Questions in this chapter

$PQR$ ত্রিভুজের $S, T$ এবং $U$ যথাক্রমে $QR, RP$ এবং $PQ$ এর মধ্যবিন্দু।

ক. $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\mathbf{a}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\mathbf{b}$ দুইটি অসমান্তরাল ভেক্টর হলে দেখাও যে, $\overrightarrow{B A}=a-b$

খ. উদ্দীপক থেকে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, $P Q^{2}+P R^{2}=2$$\left(P S^{2}+QS^{2}\right)$

গ. দেখাও যে, $\overrightarrow{\mathrm{PS}}+\overrightarrow{\mathrm{QT}}+\overrightarrow{\mathrm{RU}}=\mathbf{0}$

$\mathbf{F}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ মানের বল $( 2,− 1, 2)$ বিন্দুতে কোনো একটি কণার উপর প্রয়োগ করায় কণাটির শেষ অবস্থান $(5, 1, 4)$ হলো।

ক. প্রদত্ত দুইটি বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. বলটি দ্বারা কাজের পরিমাণ নির্ণয় কর।

গ. ঘূর্ণন কেন্দ্র $( 2, 3, 2)$ হলে বলের ভ্রামকের মান নির্ণয় কর।

একটি বস্তুর অবস্থান ভেক্টর $\mathrm{A}(2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})$ বস্তুটির উপর $F=(2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})$ বল প্রয়োগ করায় বস্তুটির অবস্থান পরিবর্তন হয়। $B$ ও $C$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $(3 \hat{i}+2 \hat{j}+z \hat{k})$ এবং $(5 \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k})$

ক. $|\mathbf{A}+\mathbf{C}|$ নির্ণয় কর ।

খ. $AB$ বরাবর বস্তুটির সরণ (বা এর লম্ব অভিক্ষেপ) না থাকলে $z$ নির্ণয় কর ।

গ. $C$ বিন্দুর সাপেক্ষে $F$ বলের ভ্রামকের মান নির্ণয় কর।

জেনারেটরে ব্যবহৃত একটি সামান্তরিক আকৃতির কুন্ডলীপাতের দুটি সন্নিহিত বাহু যথাক্রমে $\overrightarrow{\mathrm{QP}}=\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}$ পাতটির নিকটে অবস্থিত একটি চুম্বকের চৌম্বকক্ষেত্র $\mathbf{B}=4 \hat{i}+7 \hat{\mathbf{j}}-2 \hat{k}$

ক. $B$ বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

খ. সামান্তরিক পাতের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. এমন একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা $B$ ও $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ভেক্টরদ্বয় দ্বারা সৃষ্ট সমতলের উপর লম্ব ।

(i) মূল বিন্দু $O$ এর সাপেক্ষে $L$ ও $M$ এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $2 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$ এবং $5 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+c \hat{k} ; c$ একটি ধ্রুবক। এমন একটি বিন্দু $N$ নেয়া হলো, যাতে $OLMN$ একটি আয়তক্ষেত্র হয়।

(ii) আটলান্টিক মহাসাগরে দুইটি সাবমেরিন সরলরেখা বরাবর চলছে। মূলবিন্দু $O$ এর সাপেক্ষে তাদের গতিপথের ভেক্টর সমীকরণ

যথাক্রমে- $r_{1}=3 \hat{i}+4 \hat{j}$$-5 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$

এবং $\mathbf{r}_{2}=9 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}$$+\mu(4 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})$

ক. দেখাও যে, সাবমেরিন দুইটির গতিপথ পরস্পর লম্ব ।

খ. সাবমেরিনদ্বয়ের গতিপথের ছেদবিন্দু $A$ এর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর ।

গ. $N$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর ।

$Q=\left[\begin{array}{ccc}2 & 6 & 3 \\4 & 9 & 5 \\6 & m & 5\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটির ১ম, ২য় ও ৩য় সারি বরাবর ভুক্তিগুলোকে যথাক্রমে $A, B$ ও $C$ ভেক্টর চিন্তা কর ৷

ক. $D$ একটি $3 \times 3$ ম্যাট্রিক্স এবং $|\mathrm{D}|=-7$ হলে,$\left|(2 D)^{-1}\right|=$ কত?

খ. $A, B$ ও $C$ কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু নির্দেশ করলে এবং $m=\sqrt{61}$ হলে, ত্রিভুজটির প্রকৃতি নির্ণয় কর।

গ. $m = 1$ এবং $Q\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0 \\-2 \\-8\end{array}\right]$ হলে ক্রেমারের নিয়মে x, y ও z এর মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $A=$$\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 0 \\-1 & 1 & 3 \\2 & -3 & 1\end{array}\right]$

দৃশ্যকল্প-২: $\mathbf{a}=\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}$ এবং $\mathbf{b}=-\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$

ক. $a$ ভেক্টর বরাবর $b$ ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

খ. $|A+x| \mid=0$ হলে x এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $a$ ও $b$ এর ওপর লম্ব এরূপ একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

একটি আয়তাকার ইটের ধারগুলোকে $\mathbf{A}=2 \hat{\mathrm{i}}+4 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$

$\mathbf{B}=\hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ এবং $\mathrm{C}=-2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$ দ্বারা সূচিত করা হলো ।

ক. $|2 \mathbf{A}+\mathbf{C}|$ নির্ণয় কর ।

খ. $59000$ ঘন একক ইটের দাম $10000$ টাকা হলে প্রতিটি ইটের দাম কত?

