Questions in this chapter

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\8 & 9 & 7\end{array}\right],$$D=\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\a^{2} & b^{2} & c^{2} \\a^{3}-1 & b^{3}-1 & c^{3}-1\end{array}\right|$

ক. $\left[\begin{array}{rrr}0 & 7 & 10 \\-7 & 0 & 15 \\-10 & -15 & 0\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম কিনা যাচাই কর ।

খ. দেখাও যে, $D=(a b c-1)$$(a-b)(b-c)(c-a)$

গ. $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}=\mathrm{I}_{3}$ হলে $\mathrm B$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{c}x+y+2 z \\z \\z\end{array}\right.$$\quad$ $\left.\begin{array}{cc}x & y \\y+z+2 x & y \\x & z+x+2 y\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{ll}x & 3 \\4 & 2\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে x এর মান কত?

খ. দেখাও যে, $|A|=2(x+y+z)^{3}$

গ, $x=y=z=1$ হলে $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

$\mathrm A=\left[\begin{array}{ll}5 & 2 \\2 & 1\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{rr}3 & -2 \\-4 & 3\end{array}\right],$

$C=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\2 & 1 & 3 \\3 & 2 & 1\end{array}\right],$ $X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right],$$R=\left[\begin{array}{l}5 \\1 \\4\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{rr}3 & \alpha \\-2 & 3\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম হলে $\alpha$ এর মান কত?

খ. $(\mathrm{AB})^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{CX}=\mathrm{R}$ হলে নির্ণায়ক পদ্ধতিতে সমাধানযোগ্যতা যাচাই করে X-এর মান নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 0 \\3 & 2 & 7\end{array}\right]$

ক. $\left|A^{\mathrm{T}}\right|$ নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $A_{31}+2 A_{32}+3 A_{33}=0$ যেখানে $\mathrm{A}_{\mathrm{ij}}$ হচ্ছে $(\mathrm{i}, \mathrm{j})$ তম সহগুণক ।

গ. $A^{2}-5 A+3 I$ নির্ণয় কর যেখানে $I$ হচ্ছে $3 \times 3$ আকারের অভেদক ম্যাট্রিক্স ।

$P=\left[\begin{array}{cc}p-q-r & 2 p \\2 q & q-r-p \\2 r & 2 r\end{array}\right.$$\quad$$\left.\begin{array}{c}2 p \\2 q \\r-p-q\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{cc}\alpha+5 & 2 \\3 & \alpha\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে $\alpha$ এর মান কত?

খ. দেখাও যে, $\mathrm P$ ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক $=(p+q+r)^{3}$

গ. $p=0, q=1, r=2$ হলে এমন একটি ম্যাট্রিক্স $\mathrm Q$ নির্ণয় কর

যেন $\mathrm{PQ}=\mathrm{QP}=\mathrm{I}_{3}$ হয় ।

$A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}-3 & 4 & 2 \\-2 & 1 & 0 \\-1 & -1 & 1\end{array}\right]$ এবং $\mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 4 & 1 \\-1 & 0 & 1 \\2 & 3 & 4\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{ll}5 & x \\y & 5\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স হলে $x+y=?$

খ. $\mathrm {B^{2}-2 B+A^{-1}}$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{A}$ নির্ণয় কর ।

$A=\left[\begin{array}{ccc}3+a & 4 & 2 \\4 & 2+a & 3 \\2 & 3 & 4+a\end{array}\right]$

ক. $A_{13}=0$ হলে a এর মান কত?

খ. $|\mathrm A|=0$ সমীকরণটি সমাধান কর।

গ. $\mathrm a = -1$ হলে ${A}^{-1}$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1\end{array}\right],$$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right],$$R=\left[\begin{array}{l}4 \\6 \\5\end{array}\right]$

এবং $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x$

ক. $\left[\begin{array}{ll}1 & 7 \\p & 4\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম হলে $\mathrm p$ এর মান কত?

খ. $\mathrm{AX}=\mathrm{R}$ সমীকরণটি ক্রেমারের সূত্রের সাহায্যে সমাধান কর ।

গ. $\mathrm {f(A)=I}$ সমীকরণটি হতে $\mathrm {A^{-1}}$ নির্ণয় কর ।

$2021$ সালে একটি কারখানায় বিভিন্ন শাখায় কর্মরত শ্রমিকদের তালিকা নিম্নরূপ :

ছকের সংখ্যাগুলি একটি ম্যাট্রিক্স A নির্দেশ করে।

ক. $A_{23}$ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm {A^{2}-5 A+I_{3}}$ নির্ণয় কর।

গ. নতুন বেতন স্কেল ঘোষণার পর উৎপাদন, বিপণন, বিতরণ,

শাখার ভুক্ত শ্রমিকদের মাসিক মোট বেতন যথাক্রমে $89, 42, 32$ হাজার টাকা হলে

গ্রেড-$\mathrm {I, II, III}$ ভুক্ত একজন শ্রমিকের মাসিক বেতন নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & -2 \\2 & 5 & -4 \\3 & 7 & -5\end{array}\right],$$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l}1 \\3 \\5\end{array}\right]$

ক. $\mathrm{B}^{\mathrm{T}} \mathrm{X}$ গুণফল ম্যাট্রিক্সটির আকার কত?

খ. $\mathrm{A}^{2}-2 \mathrm{~A}+3 \mathrm{I}_{3}$ নির্ণয় কর।

গ. বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে $\mathrm {A X=B}$ সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় কর ।

$A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\1 & 3 & 2 \\3 & -1 & -5\end{array}\right],$$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$

ক. $\left|\begin{array}{rrr}\mathrm{x}^{2} & \mathrm{x} & 2 \\2 & 1 & 1 \\0 & 0 & -5\end{array}\right|=0$ হলে x এর মান কত?

