Questions in this chapter

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও:

$2 x^{3}-5 x^{2}+6 x-1=0$ বহুপদী সমীকরণের মূল তিনটি $\alpha, \beta$ ও $\gamma$

$\Sigma \alpha^{2}$ এর মান নিচের কোনটি?

উদ্দীপক: দ্বিঘাত সমীকরণ $a x^{2}+b x+b=0 ;[a \neq 0]$

ক. $2 x^{2}-2(p+q) x+\left(p^{2}+q^{2}\right)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে,

প্রমাণ কর যে, $\mathrm{p}=\mathrm{q}$।

খ. উদ্দীপকের মূলদ্বয়ের অনুপাত m : 3n হলে,প্রমাণ কর যে, $\sqrt{\frac{m}{n}}+3 \sqrt{\frac{n}{m}}+\sqrt{\frac{3 b}{a}}=0$

গ. a = 1, b = – 4 এবং উদ্দীপকের সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে, $(\alpha+\beta)$ ও $(\alpha -\beta)$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উদ্দীপক -১ঃ $2 m x^{2}+n x+1=0$ এবং $n x^{2}+2 m x+1=0$

উদ্দীপক -২ঃ $x^{3}+p x^{2}+q x+r=0$

ক. $x^{3}+\left(p^{2}-3\right) x-(p+2)=0$ সমীকরণের একটি মূল $-1+\mathrm{ip}$ হলে, সমীকরণ সমাধান কর।

খ. উদ্দীপক-১ এর সমীকরণ দুইটির একটিমাত্র সাধারণ মূল থাকলে, প্রমাণ কর যে, 2m + n + 1 = 0

গ. উদ্দীপক-২ এর সমীকরণটির মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হলে, $\Sigma(\alpha-\beta)^{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $3 x^{2}+4 x+7=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$।

দৃশ্যকল্প-২: $f(x)=x^{3}-p x^{2}+q x-r$

ক. $\lambda$ এর কোন মানের জন্য $(\lambda+1) x^{2}+2(\lambda+2) x+(\lambda-3)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে $\alpha^{-2}$ ও $\beta^{-2}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $f(x)=0$ সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হলে $\Sigma \frac{1}{\alpha^{3}}$ এর মান নির্ণয় কর৷

$f(x)=3 x^{2}-4 x+1$ এবং $P(x)=x^{3}-7 x^{2}+8 x+10$

ক. f(x) = 0 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. f(x) = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $|\alpha-\beta|$ এবং $\alpha^{2}+\beta^{2}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. P(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 হলে, অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $f(x)=3 x^{3}-2 x^{2}+x-4$

দৃশ্যকল্প-২: $g(x)=x^{4}+3 x^{3}+x^{2}+13 x+30$

ক. কোন শর্তে $2 x^{2}-2(a+b) x+a^{2}+b^{2}=0$ সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে?

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ $f(x)=0$ সমীকরণের মূলত্রয় a, b, c হলে, $\sum \frac{1}{a^{2} b}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ g(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 1 – 2i হলে সমীকরণটির সমাধান কর।

দৃশ্যকল্প-১: $f(x)=a x^{2}+b x+c$

দৃশ্যকল্প-২: $g(x)=p x^{2}+q x+r$

ক. $4 x^{2}-k x+1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে k- এর মান নির্ণয় কর।

খ. g ( x ) = 0 সমীকরণের মূল দুইটি $\alpha$ ও $\alpha^{2}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{p}^{2} \mathrm{r}+\mathrm{pr}^{2}+\mathrm{q}^{3}=3 \mathrm{pqr}$.

গ. f(x) = 0 ও g(x) = 0 সমীকরণদ্বয়ের মূলগুলোর অনুপাত সমান হলে প্রমাণ কর $\frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{ca}}=\frac{\mathrm{q}^{2}}{\mathrm{pr}}$.

