Questions in this chapter

$f(x)=\sin x$

ক. $tan^{-1}(-√3)$ এর মূখ্যমান নির্ণয় কর ।

খ. $4\left[\{f(x)\}^{2}+\sqrt{1-\{f(x)\}^{2}}\right]=5 ;(-2 \pi<x<2 \pi)$ সমীকরণটি সমাধান কর ।

গ. প্রমাণ কর যে, $\sin ^{-1}(\sqrt{2} f(x))+\operatorname{cosec}^{-1} \sqrt{\frac{1}{\sqrt{1-f(2(x))^{2}}}}=\frac{\pi}{2}$

$P=x^{2}-y^{2}+1$ এবং $g(x)=\sin x$

ক. দেখাও যে, $\sin ^{-1} x=\cos ^{-1} \sqrt{1-x^{2}}$

খ. $\cos ^{-1} \sin 2 \tan ^{-1} \cot \operatorname{cosec}^{-1} \sqrt{\mathrm{P}}=0$ হলে দেখাও যে,$x^{2}-y^{2}=1$

গ. $0<x<2 \pi$ ব্যবধিতে $2 g(x) g(3 x)=1$ সমীকরণটি সমাধান কর।

$P(x)=2 \tan ^{-1} x$

ক. প্রমাণ কর যে, $P(x)=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}$

খ. দেখাও যে, $P\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right)=\cos ^{-1} \frac{b+a \cos \theta}{a+b \cos \theta}$

গ. দেখাও যে, $\tan (P(x))=2 \tan \left(\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} x^{3}\right)$

একটি সার্চ লাইট থেকে দুটি দেয়াল $AB$ ও $BC$ এর দূরত্ব যথাক্রমে x এবং y। দেয়াল দুটি পর্যবেক্ষনের জন্য সার্চ

লাইটটিকে X যথাক্রমে $\cos ^{-1} x$ এবং $\cos ^{-1} y$ কোণে ঘুরাতে হয় এবং কোণদ্বয়ের সমষ্টি $\frac{\pi}{2}$

ক. $\sin \cot ^{-1} \tan \cos ^{-1} \frac{3}{4}$ নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে $x^{2}+y^{2}=1$

গ. $AB$ দেয়াল দ্বারা সার্চলাইটে উৎপন্ন কোণ $\theta$ হলে $x+y=\sqrt{2}$ কে সমাধান করে $\theta$ নির্ণয় কর।

ক. $4\left(\sin ^{2} x+\cos x\right)=5$ এর সমাধান কর ।

খ. নদীর প্রস্থ $1$ একক হলে $xy = 1$ কে সমাধান করে $\theta$ নির্ণয় কর

যেখানে, $0 \leq \theta \leq 2 \pi$

গ. $\angle \mathrm{A}=\tan ^{-1} 2$ এর $\angle B=\tan ^{-1} 3$ হলে প্রমাণ কর যে, $\theta=\frac{\pi}{16}$

$m=\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z$

ক. $\left(\tan ^{-1} \frac{5}{7}+\tan ^{-1} \frac{5}{8}\right)$ -কে ট্যানজেন্ট এর বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. $x=\frac{1}{2} \tan 2 A ; y=\cot A$ এবং $z=\cot ^{3} A$ হলে $m$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{m}=\frac{\pi}{2}$ হলে দেখাও যে, $x y+y z+z x=1$

$\cos \theta-\cos 7 \theta=\mathrm{P}$ যখন একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

ক. $\cos 7 \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ হলে ${\theta}$ নির্ণয় কর।

খ. $P=\sin 4 \theta$ হলে সমীকরণটি সমাধান কর।

গ. লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে $\theta$ নির্ণয় কর যখন

