Questions in this chapter

$A=3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k},$$B=-\hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$ এবং $C=2 \mu \hat{i}+\hat{j}$ $+2 \hat{\mathbf{k}}$ তিনটি ভেক্টর।

ক. $|2 \mathrm{A}-\mathrm{B}|$ নির্ণয় কর ।

খ. $(A \times B)$ ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।

গ. $\mu$ এর কোন মানের জন্য $\text { A, B, C }$ ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হবে?

$\mathbf{A}(2,3,-1)$ এবং $\mathrm{B(4,-2,1)}$ স্থির দুইটি বিন্দু।

ক. $\bar{A}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $\bar{B}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ ভেক্টর দুটি লম্ব কিনা যাচাই কর ।

খ. উদ্দীপকের $A$ এবং $B$ বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর ৷

গ. একটি কণার উপর $P=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ এবং $\mathbf{Q}=3 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$ দুইটি বল প্রয়োগের ফলে

কণাটি $\mathrm{A}(2,3,-1)$ বিন্দু হতে $\mathrm{B}(4,-2,1)$ বিন্দুতে সরে গেল । বল দুইটি দ্বারা সম্পাদিত কাজ নির্ণয় কর ।

$\underline{{a}}, \underline{\mathbf{b}}, \underline{c}$ এরূপ তিনটি ভেক্টর যেন $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}=0$

ক. $|\underline a|=3,|\underline b|=5$ এবং $|\underline c|=7$ হলে, দেখাও যে, $\underline{\mathbf{a}}$ ও $\underline{\mathrm{b}}$ ভেক্টর দুইটির মধ্যবর্তী কোণ $\frac{2 \pi}{3}$ রেডিয়ান ।

খ. প্রমাণ কর যে, $|\underline{a} \times \underline{b}|^{2}$$+|\underline{a} \cdot \underline{b}|^{2}=|\mathrm{a}|^{2}|\underline{b}|^{2}$

গ. উদ্দীপকের $\triangle \mathrm{ABC}$ থেকে দেখাও যে,$a^{2}=b^{2}+c^{2}$$-2 b c \cos A$

$\underline{P}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k},$$\underline{Q}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $\underline{R}=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ তিনটি ভেক্টর ।

ক. $\underline{P}$ ও $\underline{R}$ এর লব্ধির দিক বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।

খ. উদ্দীপকের ভেক্টরত্রয় সমতলীয় কিনা যাচাই কর ।

গ. প্রমাণ কর যে, $\underline{P}$ ও $\underline{Q}$ এর অন্তর্ভুক্ত কোণ $\theta$ হলে, $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{5}{2 \sqrt{7}}\right)$

$\underline A=2 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}},$$\underline{\mathbf{B}}=3 \hat{\mathbf{i}}-2 \hat{\mathbf{j}}+4 \hat{\mathbf{k}}$ এবং $\underline{C}=\hat{i}-3 \hat{\mathbf{j}}+5 \hat{k}$ তিনটি ভেক্টর।

ক. $\underline{\mathrm A}$ ভেক্টরটি $Z$-অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর ।

খ. $\underline{\mathrm A}$ ভেক্টরের দিক বরাবর, $\underline{B}$ ও $\underline{C}$ এর লব্ধি ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় কর ।

গ. যদি উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি $\mathrm{ABC}$ ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্দেশ করে

তবে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ABCD একটি সামান্তরিক।

ক. ভেক্টর $R$ এর দিক বরাবর $Q$ এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর ৷

খ. চিত্রে কোণ $\alpha$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $P$ ভেক্টর বরাবর $R$ এর উপাংশ নির্ণয় কর।

ক. $r \cos \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)={6}$ সরলরেখা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের

পরিমাণ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্পের ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm {CD}$ এর মান নির্ণয় কর।

$\mathbf{P}$$=(6 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}) \mathrm{N}$ এবং $\mathbf{Q}$$=(2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}) N$ দুইটি বল একটি বস্তুকণার উপর কার্যরত।

ক. দেখাও যে, $P$ ও $Q$ স্কেলার গুণনের বিনিময় সূত্র মেনে চলে ।

খ. $P$ এর উপর $Q$ এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর ।

গ. বস্তুকণাটির সরণ $\mathbf{r}=2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}-2 \hat{\mathbf{k}}$ মিটার হলে প্রযুক্ত বল দুইটি দ্বারা সম্পাদিত কাজের পরিমাণ নির্ণয় কর।

$\vec{A}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $\overrightarrow{\mathbf{B}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}$

ক. $\mathrm{\vec{A} \times \vec{B}}$ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{\vec{A} \times \vec{B}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ ভেক্টর দুইটির মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $\mathrm{\vec{A}, \vec{A}-\vec{B}}$ এবং $\mathrm{4 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}}$ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে ।

$ABC$ ত্রিভুজের $BC, CA, AB$ বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D, E, F$