$f(x)=x^{2}+x+1$

ক. f (x) = 0 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. $\{\mathrm{f}(\mathrm{x})\}^{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{0}+\mathrm{a}_{1} \mathrm{x}+\mathrm{a}_{2} \mathrm{x}^{2}+$......$+a_{2 n} x^{2 n}$ হলে প্রমাণ কর যে

$a_{0}+a_{3}+a_{6}+$ ... .... $=3^{n-1}$

গ. f(x) = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\alpha+\frac{1}{\beta}$ এবং $\beta+\frac{1}{\alpha}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।

$\text{ (i) }\mathrm{ax}^2-2\mathrm{cx}+2\mathrm{~b}=0\text{; }$

$\text{ (ii) }\mathrm{ax}^2-2\mathrm{bx}+2\mathrm{~c}=0\text{ }$

ক. a + b + c = 0 এবং a, b, c বাস্তব হলে দেখাও যে,(ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।

খ. (i) ও (ii) নং সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, a + 2b + 2c = 0

গ. সমীকরণ (i) ও (ii) এর মূলদ্বয়ের পার্থক্য সমান হলে দেখাও যে, b = c এবং b + c + 2a = 0

দৃশ্যকল্প-১: $3 x^{2}-4 x+1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় a ও b.

দৃশ্যকল্প-২: $x^{2}-q x+r=0$ সমীকরণের মূল দুইটি $\alpha$ ও $\beta$

ক. $9 x^{2}-(k+2) x+4$ রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে, k এর মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে $a+\frac{1}{b}$ ও $b+\frac{1}{a}$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর $\alpha$ ও $\beta$ ব্যবহার করে $r\left(x^{2}+1\right)-\left(q^{2}-2 r\right) x=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়কে $\alpha$ ও $\beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

$\text { i. } m x^{2}+n x+n=L$

$\text { ii. } S=6 x^{3}-20 x^{2}+5$ এবং $T=6-6 x-9 x^{2}$

ক. একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল $\frac{1}{2+3 i}$

খ. যদি L = 0 সমীকরণের মূল দুটির অনুপাত p : q হয় তাহলে প্রমাণ কর যে, $\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{n}{m}}=0$

গ. যদি S = T সমীকরণটির মূলগুলো সমান্তর প্রগমনের গৌণিক বিপরীত প্রগমনভুক্ত হয় তবে, x-এর মান নির্ণয় কর।

$f(x)=m x^{2}+n x+l$

ক. $3 x^{3}-2 x^{2}+1=0$ সমীকরণের মূলগুলো $\alpha, \beta, \gamma$ হলে $\Sigma \alpha^{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. যদি f(x) = 0 সমীকরণের মূল দুটি p ও q হয়, তবে দেখাও যে $(\mathrm{mp}+\mathrm{n})^{-2}+(\mathrm{mq}+\mathrm{n})^{-2}=\frac{\mathrm{n}^{2}-2 l \mathrm{~m}}{l^{2} \mathrm{~m}^{2}}$

গ. যদি f(y) = 0 এবং $f\left(\frac{1}{y}\right)=0$ সমীকরণের একটি মূল সাধারণ হয়,

তবে দেখাও যে $l+\mathrm{m}= \pm \mathrm{n} .$

দৃশ্যকল্প-১: $a x^{2}+b x+c=0$ এবং $b x^{2}+c x+a=0$

দৃশ্যকল্প-২: $8 x^{3}-36 x^{2}+22 x+21=0$

ক. $z_{1}=3+3 i, z_{2}=4+5 i$ হলে দেখাও যে, $\overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর দ্বিঘাত সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3 a b c$.

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণের মূলত্রয় সমান্তর প্রগমনভুক্ত হলে মূলগুলো নির্ণয় কর।

$\mathrm{q}(\mathrm{x})\ =\ l\mathrm{x}^2+\mathrm{mx}+\mathrm{n},\mathrm{r}(\mathrm{x})=\mathrm{n}\mathrm{x}^2+\mathrm{mx}+\mathrm{l}$

এবং $\bar{z}=x+i y$

ক. দেখাও যে, p = q না হলে $2 x^{2}-2(p+q) x+\left(p^{2}+q^{2}\right)=0$ সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না।

খ. $|z+3|+|\bar{z}-3|=10$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার পথের সমীকরণের শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

