat{\mathrm{j}}+10 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $2 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$ ভেক্টর দুইটি পরস্পর সমান্তরাল ।

খ. প্রমাণ কর যে, উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে ।

গ. ভেক্টর পদ্ধতিতে $\triangle \mathrm{PQR}$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$\triangle \mathrm{ABC}$ ত্রিভুজের $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $\mathrm {D, E, F}$

ক. $\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ ও $\lambda \hat{i}-5 \hat{j}+\hat{k}$ পরস্পর লম্ব হলে $\lambda$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. দেখাও যে, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}$$+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\underline{0}$

গ. উদ্দীপক থেকে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, ${A B^{2}}^{}+\mathrm{AC}^{2}$$=2\left(\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}\right)$

$3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ এবং $\hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ দুইটি ভেক্টর ।

ক. মূলবিন্দু $O$ এর সাপেক্ষে $\mathrm{A}(2,3,-6), \mathrm{B}(2,2,6)$ দুইটি বিন্দু ।

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের ভেক্টর দুইটি কোনো সামান্তরিকের কর্ণ ধরে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. $3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}$ বিন্দুগামী এবং $\mathrm{\hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}}$ ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর ও কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।

$P=\hat{i}+2 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}},$$\mathbf{Q}=2 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}$ এবং $R=3 \hat{i}+\hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}}$ তিনটি ভেক্টর।

ক. $\text { RST }$ ত্রিভুজে $\overrightarrow{\mathrm{RS}}=-2 \hat{\mathrm{i}}-5 \hat{k}$ এবং $\mathrm{\overrightarrow{R T}=\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}}$ হলে $\angle \mathrm{RST}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি কোনো সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর ধার হলে তার আয়তন নির্ণয় কর।

গ. $P$ ও $Q$ ভেক্টরের উপর লম্ব এরূপ একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর।