Questions in this chapter

$x+y+z=1$$.......(i)$

$l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k}$$........(ii)$

$l^{2} x+m^{2} y+n^{2} z=k^{2}$$.......(iii)$

ক. $2\left[\begin{array}{ll}1 & -2 \\2 & -1\end{array}\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_{2}$ হলে, $F$ ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে $\mathrm{I}_{2}$ একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

খ. সমীকরণগুলোকে $A X=B$ আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে,

$\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l)$

গ. $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ এর সহগ নিয়ে গঠিত $A$ একটি ম্যাট্রিক্স। $A$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর;

যেখানে $l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1$

$A=\left[\begin{array}{ccc}3+x & 4 & 2 \\4 & 2+x & 3 \\2 & 3 & 4+x\end{array}\right]$

ক. $\mathrm{B}+2 \mathrm{I}=\left(\begin{array}{ll}4 & 3 \\2 & 5\end{array}\right)$ হলে $B$ নির্ণয় কর।

খ. $|\mathbf{A}|=0$ হলে সমাধান সেট নির্ণয় কর।

গ. $x=-1$ হলে, $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $f(x)=\ln (\sin x), g(x)$$=\ln (\cos x)$

দৃশ্যকল্প-২ : $A=\left[\begin{array}{cc}x+y+2 z & x \\z & y+z+2 x \\z & x\end{array}\right.$$\quad$$\left.\begin{array}{c}y \\y \\z+x+2 y\end{array}\right]$

ক. দেখাও যে, $\mathrm{e}^{2 \mathrm{~g}(\mathrm{a})}-\mathrm{e}^{2 f(\mathrm{a})}$$=\mathrm{e}^{\mathrm{g}(2 \mathrm{a})}$

খ. $A$ ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক $D$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$D=2(x+y+z)^{3}$

গ. $x=y=z=1$ হলে $A$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\1 & 2 & 3 \\3 & 1 & 1\end{array}\right],$$\mathrm{B}=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\6 & 4 & 3 \\9 & 8 & 4\end{array}\right],$$\mathrm{X}=\left[\begin{array}{l}\mathrm{x} \\\mathrm{y} \\\mathrm{z}\end{array}\right],$$\mathrm{C}=\left[\begin{array}{c}3 \\7 \\11\end{array}\right]$

ক. ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়কের মধ্যে $3$টি পার্থক্য লিখ।

খ. $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{BX}=\mathrm{C}$ হলে, ক্রেমারের সূত্র ব্যবহার করে সমাধান কর ৷

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\-1 & 1 & 1 \\-2 & 2 & -1\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{r}-1 \\0 \\1\end{array}\right]$

ক. $A$ সমঘাতী ম্যাট্রিক্স কিনা যাচাই কর।

খ. $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ হলে, ক্রেমারের সাহায্যে $x, y$ ও $z$ এর মান নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\3 & -3 & -1 \\2 & 1 & 0\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{cc}2 & -y \\1-y & 2\end{array}\right]$$=\left[\begin{array}{cc}2 & 2+y \\x+y & 2\end{array}\right]$ হলে $x=?$

খ. উদ্দীপকের আলোকে $A^{2}-9 A+4 I$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. উদ্দীপকের আলোকে $\left(\mathrm{A}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}$ নির্ণয় কর।

$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}x+y+2 z & x & y \\z & y+z+2 x & y \\z & x & z+x+2 y\end{array}\right]$

ক. k এর মান কত হলে $\left[\begin{array}{cc}5+k & -2 \\-5 & -8\end{array}\right]$ একটি ব্যতিক্রমী বৰ্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

খ. দেখাও যে, $|B|=2(x+y+z)^{3}$

গ. $x=y=z=1$ হলে ${B}^{-1}$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{ccc}3 & -4 & 2 \\-2 & 1 & 0 \\-1 & -1 & 1\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{lll}x & 2 & -2 \\y & 5 & -4 \\z & 7 & -5\end{array}\right]$ দুইটি ম্যাট্রিক্স

ক. $h(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x-5}}$ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

খ. $P$ ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর যেখানে $A P=I_{3}$ হয়।

গ. $A B=I_{3}$ সম্পর্ক থেকে ক্রেমারের সূত্রের সাহায্যে $x, y, z$ নির্ণয় কর।

$A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\1 & 1 & -2 \\4 & 2 & 1\end{array}\right),$$B=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & -1 \\1 & 3 & 1 \\-1 & 2 & 1\end{array}\right)$

ক. A ম্যাট্রিক্স এর সাহায্যে একটি সমমাত্রিক সমীকরণ জোট তৈরি কর।

খ. দেখাও যে,$(\mathrm{AB})^{t}=\mathrm{B}^{t} \mathrm{~A}^{t}$

গ. $\mathrm{BB}^{-1}$ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $11 x+3 y+2 z=23,3$$x+2 y=7, x+z=4$

দৃশ্যকল্প-২ : $A=\left\lvert\, \begin{array}{cc}p & q \\p^{2} & q^{2} \\p^{3}-1 & q^{3}-1\end{array}\right.$$\quad$$\left.\begin{array}{ccc}r \\r^2 \\ r^3 -1\end{array}\right|$

ক. ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়কের মধ্যকার পার্থক্যগুলো লিখ ।

খ. দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী দেখাও যে,

$A=(p q r-1)(p-q)(q-r)(r-p)$

গ. দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মানুযায়ী সমাধান কর।

$A=\left[\begin{array}{lll}y z & x & x^{2} \\z x & y & y^{2} \\x y & z & z^{2}\end{array}\right]$

ক. ম্যাট্রিক্স কী ব্যাখ্যা কর ।

খ. $x=1, y=2, z=0$ হলে, $A^{-1}$ নির্ণয় কর ।

গ. $|\mathrm{A}|=0$ এবং $x \neq y \neq z$ হলে, দেখাও যে,$x y+y z+z x=0$

$A=\left[\begin{array}{cc}a & b \\2 a^{3}+1 & 2 b^{3}+1 \\a^{2} & b^{2}\end{array}\right.$$\left.\begin{array}{c}c \\2 c^{3}+1 \\c^{2}\end{array}\right]$ একটি ম্যাট্রিক্স ।

ক. $B-\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\2 & -2\end{array}\right]$$=\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\1 & 2\end{array}\right]$ হলে $\mathrm{B}^{t}$ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে,

$\operatorname{det}(A)=(1+2 a b c)$$(a-b)(b-c)(a-c)$

গ. $a=1, b=-1, c=2$ হলে $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর ।

$A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 3 \\5 & 2 & 6 \\-2 & -1 & -3\end{array}\right),$$=\left(\begin{array}{cc}1+x^{2}-y^{2} & 2 x y \\2 x y & 1-x^{2}+y^{2} \\2 y & -2 x\end{array}\right.$$\quad$$\left.\begin{array}{c}-2 y \\2 x \\1-x^{2}-y^{2}\end{array}\right)$

ক. $\left[\begin{array}{ll}6 & 2 \\9 & 3\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত যোগ্যতা নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $A$ ম্যাট্রিক্সটি একটি $3$ সূচকের শূন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স।

গ. দেখাও যে, $|B|=\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3}$

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 3 & 2 \\2 & 0 & 3 \\1 & -1 & 1\end{array}\right]$ এবং $f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-2$

ক. $g(x)=\frac{x-3}{2 x+1}$ ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর ৷

খ. $f\left(\mathrm{~A}^{\mathrm{T}}\right)$ নির্ণয় কর । যেখানে $\mathrm{A}^{\mathrm{T}}$ হচ্ছে $A$ এর রূপান্তর ম্যাট্রিক্স ।

গ. $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\-1 & 3 & -1 \\-1 & 2 & -5\end{array}\right],$$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$

ক. $f(x)=\sqrt{\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+3}$ ফাংশনের রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. $A^{t} \mathrm{X}=\left[\begin{array}{l}6 \\1 \\1\end{array}\right]=$ হলে নির্ণায়কের পদ্ধতিতে সমাধান কর।

$A=\left[\begin{array}{cc}a+b+2 c & a \\c & b+c+2 a \\c & a\end{array}\right.$$\quad$$\left.\begin{array}{c}b \\b \\c+a+2 b\end{array}\right]$ একটি ম্যাট্রিক্স ।

ক. $a=b=c=3$ হলে দেখাও যে, $A$ একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স।

খ. দেখাও যে, $\operatorname{det}(A)=2(a+b+c)^{3}$

গ. $\mathrm{a}=0 ; \mathrm{b}=1 ; \mathrm{c}=2$ হলে $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{rrr}4 & 1 & 5 \\-2 & -1 & -3 \\3 & -4 & -9\end{array}\right],$$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{l}2 \\4 \\6\end{array}\right]$

এবং $f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-2 I$

ক. $|\mathrm{A}|$ এর $(3,2)$ তম ভুক্তি নির্ণয় কর।

খ.$f(\mathrm{~A})$ নির্ণয় কর ।

গ. যদি $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ হয়, তবে ক্রেমারের নিয়মের সাহায্যে সমীকরণ জোটটি সমাধান কর ।

$A=\left(\begin{array}{ccc}3+a & 4 & 2 \\4 & 2+a & 3 \\2 & 3 & 4+a\end{array}\right),$$B=\left(\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right)$ এবং $C=\left(\begin{array}{l}3 \\2 \\2\end{array}\right)$

ক. $a=0$ হলে, $|\mathrm{A}|$ নির্ণয় কর ।

খ. ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে $a$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $a=-2$ এবং $A B=C$ হলে $B$ নির্ণয় কর।

$D=\left\lvert\, \begin{array}{cc}1+a^{2}-b^{2} & 2 a b \\2 a b & 1-a^{2}+b^{2} \\2 b & -2 a\end{array}\right.$$\left.\begin{array}{ccc}-2b \\2a \\ 1-a^2-b^2\end{array}\right|$

$A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 5 \\2 & 3 & 1 \\-1 & 1 & 1\end{array}\right]$

ক. প্রমাণ কর যে, $\left[\begin{array}{ccc}0 & b-a & c-a \\a-b & 0 & c-b \\a-c & b-c & 0\end{array}\right]$ একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স ।

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{D}=\left(1+\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)^{3}$

গ. $\mathbf{A}^{-1}$ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $\mathrm{A}=\left\lvert\, \begin{array}{cc}l-\mathrm{m}-\mathrm{n} & 2 l \\2 \mathrm{~m} & \mathrm{~m}-\mathrm{n}-l \\2 \mathrm{n} & 2 \mathrm{n}\end{array}\right.$$\quad$$\left.\begin{array}{ccc}2l \\2m \\ n-l-m\end{array}\right|$$...... (i)$

দৃশ্যকল্প-২ : $\mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 6 \\0 & 2 & -4 \\4 & 0 & 3\end{array}\right]$$......(i)$

ক. যদি $y=f(x)=\frac{4 x-7}{2 x-4}$ হয়, তাহলে, দেখাও যে, $, f^{-1}(\mathrm{x})=f(\mathrm{x})$

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে,$A=(1+m+n)^{3}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে B ম্যাট্রিক্স-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।