$P=\sin \theta-\cos 7 \theta+\frac{1}{\sqrt{2}}$ যখন $-\pi<\theta<\pi$

$P=\cos \theta$ এবং $\mathrm{Q}=\sin \theta;$ এখানে $\theta$ হল জ্যামিতিক কোণ ।

ক. $Q=\frac{\sqrt{3}}{2}$ হলে $\theta$ নির্ণয় কর।

খ. $P+\sqrt{3} Q=\sqrt{2}$ হলে $\theta$ নির্ণয় কর।

গ. $P^{3}-P Q-Q^{3}=1$ হলে প্রমাণ কর যে, $\theta$ কখনোই একটি

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণ হতে পারে না ।

$2 \sin \angle \mathrm{CAD} \cdot \sin \angle \mathrm{BAE}=1$

ক. $\sec \cot ^{-1} \tan \operatorname{cosec}^{-1} \frac{7}{5}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\theta$ নির্ণয় কর।

গ. $\theta=\frac{\pi}{3}$ অথবা $\frac{\pi}{6}$ হলে প্রমাণ কর যে, $(\mathrm{AC}+\mathrm{AD})$ এর

দৈর্ঘ্য $4 \sqrt{3}$ অথবা $4$

ক. দেখাও যে, $2 \sin _{\circ}^{-1} \frac{A B}{\sqrt{2}}=\cos ^{-1}\left(C D^{2}\right)$

খ. $\angle \mathrm{COD}+\angle \mathrm{AOB}$ এর মান রেডিয়ানে নির্ণয় কর।

গ. $\left(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AB}}\right) \cdot\left(\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{CD}}\right)=1$ হলে দেখাও যে, $\angle \mathrm{OBC}+\angle \mathrm{OCB}=3 \theta$

$\angle A B C$ এর সমদ্বিখণ্ডক $\mathrm{BF}, \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ এবং $AD = 3$

ক. দেখাও যে, $\alpha=\sin ^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}$

খ. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সাহায্যে দেখাও যে,

$\alpha-\frac{\beta}{2}+\gamma=\tan ^{-1} 2$

গ. $\text { DF }$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

জোয়ারের সময় সমুদ্রের পানি স্বাভাবিকের থেকে উপরে উঠে যায় এবং ভাটার সময় নিচে নেমে যায়। আবহাওয়াবিদগণ

সেন্টমার্টিন দ্বীপে সমুদ্রের পানির এই ওঠানামাকে একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

$f(x)=\sin \left(\pi \cos \frac{x}{4}\right)-\cos \left(\pi \sin \frac{x}{4}\right)$ দ্বারা উপস্থাপন করলেন যেখানে x হল সময় ।

ক. রাত বারটা $(0: 00 \mathrm{hr})$ এ সমুদ্রের পানির উচ্চতা নির্ণয় কর।

খ. $f(x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর যখন $0 \leq x \leq 2 \pi \text {. }$

গ. সমুদ্রের পানির উচ্চতা স্বাভাবিক থাকার শর্তে $[\mathrm{f}(\mathrm{x})=0]$ দেখা

যে, $x= \pm 2 \sin ^{-1} \frac{3}{4}$

$\mathrm{S}_{1}$ স্প্রিংটি $13m$ লম্বা $AB$ দণ্ডের সাহায্যে $O$ বিন্দুতে আটকানো এবং $S_{2}$ স্প্রিংটি $C$ বিন্দুতে একটি অজানা ভরের

সাহায্যে ঝুলানো হলো। $AO$ কে $\mathrm{y}_{1}$ এবং $D$ বিন্দুর উচ্চতাকে দ্বারা $y_{2}$ সংজ্ঞায়িত করা হল যেখানে $t$ হল সময়ের

পরিমাণ। $t = 0$ সময়ে $A$ ও $D$ উভয়ই ভূমি থেকে সর্বোচ্চ অবস্থানে থাকে ।

ক. $A$ বিন্দুর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন অবস্থান নির্ণয় কর।

খ. $AB$ এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন অবস্থানের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

গ. $0<t<2 \pi$ সময়ের মধ্যে কখন $A$ এবং $D$ বিন্দু ভূমি থেকে একই উচ্চতায় থাকবে তা নির্ণয় কর।

