Questions in this chapter

দৃশ্যকল্প-১ : $(a+p x)^{n}, n \in \mathbb{N}$ একটি দ্বিপদী রাশি ।

দৃশ্যকল্প-২ : $\varphi(x)=p x^{2}+q x+r ; p \neq 0$

ক. যদি $\left(2 x^{2}+\frac{k}{x^{3}}\right)^{10}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{5}$ এবং $x^{15}$ এর সহগ দুইটি সমান হলে,

$k$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $a = p = 1$ হলে, দৃশ্যকল্প-১ এর জন্য বিস্তৃতিতে যদি $a, b, c, d$ যথাক্রমে ষষ্ঠ, সপ্তম,

অষ্টম ও নবম পদ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\frac{b^{2}-a c}{c^{2}-d b}=\frac{4 a}{3 c}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে $\mathrm{p}=15, \mathrm{q}=-8, \mathrm{r}=1$ হলে, $\mathbf{x}\{\varphi(\mathbf{x})\}^{-1}$ এর বিস্তৃতিতে

$\mathrm{x}^{99}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $f(x)=p x^{2}+q x+r, g(x)=r x^{2}+q x+p$

দৃশ্যকল্প—2 : $h(x)=a+b x+c x^{2}$

ক. $p$ এবং $q$ যোগবোধক পূর্ণসংখ্যা হলে $\frac{(1+x)^{2 p+q}}{x^{q}}$ বিস্তৃতিতে x বর্জিত পদটির মান নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প–১ থেকে $f(x) = 0$ এর একটি মূল $g(x) = 0$ সমীকরণের একটি মূলের তিনগুণ

হলে দেখাও যে, $3p = r$ অথবা $(3 p+r)^{2}=3 q^{2}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ থেকে, $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=-1, \mathrm{c}=-12$ হলে $\{\mathbf{h}(\mathbf{x})\}^{-1}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{19}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প—১ : $f(y)=y-1$

দৃশ্যকল্প—২ : $(1+a y)^{m}$ একটি দ্বিপদী রাশি ।

ক. $\left(y^{2}-2+\frac{1}{y^{2}}\right)^{9}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প—১ হতে, $\frac{1}{|f(y)|}>5$ হলে, দেখাও যে,

$|f(y) \cdot\{f(y)+2\}|<\frac{11}{25}$

গ. দৃশ্যকল্প—২ হতে, $a=-8$ এবং $m=-\frac{1}{2}$ হলে, দেখাও যে, দ্বিপদী রাশিটির- $y^{r}$

এর সহগ $\frac{(2 r) ! \cdot 2^{r}}{(r !)^{2}}$

$g(x)=4 x, P(y)=\frac{(1+y)^{n}}{1-y}$

ক. $l$ ও $m$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে $\{1+g(x)\}^{l}\left\{1+\frac{1}{g(x)}\right\}^{m}$ বিস্তৃতিতে x

বর্জিত পদটি নির্ণয় কর। এর

খ. প্রমাণ কর যে, $P(x)$ এর বিস্তৃতিতে $\mathbf{x}^{n}$ এর সহগ $2^{\mathrm{n}}$ যেখানে $\mathbf{n} \in \mathbb{N}$

গ. দেখাও যে, $\frac{1}{\sqrt{1-g(x)}}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ $\frac{(2 r) !}{(r !)^{2}}$

$p(x)=6 x^{2}-5 x+1$ এবং $p(x)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

ক. k এর মান কত হলে $(k-1) x^{2}-(k+2) x+4=0$ সমীকরণের মূলগুলো

বাস্তব এবং সমান হবে?

খ. $\alpha+\frac{1}{\beta}$ এবং $\beta+\frac{1}{\alpha}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর ।

গ. প্রমাণ কর যে, $\left\{\frac{(1-3 x)}{p(x)}\right\}^{\frac{1}{2}}$ এর বিস্তৃতিতে $(r + 1)$ তম পদের

সহগ $\frac{(2 r) !}{(r !)^{2} \cdot 2^{r}}$ যেখানে $|x|<\frac{1}{2}$

$P(x)=\left(x-\frac{1}{2 x}\right), f(x)=(1-2 x)(1-3 x)$

ক. $z=\sqrt{12}+6\left(\frac{1-i}{1+i}\right)$ হলে $|\mathbf{z}|$ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\{\mathrm{P}(\mathrm{x})\}^{2 \mathrm{n}}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ

$\Rightarrow \frac{1.3 .5 \cdots \cdots \cdots \cdot(2 n-1)}{n !} \cdot(-1)^{n}$

গ. দেখাও যে, $\{f(x)\}^{-1}$ এর বিস্তৃতিতে $\mathbf{x}^{\mathrm{r}}$ এর সহগ $3^{r+1}-2^{r+1}$

