Questions in this chapter

$f(x)=p x^{2}+2 q x+r, g(x)=x^{2}+(p+r) x+\left(p^{2}+r^{2}+2 q^{2}\right)$

এবং $M(y)=8 y^{3}-42 y^{2}+63 y-27$

ক. $x^{2}-6 x+25=0$ সমীকরণের x এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, দেখাও যে,

$\mathbf{g}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$ সমীকরণের মূলদ্বয় কাল্পনিক হবে ।

গ. $M(\mathbf{x})=0$ সমীকরণটির মূলগুলো গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত হলে সমীকরণটির সমাধান কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $z=32+i$

দৃশ্যকল্প-২ : $\left(m^{2}+n^{2}\right) x^{2}+2(m p+n q) x+p^{2}+q^{2}=0$

ক. $a+i b=e^{i \theta}$ হলে দেখাও যে, $a^{2}+b^{2}=1$

খ. দৃশ্যকল্প-১ থেকে $z+\bar{z}$ এর ঘনমূল নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হলে তারা সমান হবে এবং সমান মূলগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $m x^{2}+n x+p=0 \ldots \ldots\text { ... (i) }$

দৃশ্যকল্প-২ : $p x^{2}-4 n x+16 m=0 \ldots \ldots(2)$

ক. $(a+1) x^{2}+x+1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হলে এর মান বাহির কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর $(1)$ এর সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\boldsymbol{\beta}$ হলে $(2)$ নং সমীকরণের মূলদ্বয়কে $\alpha$ ও $\boldsymbol{\beta}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হইলে হল $\Sigma \frac{1}{\alpha^{3}}$ এর মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ : $x^{2}-b x-c=0$ সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান।

উদ্দীপক-২ : $a x^{2}+2 b x+c=0$ এর একটি মূল $c x^{2}+2 b x+a=0$ সমীকরণের একটি মূলের তিনগুণ।

ক. $2 x^{2}+x+1=0$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে দেখাও যে, $b^{3}+c(3 b+1)-c^{2}=0$

গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, $c=3 a$ অথবা $12 b^{2}=(c+3 a)^{2}$

উদ্দীপক-১ : $a x^{3}+b x+c=0$ সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$

উদ্দীপক-২ : $(y+i x)^{\frac{1}{3}}=a+i b$ একটি সমীকরণ।

ক. $3 x^{2}+2 x+2=0$ এর মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$ এর মান বের কর ।

খ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে $\frac{\gamma^{2}}{\alpha+\beta}, \frac{\alpha^{2}}{\beta+\gamma}$ ও $\frac{\beta^{2}}{\gamma+\alpha}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর ৷

গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, $a x+b y=4 a b\left(a^{2}-b^{2}\right)$

$P(x)=a x^{2}+b x+c$

ক. $x^{2}-4 x+4=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. $P(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\boldsymbol{\alpha}$ ও $\beta$ হলে $a x^{2}-2 b x+4 c=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

গ. $P(\mathbf{x})=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য $2 \pi$ হলে প্রমাণ কর যে,

$b^{2}-4 a c=4 a^{2} \pi^{2}$

$z=x+i y$ একটি জটিল রাশি এবং $g(x)=x^{2}+2 x+q$ একটি ফাংশন

ক. $(2-3 i)$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $|2+3|=4$ বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

গ. $g(x)=0$ সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হলে, প্ৰমাণ কর যে, $q^{2}-5 q+8=0$

দৃশ্যকল্প-১ : $(p+1) x^{2}+2(p+3) x+2 p+3=0$ একটি রাশি।

দৃশ্যকল্প-২ : $a x^{2}+3 x+c=0$ এবং $c x^{2}+3 x+a=0$ দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

ক. $2 x^{3}-9 x^{2}+9 x+2 \equiv(x-2)\left(a x^{2}+b x+c\right)$ হলে $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ এর মান নির্ণয় কর যেখানে $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ এবং $c$ ধ্রুবক ।

খ. $p$ এর মান কত হলে ১ম দৃশ্যকল্পে উল্লিখিত রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

গ. যদি দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকে তাহলে প্রমাণ কর যে, $c+a= \pm 3$

$x^{2}-2 a x+a^{2}-b^{2}=0\ldots \ldots\text { ... (i) }$

$x^{4}-9 x^{3}+27 x^{2}-33 x+14=0 \ldots \ldots\text { ... (i) }$

ক. $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ মূলদ হলে, দেখাও যে, (i) সমীকরণের মূলদ্বয় সর্বদা মূলদ হবে ।

খ. (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে $\alpha+\beta$ ও $|\alpha-\beta|$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. (ii) নং সমীকরণের একটি মূল $3-\sqrt{2}$ হলে সমীকরণটি সমাধান কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $p(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)$

দৃশ্যকল্প-২ : $a x^{2}+b x+c=0\ldots \ldots\text { ... (i) }$

$c x^{2}-2 b x+4 a=0\ldots \ldots\text { ... (ii) }$

ক. $-2 i$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. $\mathbf{p}(\mathbf{x})$ রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে দেখাও যে, $\mathbf{a}=\mathbf{b}=\mathbf{c}$

গ. (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ এবং (ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয়

$\beta$ ও $\boldsymbol{\gamma}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $2 \mathbf{a}+\mathbf{c}=0$ অথবা, $(2 a-c)^{2}+2 b^{2}=0$

$8 x^{2}+2 x-(b+4)=0$ এবং $y^{2}+y+1=0$ দুটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

ক. $2-\sqrt{-3}$ মূলবিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. ১ম সমীকরণের একটি মূল যদি অপরটির বর্গের সমান হয় তবে $b$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. ২য় সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে দেখাও যে, $\alpha^{2}=\beta$ এবং $\beta^{2}=\alpha$

$\begin{array}{l}f(x)=x^{2}+2 p x+q \\g(x)=x^{2}+m x+l\end{array}$

ক. $m$ এর মান কত হলে $\left(m^{2}-3\right) x^{2}+3 m x+3 m+1=0$ সমীকরণের মূল দুটি পরস্পর গৌণিক বিপরীতক হবে.