$P=\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{5}{13}-\cot ^{-1} 2$ এবং $\sqrt{3} \cos x+\sin x =1......(\mathrm i)$

ক. $1-y=(1+x)^{-1}$ হলে দেখাও যে, $x=y+y^{2}+y^{3}+y^{4}+\ldots$

খ. $\sec ^{2} \mathrm{P}$ নির্ণয় কর ।

গ. $0 \leq x \leq 2 \pi$ ব্যবধিতে (i) নং সমীকরণ সমাধান কর।

$P=\cos \theta+\sin \theta ; Q=\cos \theta-\sin \theta$

ক. $\frac{p}{Q}=1$ হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় করো যখন $-\pi<\theta<\pi$

খ. $p=1$ হলে দেখাও যে, $\theta=2 \mathrm{n} \pi$ বা $(4 h+1) \frac{\pi}{2}$ যখন $n$ শূন্য বা যে কোনো পূর্ণসংখ্যা ।

গ. $Q=\frac{1}{\sqrt{2}}$ হলে $-\pi<\theta<\pi$ ব্যবধিতে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

$f(x)=\sin x$ একটি বৃত্তীয় ফাংশন

ক. $x+y^{}+z=\pi, \tan ^{-1} 2=x$

এবং $\tan ^{-1} 3=y$ হলে $z$ এর মান নির্ণয় কর ৷

খ. সমাধান কর: $f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sqrt{3} f(x)=\sqrt{2}$

গ. $f\left(\pi f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=f\left(\frac{\pi}{2}-\pi f(x)\right)$ হলে দেখাও যে,

$x= \pm \frac{\pi}{4}+\cos ^{-1} \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

$A=\cos ^{-1} x, B=\cot ^{-1} y$ এবং $g(\theta)=\cos \theta$

ক. $\sin \left(2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $x=\frac{1}{3}$ এবং $y=\frac{1}{4}$ হলে দেখাও যে, $\sec ^{2} A+\operatorname{cosec}^{2} B=\frac{161}{16}$

গ. $g(\theta)-g(9 \theta)=\sin 5 \theta$ হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর ।

$f(x)=\tan ^{-1} x$ দ্বারা একটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হলো ।

ক. $\sin ^{2}\left(\cos ^{-1} \frac{1}{3}\right)-\cos ^{2}\left(\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\tan \{2 \mathrm{f}(\mathrm{x})\}=2 \tan \left\{\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^{3}\right)\right\}$

গ. $2 f(x)=\sin ^{-1} \frac{2 a}{1+a^{2}}-\cos ^{-1} \frac{1-b^{2}}{1+b^{2}}$ হলে

দেখাও যে, $x=\frac{a-b}{1+a b}$

$f(x)=\sin x$ এবং $g(x)=\sec ^{-1} \frac{x}{a}-\sec ^{-1} \frac{x}{b}$

ক. দেখাও যে, $x=\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{3}{5}$ হলে $\tan x=\frac{1}{2}$

খ. $g(x)=\sec ^{-1} b-\sec ^{-1} a$ হলে দেখাও যে, $x=a b$

গ. সমাধান কর:$\frac{f(x)}{\sqrt{1-f^{2}(x)}}+\frac{f(3 x)}{\sqrt{1-f^{2}(3 x)}}$

$+\sqrt{3} \frac{f(x) f(3 x)}{\sqrt{\left\{1-f^{2}(x)\right\}\left\{1-f^{2}(3 x)\right\}}}=\sqrt{3}$

একটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন :

$\sin (\pi \cos \theta)=\cos (\pi \sin \theta)$

একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ: $2 \sin ^{2} x=3 \cos x$

ক. দেখাও যে, $\cot \cos ^{-1} \cdot \sin \tan ^{-1} x=x$

খ. প্রথম ত্রিকোণমিতি সমীকরণের ক্ষেত্রে দেখাও যে, $\theta= \pm \frac{\pi}{4}+\cos ^{-1} \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

গ. $0<x<2 \pi$ ব্যবধিতে সমীকরণটির সমাধান নির্ণয় কর।