Questions in this chapter

$f(x)=1-9 x+45 x^{2}$

ক. $f(i)$ এর অনুবন্ধি জটিল সংখ্যা নির্ণয় কর ।

খ. $f(x) = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\alpha+\beta^{-1}$ ও $\beta+\alpha^{-1}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $\frac{x}{f(x)-25 x^{2}}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

$f(x)=1-5 x+5 x^{2}-4 x^{3}, g(x)=1-4 x$

ক. দেখাও যে, $\mathrm{g}(\mathrm{x}), f(\mathrm{x})$ এর একটি উৎপাদক ।

খ. দেখাও যে, $\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^{-\frac{1}{2}}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ $\frac{(2 r) !}{(r !)^{2}}$

গ. $\frac{f(x)}{g(x)}=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের মূল দুইটির বর্গমূল নির্ণয় কর, যেখানে $g(x) \neq 0$

$f(x)=1-x$

ক. x এর মান কত হলে $|f(x)|-\frac{1}{2}$ এর মান সর্বনিম্ন হবে?

খ. $\frac{1}{|f(\mathrm{x})|} \geq 2$ এর সমাধান সেট সংখ্যারেখার সাহায্যে দেখাও ।

গ. $\{f(x)\}^{-3}$ এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদটি সরলতম আকারে

প্রকাশ কর এবং তা থেকে প্রথম চারটি পদ বের কর।

$f(x)=1-x^{2}, g(x)=1+x$

ক. $\{g(x)\}^{2 n+1}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এবং $x^{r+1}$ এর সহগ সমান হলে, $r$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. যদি $\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^{n}$ বিস্তৃতিতে $S_{1}$ এবং $S_{3}$ যথাক্রমে বিজোড় ও জোড় স্থানের পদগুলির সমষ্টি হয়,

তবে দেখাও যে,$\{f(x)\}^{n}=\mathrm{S}_{1}^{2}-\mathrm{S}_{2}^{2}$ যেখানে $n \in \mathbb{N}$

গ. $|f(x)| \leq 3(x-1)$ এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।

$\left(p x-\frac{q}{x}\right)^{m}$ একটি বীজগণিতীয় রাশি ।

ক. $(1+x)^{\frac{1}{2}}$ কে বিস্তৃত কর ।

খ. $m=14$ হলে রাশিটির বিস্তৃতিতে $x^{10}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{p}=\mathrm{q}=1$ ও $\mathrm{m}=2 \mathrm{n}$ হলে দেখাও যে, রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ

$\frac{1.3 .5 \ldots \ldots \ldots(2 n-1)}{n !}(-2)^{n}$

$(p x+q)^{11}$ একটি বীজগণিতীয় রাশি ।

ক. প্যাসকেলের সূত্রের সাহায্যে $(x+y)^{6}$ কে বিস্তৃত কর ।

খ. রাশিটির বিস্তৃতিতে ৩য় পদ $220 \mathrm x^{9}$ এবং ৪র্থ পদ $1320 \mathrm x^{8}$ হলে $\mathrm p^{2}+\mathrm q^{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদদ্বয়ের অনুপাত $2 : 1$ হলে $\mathrm x$ এর মান $\mathrm p$ ও $\mathrm q$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

$\text { (i) }\left(2 x-\frac{1}{2 x}\right)^{3 n}, n \in \mathbb{N}$

$\text { (ii) }(1-8 x)^{-\frac{1}{2}}$

ক. দেখাও যে, রাশিদ্বয়ের বিস্তৃতিতে পদসংখ্যার পার্থক্য অনির্ণেয়।

খ. $n = 4$ হলে (i) নং রাশিটির বিস্তৃতিতে ধ্রুব পদটির মান নির্ণয় করো ।

গ. (ii) নং রাশিটির বিস্তৃতিতে $\mathrm x^{5}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

$\left(2 x+\frac{b}{x^{3}}\right)^{n}$ একটি দ্বিপদী রাশি ।

ক. $(1-5 x)^{-1}$ কে পঞ্চম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর ।

খ. রাশিটির বিস্তৃতিতে ধ্রুব পদটির মান নির্ণয় কর, যখন $n = 12$

গ. $n = 10$ এর জন্য রাশিটির বিস্তৃতিতে $5$ তম ও $6$ তম পদের সহগ

সমান হলে $b$ এর মান নির্ণয় কর।

$\left(1-p x+q x^{2}\right)^{r}$ এবং $(a+b x)^{c n}$ দুইটি বীজগাণিতীয় রাশি।

ক. $\left(2 x+\frac{1}{x}\right)^{5}$ কে প্যাসকেলের কে প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে বিস্তৃত কর।

খ. $a=1, b=5$ এবং $c=2$ হলে দেখাও যে, দ্বিতীয় রাশির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ

$\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)}{n !}(10)^{n} x^{n}$

গ. $p=6, q=8, r=-1$ হলে দেখাও যে, ১ম রাশিটির বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ $2^{n}\left(2^{n+1}-1\right)$

$\begin{array}{l}\text{(i) } \left(\mathrm{x}^{6}-\frac{1}{\mathrm{x}^{5}}\right)^{7}\\\text{(ii) } \frac{5 x-7}{(x-1)(x-2)}\end{array}$