ক. $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, 2 \hat{i}$$+2 \hat{j}-\hat{k}, \lambda \hat{i}-\hat{j}$$+\lambda \hat{k}$ ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে $\lambda$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\underline{0}$

গ. ভেক্টর পদ্ধতিতে দেখাও যে, $AD, BE$ ও $CF$ সমবিন্দু।

মূলবিন্দু: $O$ এর সাপেক্ষে $A$ ও $B$ এর অবস্থান ভেক্টর

যথাক্রমে $\underline{a}=2 \hat{i}$$-3 \hat{j}-\hat{k}$ ও $\underline{b}=\hat{i}$$+4 \hat{j}+3 \hat{k}$

ক. $\underline{\mathbf{a}} \times \underline{\mathbf{b}}$ নির্ণয় কর।

খ. $AB$ এর মধ্যবিন্দুগামী এবং $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর

সমীকরণ হতে কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর ।

গ. $OAB$ ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ নির্ণয় কর ।

$\vec{A}=2 \hat{i}-6 \hat{j}+3 \hat{k},$$\vec{B}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$

ক. $P(3,-1,4),$$Q(4,-3,-2)$ হলে y-অক্ষের উপর $\overrightarrow{P Q}$ এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর ।

খ. $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ ও $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ এর লব্ধি বল এবং $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর ।

গ. $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ ও $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ ভেক্টরদ্বয়ের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

$\overrightarrow{\mathrm{P}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$=3 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$

$\vec{Q}=\overrightarrow{O B}$$=3 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}, O$ মূলবিন্দু।

ক. $|\overrightarrow{\mathrm{P}}+\overrightarrow{\mathrm{Q}}|$ নির্ণয় কর ।

খ. $( 2, 4, 6)$ বিন্দুগামী $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ এর সমান্তরাল সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $\overrightarrow{A B}$ এর মধ্যবিন্দু হতে $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।

$\overline{\mathbf{A}}=3 \hat{i}+2 \hat{\mathbf{j}}+\hat{k}$ এবং $\overline{\mathbf{B}}=\hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$

ক. $\overline{\mathbf{A}}$ ও $\overline{\mathbf{B}}$ স্কেলার গুণনের বিনিময় সূত্র মেনে চলে— ব্যাখ্যা কর ।

খ. $(\overline{\mathbf{A}}+\overline{\mathbf{B}})$ এর উপর $(\overline{\mathbf{A}}-\overline{\mathbf{B}})$ এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর ।

গ. $\overline{\mathbf{A}}$ ও $\overline{\mathbf{B}}$ সামন্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরে সামন্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

$\vec{A}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k},$$\vec{B}=3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

ক. $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ বিন্দুগামী এবং $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ এর সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হতে কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ বরাবর $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ এর লব্ধি ভেক্টরের উপাংশের একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।

গ. একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ এর সাথে সমতলীয় এবং $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ এর উপর লম্ব ।

$\overrightarrow{O A}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k},$$\overrightarrow{O B}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $O$ মূলবিন্দু।

ক. $3 \hat{\mathbf{j}}+5 \hat{\mathbf{k}}$ কোন তলে অবস্থান করে – ব্যাখ্যা কর ।

খ. $(1,3,-5)$ বিন্দুগামী $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ এর সমান্তরাল সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $AB$ এর মধ্যবিন্দু $D$ হলে, $\triangle \mathrm{OAD}$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

চিত্রে, $OABC$ একটি সামান্তরিক।

ক. $|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $AB$ এর ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $A$ ও $C$ বিন্দুদ্বয় যে তলে অবস্থিত তার উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।

$\vec{A}=3 \hat{i}+\lambda \hat{j}$$-5 \hat{k}, \vec{B}=2 \hat{i}$$-6 \hat{j}+3 \hat{k}$

$\vec{C}=5 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$

ক. $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ভেক্টর দুইটির মধ্যবর্তী কোণ সূক্ষ্মকোণ হলে $\lambda$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{C}}$ কোনো ত্রিভুজের বাহু হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ এর দিকে একক ভেক্টর $\hat{\mathbf{A}}$ নির্ণয় কর যা $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{C}}$ এর সাথে সমতলীয় ।

$OA$ ও $OB$ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $P$ ও $Q$

ক. $AB$ এর ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, $P Q \| A B$

গ. $\overrightarrow{O A}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ কে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$P$ ও $Q$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর

$\overrightarrow{\mathrm{P}}=3 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}},$$\overrightarrow{\mathrm{Q}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}$

ক. $PQ$ এর ভেক্টর সমীকরণ হতে এর কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. অভিক্ষেপ ব্যবহার করে $\overrightarrow{\mathbf{P}}$ বরাবর $\overrightarrow{\mathbf{Q}}$ এর অংশক নির্ণয় কর।

গ. $\overrightarrow{\mathbf{P}}$ ও $\overrightarrow{\mathbf{Q}}$ কে সামন্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরে সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।