Questions in this chapter

$f(x)=3 x^{2}+5 x,$$A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & -1 \\2 & 3 & 4 \\-4 & 5 & 6\end{array}\right]$

ক. নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর : $x-3 y=4,$$2 x+y=1$

খ. $f(\mathrm{~A})+\mathrm{I}_{3}$ নির্ণয় কর, যেখানে $\mathrm{I}_{3}$ একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।

গ. দেখাও যে, $\mathrm{AA}^{-1}=\mathrm{I}_{3},$ যেখানে $\mathrm{I}_{3}$ অভেদক ম্যাট্রিক্স।

$A=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\4 & -3\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0\end{array}\right]$

ক. $\mathrm{AB}$ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $A^{2}+2 A-11 \mathrm I$ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স; যেখানে, $I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]$

গ. $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর।

$C=\left[\begin{array}{ccc}x+2 & 3 & 5 \\5 & x+3 & 2 \\4 & 2 & x+4\end{array}\right]$

ক. $A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 2 & -3 \\1 & -1 & 0 \\4 & 0 & -2\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{rrr}4 & -2 & 1 \\-1 & 0 & 3 \\1 & 0 & -1\end{array}\right]$ হলে $\mathrm {AB}$ এর ট্রেস নির্ণয় কর ।

খ. $\mathrm C$ ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে x এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm {x = 1}$ এবং $\mathrm{DC}=\left[\begin{array}{ccc}-7 & -5 & 1 \\15 & 15 & 14\end{array}\right]$ হলে, $\mathrm D$ নির্ণয় কর।

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & \mathrm{l} \\1 & \mathrm{p}^{2} & \mathrm{p}^{2} \\1 & \mathrm{p}^{2} & \mathrm{p}^{4}\end{array}\right]$

ক. $A=\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\3 & 2\end{array}\right]$ হলে $\mathrm{A}^{2}+\mathrm{A}$ নির্ণয় কর ।

খ. প্রমাণ কর যে, $\left|A^{-1}\right|=p(p-1)^{2}\left(p^{2}-1\right)$

গ. নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর: $A^{-1} \times\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$$=\left[\begin{array}{c}5 \\7 \\11\end{array}\right]$ যখন $\mathrm{p}=2$

$A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 2 \\2 & 0 & 3 \\1 & -1 & 1\end{array}\right]$ এবং $f(x)=x^{3}-2 x^{2}+$$x-2$

ক. $\left|{\mathrm A}^{\mathrm{T}}\right|$ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{f}(\mathrm{A})$ নির্ণয় কর ।

গ. $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 2\\1 & -1 & 0 \\5 & 0 & 4\end{array}\right]$

ক. $\mathrm A$ বিপরীতযোগ্য কিনা তা দেখাও ।

খ. $A^{3}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\3 & 0 & y \\x & 1 & 0\end{array}\right]$ হলে, x ও y এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{A+B}$ এর এ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 5 \\7 & 0 & 9 \\3 & 4 & 6\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{ccc}3 & -4 & 2 \\-2 & 1 & 0 \\-1 & -1 & 1\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 3 \\1 & 2 & 1 \\2 & 3 & 1\end{array}\right]$

ক. $\mathrm A$ সমঘাতি কিনা যাচাই কর ।

খ. $\mathrm {AB + 4C – I}$ নির্ণয় কর ।

গ. $\mathrm {\left(C^{T}\right)^{-1}}$ নির্ণয় কর ।

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\3 & -1 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\-1 & -2 & 2 \\0 & -1 & 1\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{cc}a+5 & 5 \\4 & 2\end{array}\right]$ একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে a এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\left|(2 \mathrm{AB})^{-1}\right|$ নির্ণয় কর ।

গ. বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান কর: $A \times\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$$=\left[\begin{array}{lll}5 & 7 & 11\end{array}\right]^{\mathrm T}$

$A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\1 & -2 & 1 \\1 & -1 & 2\end{array}\right]$ এবং $f(x)=x^{3}-2 x^{2}+3 x$

ক. $\left[\begin{array}{rrr}1 & -5 & 3 \\4 & 0 & 5 \\9 & 6 & 8\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী কিনা প্রমাণ কর ।

খ. $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}=\mathrm{I}$ হলে $\mathrm B$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm {f(A)=I}$ সমীকরণ হতে $\mathrm {A^{-1}}$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 5 & 2 \\2 & 5 & 11\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{rrr}3 & -1 & 3 \\3 & 0 & 5 \\5 & 2 & 6\end{array}\right]$

ক. $\mathrm {(A+B)^{T}}$ নির্ণয় কর।

খ. $\left|3\left(\mathrm{~B}^{2}+\mathrm{I}\right)\right|$ নির্ণয় কর।

গ. $(\mathrm{AB})^{-1}$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 0 \\2 & 5 & 1 \\3 & 4 & 2\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{ll}5 & 4 \\2 & 1\end{array}\right]$ এবং $C=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\3 & 4\end{array}\right]$

ক. ${\mathrm{B}} \mathrm{C}=\left[\begin{array}{rr}2 x & 3 \mathrm{a} \\\mathrm{y} & \mathrm{z}\end{array}\right]$ হলে, $\mathrm a$ এর মান নির্ণয় কর ৷

খ. $\mathrm {B^{2}+3 C+I}$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm {\left(A^{T}\right)^{-1}}$ নির্ণয় কর ।