$x^{2}-b x+c=0$ ও $x^{2}-c x+b=0$ দুইটি বহুপদী সমীকরণ এবং একটি দ্বিপদী রাশি $(1-2 x)^{-\frac{1}{2}}$ যেখানে, $|x|<\frac{1}{2}$

ক. $\left(2 x-\frac{1}{4 x^{2}}\right)^{12}$ এর সম্প্রসারণে x বর্জিত পদটির মান নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকে উল্লেখিত সমীকরণদ্বয়ের মূলগুলির মধ্যে কেবল একটি ধ্রুবকের

পার্থক্য থাকলে দেখাও যে ,$\mathrm{b}+\mathrm{c}+4=0$

গ. দেখাও যে, রাশিটির বিস্তৃতিতে $(r + 1)$ তম পদের সহগ $\frac{(2 r) !}{(r !)^{2} \cdot 2^{r}}$·

সমীকরণ—১ : $a x^{2}+b x-(R+2)=0$

বিস্তৃতি-১ : $\left(2 x-\frac{1}{4 x^{2}}\right)^{n}$

ক. $y=x-x^{2}+x^{3}-x^{4}+......$ হলে x কে y 'এর ঊর্ধ্বক্রমিক ধারায় প্রকাশ কর ৷

খ. সমীকরণ-১ এর একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হলে $R$ এর মান নির্ণয় কর।

যখন $a=27, b=6$

গ. $\mathrm{n}=12$ হলে বিস্তৃতি-১ এর x বর্জিত পদের মান নির্ণয় কর ।

দৃশ্যকল্প—i : $\frac{1}{x}-\frac{1}{p-x}=\frac{1}{q^{\prime}}$ দৃশ্যকল্প—ii : $(a+3 x)^{n}$

ক. $p = q = 1$ হলে দৃশ্যকল্প-1 এর আলোকে সমীকরণটির মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প—i : এর সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর $r$ হলে $p$ এর মান $q$ ও $r$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গ. দৃশ্যকল্প—ii : এর বিস্তৃতির প্রথম তিনটি পদ যথাক্রমে $\mathrm{b}, \frac{21}{2} \mathrm{bx}$ ও $\frac{189}{4} \mathrm{bx}^{2}$ হলে $a, b$ ও $n$ এর মান নির্ণয় কর ।

$A=3-2 x$ ও $B=1-2 x$ দুইটি দ্বিপদী রাশি ।

ক. x এর কোন মানের জন্য $\mathrm{A}^{\frac{2}{3}}$ অভিসারী হবে?

খ. $\frac{A}{B(B+{x})}$ কে $n$ তম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর ।

গ. দেখাও যে, $\frac{1}{\sqrt{B}}$ রাশিটির বিস্তৃতিতে $(r+1)$ তম পদের সহগ হলো $\frac{(2 r) !}{(r !)^{2} \times 2^{r}}$

$f(x)=\left(1-\frac{x}{4}\right)$ এবং $g(x, y)=x+i y=z$

ক. $\left(1-x+x^{2}\right)^{-1}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{10}$ এর সহগ নির্ণয় কর ৷

খ. দেখাও যে, $\frac{1}{\{f(8 \mathrm{x})\}^{\frac{1}{2}}}$ এর বিস্তৃতিতে $(n + 1)$ তম পদের সহগ $\frac{(2 n !)}{(n !)^{2} \cdot 2^{n}}$

গ. $|g(x, y)-8|+|g(x, y)+8|=20$ দ্বারা নির্দেশিত সজ্ঞার পথের - আদর্শ সমীকরণ

নির্ণয় করে এর খসড়া চিত্র অঙ্কন কর ৷

$f(x)=\left(2 x+\frac{1}{x^{2}}\right)^{15}$

ক. $\left(1-\frac{2 x}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}$ এর বিস্তৃতিটি x এর কোন মানের জন্য অভিসারী।

খ. $f(x)$ এর বিস্তৃতিতে $x$ বর্জিত পদের মান নির্ণয় কর ।

গ. $f(x)$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ দুটি সমান হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।

$\begin{array}{l}f(x)=(1+x)^{-1},|x|<1 \\g(x)=(1+x)^{n}, n \in N\end{array}$

ক. দেখাও যে, $\left(x+\frac{2}{x}\right)^{8}$ এর বিস্তৃতিতে এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি x-বর্জিত ।

খ. $f(-2 x) \cdot f(-3 x)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ সহগ নির্ণয় কর।