গ. উদ্দীপকের $A, B$ ও $C$ ভেক্টরত্রয়ের $\hat{\mathrm{i}}, \hat{\mathrm{j}}$ ও $\hat{k}$ এর সহগকে যথাক্রমে কলাম বরাবর নিয়ে

গঠিত ম্যাট্রিক্সটি $E$ হলে $E^{3}-3 E^{2}-5I$ এর মান নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\1 & 2 & -3 \\2 & -1 & 3\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{ll}2 & -3 \\4 & -1\end{array}\right],$$X=\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{c}3 \\11\end{array}\right]$

ক. $O$ মূলবিন্দু সাপেক্ষে $A(1, −1, 3)$ ও $B(−2, 3, 5)$ হলে, $AB$ নির্ণয় কর ৷

খ. $BX = C$ এর সমাধান বিন্দু এবং $(2, 3)$ বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $A(\operatorname{adj} A)=|A| I_{3}$

$\mathrm{A}(3,-1,2),$$\mathrm{B}(1,-1,-3)$ ও $C(4,-3,2)$ বিন্দুত্রয় শূন্যে অবস্থান করে।

ক. $H=$$\left[\begin{array}{rr}3 & 2 \\-3 & -2\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতি কিনা যাচাই কর ।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ কোনো সামন্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করলে, সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. $A, B$ ও $C$ এর উপাদানসমূহকে ভিন্ন ভিন্ন সারি বরাবর সাজিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

$a=2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k},$$\mathbf{b}=-\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k},$$\mathbf{c}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$

ক. $A=$$\left[\begin{array}{cc}x^{2}-1 & -x+1 \\1 & x\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রম হলে x এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $\mathbf{d}=\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ হলে $c$ ও $d$ এর মধ্যবতী কোণ নির্ণয় কর।

গ. $a + c$ বরাবর $a – c$ এর উপাংশ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{rrr}4 & 5 & 6 \\2 & -3 & 2 \\-5 & 2 & 1\end{array}\right],$$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{r}7 \\-1 \\-9\end{array}\right]$

ক. $A$ ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতি কিনা যাচাই কর ।

খ. $P=a_{11} \hat{i}+a_{21} \hat{j}+a_{31} \hat{k}$ ও $\mathbf{Q}=a_{12} \hat{i}+a_{22} \hat{j}+a_{32} \hat{k}$ ভেক্টর দুইটির

ওপর লম্ব এরূপ একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ হলে নির্ণায়ক পদ্ধতিতে $\mathrm{X}^{t}$ নির্ণয় কর।

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় $\mathrm{A}(5,2,-3),$$\mathrm{B}(-3,-2,1)$ $\mathrm{C}(3,-2,11)$ ও $\mathrm{D}(-1,-4,13)$ চারটি বিন্দু। -

ক. $A$ বিন্দুগামী এবং $B$ ও $C$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ সমান্তরাল ।

গ. বিন্দুগুলি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$\mathbf{A}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ এবং $=6 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$

ক. $A$ এবং $B$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $EF$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $A$ ও $B$ উভয় ভেক্টরের সমতলে লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

ক. দেখাও যে, $a=-8 \hat{i}$$-4 \hat{j}+4 \hat{k}$ ও $b=-4 \hat{i}-2 \hat{j}$$+2 \hat{k}$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল ।

খ. $PR$ বাহুর ভেক্টর ও কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. ভেক্টর পদ্ধতিতে দেখাও যে, $\angle P R Q=$ এক সমকোণ ।

ভেক্টর $c$ যার মান $12$ যেন

$c = pa$ এবং $d = 2b$

ক. $|2 \mathbf{a}+3 \mathbf{b}|$ নির্ণয় কর।

খ. $\beta$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $|d-c|$ এর মান নির্ণয় কর।

$\mathbf{p}=2 \hat{i}+\hat{j}-a \hat{k},$$\mathbf{q}=3$$\hat{i}+2 \hat{j}+4 \hat{k}$ এবং $\mathbf{r}=\hat{i}-3 \hat{j}+b \hat{k}$ তিনটি ভেক্টর।

ক. দুইটি ভেক্টর লম্ব হওয়ার শর্ত ব্যাখ্যা কর ।

খ. $b = 2$ হলে $r$ বরাবর $q$ এর অংশক নির্ণয় কর।

গ. $p, q$ এবং $r$ ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হওয়ার শর্ত বের কর ।

একটি বস্তুর উপর $P$ ও $Q$ মানের দুইটি বল কার্যরত। যেখানে $P=2 \hat{j}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ এবং $Q=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$

ক. বস্তুটির উপর কোন বলের প্রভাব অধিক তা নির্ণয় কর ।

খ. অক্ষত্রয়ের সাথে লব্ধি বল যে কোণগুলি উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর ।

গ. বস্তুটির সরণ $3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k}$ হলে বল ও সরণের মধ্যবর্তী কোণ এবং মোট কাজ নির্ণয় কর ।

$\text { OACB }$ একটি সামান্তরিক । যেখানে $P=6 \hat{i}+5 \hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $Q=4 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$

ক. $P – Q$ এর দিক বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

খ. $P$ এবং $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর ।

গ. $P$ বরাবর $R$ এর অংশক নির্ণয় কর ।

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=3 \hat{\mathrm{i}}$$+2 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{O Q}=2 \hat{i}-3$$\hat{j}+3 \hat{k}$ দুইটি ভেক্টর যা একই বিন্দু $O$ থেকে $P$ এবং $Q$ বরাবর ক্রিয়ারত ।

ক. ভেক্টর ক্রস প্রোডাক্ট ব্যাখ্যা কর ।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm a$ এর কোন মানের জন্য $\mathbf{R}=a \hat{i}+3 \hat{j}$$+11 \hat{k}$ ভেক্টরটি $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ভেক্টরের উপর লম্ব হবে ?