গ. r (x) = 0 সমীকরণের একটি মূল q (x) = 0 সমীকরণের একটি মূলের দ্বিগুণ হলে,

দেখাও যে, $l=2 \mathrm{n}$ অথবা $2 \mathrm{~m}^{2}=(l+2 \mathrm{n})^{2}$

উদ্দীপকে : $f(x)=a x^{2}+b x+b$ এবং $g(x)=3 x^{3}-26 x^{2}+52 x-24$

ক. $\mathbf{x}^{2}+7 \mathbf{x}+\mathbf{k}=\mathbf{0}$ সমীকরণের একটি মূল $–8$ হলে $k$ এর মান ও অপর মূলটি নির্ণয় কর।

খ. যদি $f(x)=0$ এর মূলদ্বয়ের অনুপাত $\mathbf{p}: \mathbf{q}$ হয়, তবে দেখাও যে,

$\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=0$

গ. $\mathbf{g}(\mathbf{x})=0$ সমীকরণের মূলগুলো গুণোত্তর প্রগমনে হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।

$\begin{array}{ll}f(x)=x^{2}-4 x+5, & g(x)=x+1 \\\varphi(x)=l x^{2}+m x+n, & \psi(x)=n x^{2}+m x+l\end{array}$

ক. দেখাও যে, $2 x^{2}+6 x-8=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ হবে।

খ. $\varphi(x)=0$ এবং $\psi(x)=0$ সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সাধারণ মূল থাকলে $m$ কে $\boldsymbol{l}$ ও $n$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

গ. $f(x) \cdot g(x)=0$ সমীকরণের মূলত্রয় $\mathbf{p}, \mathbf{q}, \mathbf{r}$ হলে $\Sigma p^{3} q^{}$ নির্ণয় কর।

$\begin{array}{l}f_{1}(x)=4 x^{2}-7 x+3 \\f_{2}(x)=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma\end{array}$

ক. $z=-4+4 i$ এর মডুলাস ও মুখ্য আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. $f_{2}(x)=0$ সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হলে $a$ এর মান নির্ণয় কর, যেখানে $\alpha=9, \beta=2$ এবং $\gamma=-\frac{1}{3}(a+2)$

গ. $f_{1}(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\mathbf{p}, \mathbf{q}$ হলে $\frac{1}{\mathbf{p}^{3}}$ ও $\frac{1}{\mathbf{q}^{3}}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।

$10 x^{2}-8 x+1=0$ এবং $2 x^{3}-3 x^{2}+4 x-1=0$ দুইটি বহুপদী সমীকরণ।

ক. $3 x^{2}+2 x+1=0$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় হবে উদ্দীপকে উল্লিখিত দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল ও অন্তরফলের যোগবোধক মান ।

গ. উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিঘাত সমীকণের মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হলে $\Sigma \alpha^{2} \beta$ এর মান নির্ণয় কর ।

উদ্দীপক -১ : $x^{2}-2 x+b=0$ এবং $x^{2}-b x+2=0$ দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

উদ্দীপক-২ : $x^{4}-7 x^{3}+18 x^{2}-22 x+12=0$ সমীকরণের একটি মূল $1+i$

ক. a এর মান কত হলে $(a-1) x^{2}+(a+2) x+4=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ দুইটির মূলদ্বয়ের পার্থক্য একটি ধ্রুব রাশি হলে প্রমাণ কর যে, $b^{2}+4 b-12=0$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লিখিত সমীকরণটি সমাধান কর।

$f(x)=a x^{2}+b x+c$ এবং $g(x)=x^{2}-p x+q$

ক. $3 x^{2}-m x+4=0$ সমীকরণের একটি মূল অপর মূলটির তিনগুণ হলে, $m$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(x)=0$ সমীকরণের মূল দুটির অনুপাত $r$ হলে, দেখাও যে,$\frac{(\mathrm{r}+1)^{2}}{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{ac}}$

গ. $g(\mathbf{x})=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়, $\alpha, \beta$ হলে, $\frac{q}{p-\alpha}$ এবং $\frac{q}{p-\beta}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।