$\mathrm{A}^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\-1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1\end{array}\right],$$\mathrm{X}=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$

ক. $\mathrm {A^{-1} B}$ নির্ণয়যোগ্য কিনা যাচাই কর।

খ. $\mathrm A$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{A}^{-1} X=\mathrm{B}$ হলে ক্রেমারের নিয়মানুসারে $\mathrm {x, y, z}$ নির্ণয় কর ।

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\2 & -1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{array}\right],$$\mathrm{D}=\left|\begin{array}{rrr}1 & -a & a^{2} \\a^{2} & 1 & -a \\-a & a^{2} & 1\end{array}\right|$

ক. বিস্তার না করে প্রমাণ কর: $\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\a^{2} & b^{2} & c^{2} \\b c & c a & a b\end{array}\right|$$=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\a^{2} & b^{2} & c^{2} \\a^{3} & b^{3} & c^{3}\end{array}\right|$

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm {D=\left(1-a+a^{2}\right)^{2}(a+1)^{2}}$

গ. $\mathrm {A^{3}}$ নির্ণয় কর এবং তা থেকে $\mathrm {A^{-1}}$ কত হবে তা সিদ্ধান্ত নাও ।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 3 \\3 & 1 & 3 \\3 & 3 & 1\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\2 & 1 & 1 \\1 & 1 & 2\end{array}\right]$

ক. $\mathrm A$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী কিনা যাচাই কর ।

খ. $\mathrm {A^{2}+4 B-I}$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{B}^{-1}$ নির্ণয় কর।

$\mathrm {A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & -3 \\2 & 1 & 0 \\4 & -2 & 5\end{array}\right]}$

$D=\left\lvert\, \begin{array}{cc}a+b+2 c & a \\c & b+c+2 a \\c & a\end{array}\right..$$\left.\begin{array}{ccc}b \\b \\ c+a+2 b\end{array}\right|$

ক. বিস্তার না করে প্রমাণ কর যে,

${\left|\begin{array}{ccc}1 & b c & b c(b+c) \\1 & c a & c a(c+a) \\1 & a b & a b(a+b)\end{array}\right|=a b c\left|\begin{array}{ccc}a & 1 & b+c \\b & 1 & c+a \\c & 1 & a+b\end{array}\right|=0}$

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm {D=2(a+b+c)^{3}}$

গ. $\mathrm A$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & -3 \\2 & 1 & 0 \\4 & -2 & 5\end{array}\right],$$D=\left|\begin{array}{ccc}-2 & a+b & -c \\-2 & b+c & -a \\a+b-c & c^{2} & a b\end{array}\right|$

ক. $|\mathrm{A}|$ এর $(2, 3)$ ভুক্তির সহগুণক নির্ণয় কর ।

খ. $\mathrm {A^{2}-5 A+4 I}$ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{D=(c-a)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}$

$A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 0 & -1 \\2 & 3 & 5 \\1 & 3 & 4\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{cc}p-5 & 2 \\2 & p-2\end{array}\right]$

$C=\left[\begin{array}{l}2 \\3 \\5\end{array}\right],$$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$

ক. $\mathrm B$ ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে, $\mathrm P$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm {A^{-1}}$ নির্ণয় কর ।

গ. $\mathrm {AX = C}$ হলে ক্রেমার এর নিয়মানুসারে $\mathrm y$ এর মান নির্ণয় কর।

$D=\left|\begin{array}{rrr}-1 & b & c \\a & -1 & c \\a & b & -1\end{array}\right|,$$A=\left[\begin{array}{ll}4 & 3 \\2 & 1\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{ll}4 & 3 \\2 & 1\end{array}\right] \mathrm{B}=\mathrm{I}$ হলে, $\mathrm B$ ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে ${I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]}$ একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স ।

খ. $\mathrm{AB}=\left[\begin{array}{rr}10 & 17 \\4 & 7\end{array}\right]$ হলে $\mathrm B$ ম্যাট্রিক্সের ভুক্তি সমূহ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{D}=(\mathrm{a}+1)(\mathrm{b}+1)(\mathrm{c}+1)$$\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}+1}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}+1}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}+1}-1\right)$

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 3 & 4 \\3 & -1 & 6 \\-1 & 5 & 1\end{array}\right],$$D=\left|\begin{array}{ccc}1 & a & a^{2} \\a^{2} & 1 & a \\a & a^{2} & 1\end{array}\right|$

ক. প্রমাণ কর যে, $\left|\begin{array}{ccc}0 & b-a & c-a \\a-b & 0 & c-b \\a-c & b-c & 0\end{array}\right|$$=0$

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm {D=\left(a^{3}-1\right)^{2}}$

গ. এমন একটি ম্যাট্রিক্স $\mathrm B$ নির্ণয় কর যেন $\mathrm {A B=B A=I}$ হয়।

$\mathrm S=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\1 & 4 & 8 \\7 & 2 & 4\end{array}\right],$$\mathrm R=\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 1 \\7 & 2 & 2 \\8 & 1 & 1\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{rr}\mathrm{m} & 4 \\3 & 6\end{array}\right], \mathrm{m}$ এর কোন মানের জন্য ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হয়?

খ. উদ্দীপকের আলোকে $\mathrm{SR}=\mathrm{RS}$ এর সত্যতা যাচাই কর ।

গ. উদ্দীপক হতে $\mathrm {S^{-1}}$ নির্ণয় কর।