খ. $A^{2}+A-I$ নির্ণয় কর, যেখানে $\mathrm I$ হচ্ছে $3 \times 3$ অভেদক ম্যাট্রিক্স।

গ. বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে $\mathrm A \mathrm X=\left[\begin{array}{lll}6 & 1 & 1\end{array}\right]^{\mathrm{T}}$ সমীকরণজোটের সমাধান কর।

$A=\left[\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & c a+c^{2} \\a^{2}+a b & b^{2} & c a \\a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right]$ একটি নির্ণায়ক এবং $g(x)=x^{2}+3 x$

ক. $f(x)=\frac{\sqrt{2 x-1}}{x-2}$ ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় কর ৷

খ. প্রমাণ কর যে, $|\mathrm{A}|=4 \mathrm{a}^{2} \mathrm{~b}^{2} \mathrm{c}^{2}$

গ. $A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & -1 \\2 & 3 & 4 \\-4 & 5 & 6\end{array}\right]$ হলে, $g(A)+I$ নির্ণয় কর।

$V=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 2 \\2 & 0 & 3 \\1 & -1 & 1\end{array}\right],$$L=\left[\begin{array}{ccc}a & b & a x+b y \\b & c & b x+c y \\a x+b y & b x+c y & 0\end{array}\right]$

ক. যদি $\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & m \\-1 & 0 & 3 \\2 & -3 & 0\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম হয়, তবে m এর মান নির্ণয় কর।

খ. $V^{3}-2 V^{2}+V-2 I$ এর মান নির্ণয় কর;

যেখানে $I=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right]$

গ. প্রমাণ কর যে, $|\mathrm{L}|=\left(\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ac}\right)$$\left(\mathrm{ax}^{2}+2 \mathrm{bxy}+\mathrm{cy}^{2}\right)$

$A=\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\3 & 5\end{array}\right] ;$$B=\left[\begin{array}{l}6 \\1\end{array}\right]$ এবং $x=\left[\begin{array}{l}s \\t\end{array}\right]$

ক. $\mathbf{A}^{-1}$ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের আলোকে $A^{3}+3 A^{2}+3 A+I$ নির্ণয় কর ।

যখন $I=\left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right|$

গ. উদ্দীপকের আলোকে $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ হলে, $s+t^{2}$ এর মান নির্ণয় কর ।

$\mathrm{D}=\left[\begin{array}{ccc}x & y & z \\x^{2} & y^{2} & z^{2} \\x^{3}-1 & y^{3}-1 & z^{3}-1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\1 & 0 & 2 \\3 & 4 & -5\end{array}\right]$

ক. $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ ভেক্টর বরাবর $\vec{b}=5 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$

ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $|D|=(x y z-1)(x-y)(y-z)(z-x)$

গ. $\mathrm{B}^{2}-3 \mathrm{~B}+5 \mathrm{I}$ নির্ণয় কর।

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 2 \\1 & 2 & 0\end{array}\right],\mathrm{B}=\mathrm{A}^{t}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+5$

ক. $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}$ এর $R_f$ বের কর ।

খ. $f(\mathrm{~B})$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{B}^{-1}$ নির্ণয় কর।

$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}a^{2} & b c \\a^{2}+a b & b^{2} \\a b & b^{2}+b c\end{array}\right.$ $\left.\begin{array}{ccc}ca+c^2 \\ca \\ c^2\end{array}\right|$একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।

ক. $f(\mathrm{p})=\mathrm{p}+\frac{1}{\mathrm{p}}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\{f(t)\}^{2}=2+f\left(t^{2}\right)$

খ. $a=1, b=2$ ও $c=-1$ হলে $\mathrm{B}^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $|\mathrm{B}|=4 \mathrm{a}^{2} \mathrm{~b}^{2} \mathrm{c}^{2}$

$A=\left[\begin{array}{cc}x+y+2 z & x \\z & y+z+2 x \\z & x\end{array}\right.$$\left.\begin{array}{c}y \\y \\z+x+2 y\end{array}\right]$

ক. যদি $x=y=0$ এবং $z=1$ হয়, তবে $|\mathrm{A}|$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. প্রমাণ কর যে, $|A|=2(x+y+z)^{3}$

গ. যদি $x=y=z=-6$ হয়, তবে $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{cc}a+b+2 c & a \\c & b+c+2 a \\c & a\end{array}\right.$$\left.\begin{array}{c}b \\b \\c+a+2 b\end{array}\right] \text {, }$$B=a+b+c$

ক. $x$ এর মান কত হলে, $\left[\begin{array}{rr}2 x & x-1 \\-5 & x+2\end{array}\right]$ একটি অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে?

খ. দেখাও যে, $|A|=2 B^{3}$

গ. $a=1, b=2, c=3$ হলে, $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর।

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\1 & -1 & 2 \\3 & 1 & 1\end{array}\right],$$\mathrm{X}=\left[\begin{array}{l}\mathrm{x} \\\mathrm{y} \\\mathrm{z}\end{array}\right],$$\mathrm{C}=\left[\begin{array}{l}3 \\9 \\0\end{array}\right]$

ক. প্রতিসম ম্যাট্রিক্স কি ব্যাখ্যা কর।

খ. $A^{-1}$ নির্ণয় কর ।

গ.$\mathrm{AX}=\mathrm{C}$ সমীকরণ জোটটি সমাধান কর ।