খ. $f(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$ হলে $q(x+1)^{2}=4 {p}^{2} x$ সমীকরণের মূল দুটি $\alpha$ এবং $\boldsymbol{\beta}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ৷

গ. $f(x)=0$ সমীকরণে $p=\frac{l}{2}$ এবং $q=m .$ আবার, $f(x)=0$ ও $g(x)=0$ সমীকরণদ্বয়ের একটি

সাধারণ মূল বিদ্যমান হলে দেখাও যে, $2 x^{2}+(l+m-2) x=(l+m-2)^{2}$ সমীকরণের মূলদ্বয় $3$ এবং $\frac{-3}{2} .$

$\begin{array}{l}\varphi(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \\\psi(x)=x^{2}-m x+l\end{array}$

ক. $a$ এর মান কত হলে $(a-1) x^{2}-(a+2) x+4=0$ সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব ও সমান হবে?

খ. $\varphi(x)=0$ সমীকরণে $a=4, b=-2, c=0$ এবং $d = 3$ হলে এবং মূলগুলো $\alpha, \beta, \gamma$ হলে $\Sigma \alpha^{2} \beta$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\varphi(x)=0$ সমীকরণে $a=0, b=1, c=-l$ এবং $d=m$ হলে; $\varphi(x)=0$ এবং $\psi(x)=0$ সমীকরণের

মূলদ্বয়ের পার্থক্য একটি ধ্রুবক রাশি হলে প্রমাণ কর যে, $l+m+4=0$

$x^{2}+c x+b=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta .$.

ক. $a$ এর মান কত হলে $x^{2}-4 a x+4=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে?

খ. $b\left(x^{2}+1\right)-\left(c^{2}-2 b\right) x=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়কে $\alpha$ ও $\boldsymbol{\beta}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

গ. $\alpha+\frac{1}{\beta}$ ও $\beta_{}+\frac{1}{\alpha}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর ।

উদ্দীপক-১ : $x^{3}-2 x^{2}+1=0$ সমীকরণের মূলত্রয় $a, b, c$

উদ্দীপক-২ : $p x^{2}+q x+r=0$ সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান ।

ক. $x^{2}-x+k=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হলে, $k$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে $\Sigma a^{2} b$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, $r(p-q)^{3}=p(r-q)^{3}$

দৃশ্যকল্প-১ : $x^{2}-p x+p q=0$

দৃশ্যকল্প-২ : $x^{2}+a x+b=0 \text { and } x^{2}+b x+a=0 \text {. }$

ক. $x^{3}+q x+r=0$ সমীকরণের মূলগুলো $a, b, c$ হলে $(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণটির মূলদ্বয়ের অন্তর $\boldsymbol{r}$ হলে $p$ কে $q$ ও $r$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, তাদের অপর দুটি মূল দ্বারা গঠিত সমীকরণটি $x^{2}+x+a b=0$

দৃশ্যকল্প-১ : $a x^{2}+b x-c=2$

দৃশ্যকল্প-২ : $8 x^{3}-42 x^{2}+63 x-27=0$

ক. মূলদ সহগবিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল $(3+\sqrt{2} i)^{-1}$

খ. যদি দৃশ্যকল্প-১ এ $a=27, b=6, c=m$ এবং সমীকরণটির একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হয়, তবে $m$ এর মানগুলো নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটি সমাধান কর, যেখানে মূলগুলো গুণোত্তর প্রগমন শ্রেণিভূক্ত।

দৃশ্যকল্প-১ : একটি ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল $2-3 \sqrt{-1}$ এবং মূলগুলোর গুণফল $65$ ।

দৃশ্যকল্প-২ : $l x^{2}+m x+m=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত $a: b$

ক. $(m-1) x^{2}-(m+1) x+2=0, m$ এর মান কত হলে প্রদত্ত সমীকরণের মূলগুলো সমান হবে ?

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, $\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{m}{l}}=0 .$

দৃশ্যকল্প-১ : $3 x^{3}+2 x^{2}-x-1=0$ সমীকরণের তিনটি মূল $\alpha, \beta, \gamma$

দৃশ্যকল্প-২: $x^{2}+g x+h=0, x^{2}+h x+g=0$

ক. $x^{2}+x+1=0$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর ৷

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি গঠন কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকিলে, অপর মূলদ্বয় দ্বারা সমীকরণ গঠন কর ।

দৃশ্যকল্প-১ : $2 x^{2}-3 x+1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

দৃশ্যকল্প-২ : $x^{2}+{x}-k=0$ এবং $x^{2}-7 x+(k+4)=0$ দুটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।

ক. $3 x^{2}+2 x+5=0$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে $\alpha+\beta$ এবং $\alpha \beta$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে সমীকরণ দুটির একটি মাত্র সাধারণ মূল থাকলে $\boldsymbol{k}$ এর মান নির্ণয় কর।