ক. (i) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ নির্ণয় কর।

খ. (i) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর ।

গ. (ii) এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

$f(x)=(1+x)^{p}$ এবং $g(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{q} p, q \in \mathbb{N}$

ক. $f(2 x)$ কে ৩য় পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর।

খ. $f(x) g(x)$ এর বিস্তৃতিতে ধ্রুব পদটির মান নির্ণয় কর।

গ. $(1-x) f(x)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

$\left(2 x^{2}+\frac{k}{x^{3}}\right)^{10}$ এবং $(1-4 x)^{-\frac{1}{2}}$ দুইটি বীজগাণিতিক রাশি।

ক. প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে $(x-y)^{4}$ কে বিস্তৃত কর।

খ. দেখাও যে, ২য় রাশিটির বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ $\frac{(2 r) !}{(r !)^{2}}$

গ. ১ম রাশিটির বিস্তৃতিতে $x^{5}$ ও $x^{15}$ এর সহগ সমান হলে $\mathrm k$ এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর।

$f(x)=(1+x)^{-1},|x|<1$

ক. $\left(x-\frac{1}{x}\right)^{16}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটির মান কত?

খ. $f(-2 x) f(-3 x)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{n}$ এর সহগ নির্ণয় করো ।

গ. দেখাও যে, $\frac{(1+3 x)^{-1}}{f(x)}=1-2 x+6 x^{2}-18 x^{3}$ যেখানে $x^{4}$ এবং উচ্চতর ঘাতসমূহ বর্জনযোগ্য।

x এর একটি উপযুক্ত মান $\frac{101}{103}$ বসিয়ে এর মান পাঁচ দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।

$(1-4 x)^{-\frac{1}{2}}$ এবং $\left(1-\frac{x}{8}\right)^{\frac{1}{2}}$ দুইটি বীজগণিতীয় রাশি ।

ক. $(a+2 b)^{4}$ রাশিটিকে বিস্তৃত কর।

খ. দেখাও যে, ১ম রাশিটির বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ $\frac{(2 r) !}{(r !)^{2}}$

গ. ২য় রাশির বিস্তৃতি থেকে, প্রমাণ কর যে,

$1-\frac{1}{8}-\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{16}-\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{3}{24}-\ldots \ldots=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$f(x)=(1+x)^{n}, n \in \mathbb{N}$

ক. প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে $(1+x)^{5}$ কে বিস্তৃত কর ।

খ. $f\left(\frac{x}{2}\right)$ এর বিস্তৃতিতে $x^{2}$ এর সহগ $7$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $f(x)$ এর বিস্তৃতিতে 6ষ্ঠ, 7ম, 8ম, ও 9ম পদ যথাক্রমে, $a, b, c$ ও d হলে প্রমাণ কর যে,

$\frac{b^{2}-a c}{c^{2}-b d}=\frac{4 a}{3 c}$

$\left(a^{2}+\frac{2 b}{a}\right)^{13}$ ও $\left(a x^{4}-b x\right)^{9}$ দুইটি বীজগাণিতিক রাশি

ক. $(x+2)^{-3}$ রাশিটির বিস্তৃতিতে ১ম তিনটি পদ নির্ণয় কর, যেখানে $-2<x<2$

খ. ১ম রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর।

গ. ১ম রাশির বিস্তৃতিতে $a^{8}$ এর সহগ এবং দ্বিতীয় রাশির বিস্তৃতিতে $x^{18}$ এর

সহগ সমান হলে, $a$ এর মান নির্ণয় কর।

$\left(x+\frac{1}{2 x}\right)^{2 n}$ একটি বীজগাণিতিক রাশি ।

ক. $(2-4 x)^{-1}$ কে অনন্ত ধারায় বিস্তৃত কর, যেখানে $|x|<\frac{1}{2}$

খ. $n = 9$ হলে, রাশিটির বিস্তৃতিতে $x^{6}$ এর সহগ নির্ণয় কর ।

গ. দেখাও যে, রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ $\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)}{n !}$

$\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2 n}$ একটি বীজগণিতীয় রাশি যেখানে $n$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।

ক. প্রদত্ত রাশিটিকে ১ম তিনটি পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর।

খ. $n = 10$ হলে রাশিটির বিস্তৃতিতে ধ্রুব পদটি নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি হবে

$\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)}{n !}(-2)^{n}$

$\begin{array}{l}\text{(i) } (1+x)^{5}(1-x)^{4} \text{;}\\\text{(ii) } \cdot\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}\end{array}$

ক. $\left(\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{2 \mathrm{n}}, \mathrm{n} \in \mathbb{N}$ এর বিস্তৃতির মধ্যপদ নির্ণয় কর।

খ. (i) এর বিস্তৃতি থেকে $x^{4}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

গ. (ii) এর বিস্তৃতির $x^{5}$ এবং $x^{6}$ এর সহগদ্বয়ের সমষ্টি নির্ণয় কর।

$P=\frac{(1+x)^{2}}{(1-x)^{3}}$

ক. যদি $(1+x)^{20}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ $x^{r-1}$ এর সহগের

দ্বিগুণ হয়, তাহলে r এর মান নির্ণয় কর।

খ. P এর বিস্তৃতিতে $x^{r}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

গ. $x=\omega$ হলে $|P|$ নির্ণয় কর, যেখানে $\omega$ এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল-।