গ. $g(x)$ এর বিস্তৃতিতে ষষ্ঠ, সপ্তম, অষ্টম ও নবম পদ যথাক্রমে

$a,\mathrm{p}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\frac{p^{2}-a b}{b^{2}-p c}=\frac{4 a}{3 b}$

দৃশ্যকল্প-১ : $\left(2 x^{2}-\frac{1}{2 x^{3}}\right)^{10}$

দশ্যকল্প-২ : $a=1-5 x+6 x^{2}$

ক. $A=\{x:(x-1)(x-3) \leq 0, x \in \mathbb{R}\}$ সেটটির সুপ্রিমাম নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত বিস্তৃতিতে x বর্জিত পদটি নির্ণয় কর ৷

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{a}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ $3^{n+1}-2^{n+1}$

$p=a x^{2}+b x+c$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

ক. $2+i \sqrt{3}$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর ।

খ. $p = 0$ সমীকরণটির একটি মূল অপরটির বর্গ হলে দেখাও যে,

$c(a-b)^{3}=a(c-b)^{3}$

গ. $a=6, b=-5$ এবং $c = 1$ হলে প্রমাণ কর যে,

$\mathbf{P}^{-1}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{\mathrm{r}}$ এর সহগ $=3^{r+1}-2^{r+1}$

দৃশ্যকল্প-১ : $z=x+i y$ একটি জটিল সংখ্যা ।

দৃশ্যকল্প-২ : $\left(a+\frac{x}{2}\right)^{n}$ এর বিস্তৃতিতে $\mathbf{x}^{7}$ এবং $x^{8}$ এর সহগ সমান এবং $\mathbf{n} \in \mathbf{N}$

ক. $2 i$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে $|2 z+3|=|3 z+1|$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর ৷

গ. $a = 3$ হলে দৃশ্যকল্প-২ হতে $n$ এর মান নির্ণয় কর ।

$p=(1+b x)^{n}$ একটি দ্বিপদী রাশি ।

ক. যদি $b = 1$ ও $n = 44$ হয়, তবে $p$ রাশিটির $21$ তম ও $22$ তমপদ সমান হয় ।

x এর মান নির্ণয় কর ।

খ. যদি $b = − 2$ এবং $n=-\frac{1}{2}$ হয়, তবে দেখাও যে, $p$ রাশিটির বিস্তৃতিতে $(r + 1)$

তম পদের সহগ $\frac{(2 r) !}{(r !)^{2} 2^{r}}$

গ. যদি $b = 1$ এবং $p=c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}+\ldots . .+c_{n} x^{n}$ হয় তবে

প্রমাণ কর যে, $c_{0}+c_{2}+c_{4}+\ldots .=c_{1}+c_{3}+c_{5}+\ldots . .=2^{n-1}$

$\mathrm{P}(\mathrm{x})=\left(2+\frac{\mathrm{x}}{4}\right)^{11}, \mathrm{q}(\mathrm{x})=(1+c \dot{x})^{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}, \mathrm{c}$ ধ্রুবক

ক. x এর ঘাতের ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে $p(x)$ এর বিস্তৃতির চতুর্থ পদ পর্যন্ত নির্ণয় কর।

খ. x এর জন্য যথাযথ মান প্রতিস্থাপন করে $(2.098)^{11}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. x এর ঘাতের ঊর্ধ্বক্রম অনুযায়ী $q(x)$ এর বিস্তৃতি $1+15 x+80 x^{2}+\ldots...$. হলে,

$n$ ও $c$ এর মান নির্ণয় কর ৷

$\text { (i) }\left(3+\frac{x}{2}\right)^{n} \text { (ii) } 1-\frac{1}{4}+\frac{1.3}{4.8}-\frac{1.3 .5}{4.8 .12}+.....$

ক. $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2 p}(p \in N)$ এর বিস্তৃতি থেকে মধ্যপদদ্বয়ের মান নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপক (i) এর বিস্তৃতিতে $x^{4}$ এবং $x^{5}$ এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হলে, n এর মান নির্ণয় কর ৷

গ. প্রমাণ কর যে, উদ্দীপকের (ii) এর রাশির মান $\sqrt{\frac{2}{3}}$

$P(x)=4 x^{2}-6 x+1, f(x)=x$

ক. এমন একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল $1+2 i$

খ. $F(x)=P(x)-4 x^{2}$ থেকে $\{\mathrm{F}(\mathrm{x})\}^{-\frac{1}{2}}$ এর বিস্তৃতিতে $(r + 1)$ তম পদের মান নির্ণয় কর ।

গ. $\{f(x+1)\}^{44}$ এর বিস্তৃতিতে $21$ তম এবং $22$ তম পদ সমান হলে x এর মান নির্ণয় কর ।