Questions in this chapter

$500 \mathrm{~m}$ প্রশস্ত এবং $3 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ বেগে প্রবাহিত একটি নদী $5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ বেগে চলে দুইখানা নৌকা একটি ন্যূনতম সময়ে এবং অন্যটি, ন্যূনতম পথে পার হয় ।

ক. সচরাচর সংকেতমালার যোগজীকরণের মাধ্যমে প্রমাণ কর যে,

$v^{2}=u^{2}+2 f s$

খ. ন্যূনতম সময়ে নদী পার হবার জন্য নৌকাটিকে স্রোতের সাথে $\theta$ কোণে যাত্রা করলে,

$\theta$ এর মান এবং ন্যূনতম সময় নির্ণয় কর।

গ. ন্যূনতম পথে নদী পার হতে চায় ঐ নৌকাটি স্রোতের সাথে কত ডিগ্রী কোণে যাত্রা করতে হবে তা নির্ণয় কর। এক্ষেত্রে স্রোত ও নৌকার বেগের লব্ধি এবং প্রয়োজনীয় সময় নির্ণয় কর।

একটি গাড়ি প্রশস্ত রাস্তায় $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ বেগে সোজা উত্তর দিকে চলছে। দ্বিতীয় একটি গাড়ি $40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ বেগে উত্তর-পশ্চিম দিকে চলছে।

ক. আপেক্ষিক বেগ বলতে কি বুঝ? কখন দুইটি গাড়ির আপেক্ষিক বেগ ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম হয় ।

খ. প্রথম গাড়িটির সাপেক্ষে দ্বিতীয় গাড়িটির আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় কর।

গ. আপেক্ষিক বেগ প্ৰথম গাড়ির বেগের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।

পাশের চিত্রে একটি বস্তুকণার সমতলে সোজা রাস্তায় চলার গতিপথ বেগ-বনাম সময়ের লেখের স্কেচ দেখানো হলো। যখন $t = 0$ তখন কণাটি স্থিরাবস্থায় $O$ থেকে সমত্বরণে যাত্রা করে $20 S$ সময়ে $10 m/s$ বেগ অর্জন করে। পরের $40 s$ সময়ে কণাটি $10 m/s$ সমবেগে চলে এবং শেষ $12s$ সময়ে সমমন্দনে চলে স্থির হলো।

ক. সচরাচর সংকেতমালায় প্রমাণ কর যে, $\mathrm{v}=\mathrm{u}+\mathrm{ft}$

খ. প্রথম $20s$ সময়ে কণাটির ত্বরণ কত? শেষ $12s$ সময়ে কণাটির মন্দন নির্ণয় কর।

গ. কণাটি $72s$ সময়ে অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব কত?

একটি ট্রেন সরল রেলপথের $d$ দূরত্বের ব্যবধানে দুইটি স্টেশনে থামে। এক স্টেশন থেকে অপর স্টেশনে যেতে সময় লাগে $T$। ট্রেনটি এর গতিপথের প্রথম অংশ x সমত্বরণে এবং দ্বিতীয় অংশ y সমমন্দনে চলে ।

ক. ট্রেনটির সর্বোচ্চ গতিবেগ $\mathrm v$ হলে, বেগ বনাম সময় লেখচিত্রে ট্রেনটির গতিপথ প্রদর্শন কর ।

খ. যদি $d = 4$ কি. মি. এবং $T = 8$ মিনিট হয় তবে প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=8$

গ. উদ্দীপকে $d=240$ মিটার $x=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ এবং $\mathrm{y}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ হলে, বেগ সময় লেখচিত্র থেকে $T$ এর মান নির্ণয় কর ।

একটি ট্রেন স্টেশন $A$ হতে সরল পথে যাত্রা করে সুষম ত্বরণে $300$ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে $30 m/sec$ গতিবেগ প্রাপ্ত হলো। অতঃপর $T$ সময় পর্যন্ত সমবেগে চলার পর $1.25 \mathrm{~m} / \mathrm{sec}^{2}$ সুষম মন্দনে

চলে পরবর্তী স্টেশন $B$ তে থামল। স্টেশন দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $1.5$ কি.মি.

ক. দুইটি স্টেশনের মধ্যে ট্রেন ভ্রমণের বেগ বনাম সময়ের স্কেচ কর।

খ. ট্রেনটির ত্বরণ নির্ণয় কর।

গ. $T$ এর মান কত? এবং স্টেশন $A$ থেকে স্টেশন $B$ তে যেতে ট্রেনটির মোট কত সময় লেগেছিল।

একটি চলমান কণা $f$ সমত্বরণে সমতলে সরলরেখা বরাবর চলে $t$ সময়ে $AB = s$ দূরত্ব যায় এবং পরবর্তী $t_{1}$সময়ে $\mathrm{BC}=\mathrm{s}_{1}$ দূরত্ব যায়।

ক. কণাটি $u$ আদিবেগে চললে, দেখাও যে, $\mathrm{s}=\mathrm{ut}+\frac{1}{2} \mathrm{ft}^{2}$

খ. উদ্দীপক থেকে প্রমাণ কর যে ত্বরণ, $f=2\left(\frac{s_{1}}{t_{1}}-\frac{s}{t}\right) /\left(t+t_{1}\right)$

গ. যদি কণাটি $5$ সেকেন্ড পরের অর্ধসেকেন্ড সময়ে $16 \frac{1}{2}$ মিটার এবং $10$ তম সেকেন্ডে $50$ মিটার দূরত্ব যায়,

তবে কণাটির আদিবেগ $u$ এবং ত্বরণ $f$ নির্ণয় কর।

একটি বাঘ তার $80 m$ সামনে একটি হরিণকে দেখে একে ধরার জন্য ধাওয়া করল। হরিণটি টের পেয়ে সঙ্গে সঙ্গে তার থেকে $212.5 \mathrm{~m}$ দূরে নিরাপদ আশ্রয়ের দিকে সোজা পথে দৌড় শুরু করল।

বাঘটি $2 \mathrm{~m} / \mathrm{sec}$ আদিবেগে এবং $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{sec}^{2}$ সমত্বরণে আর হরিণটি $4 \mathrm{~m} / \mathrm{sec}$ আদিবেগ এবং $1 \mathrm{~m} / \mathrm{sec}^{2}$ সমত্বরণে দৌড়াতে লাগল ।

ক. একটি বুলেট কোনো দেয়ালের ভিতর $2 cm$ ঢুকবার পর এর অর্ধেক বেগ হারায় ।

বুলেটটি দেয়ালের ভিতর আর কতদূর ঢুকবে?

খ. কত সময়ে বাঘ ও হরিণের বেগ সমান হবে? বেগ সমান হবার মুহূর্তে উভয়ের

মধ্যবর্তী দূরত্ব কত নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের বাঘটি হরিণকে ধরতে পারবে কি? গাণিতিক বিশ্লেষণ করে উত্তর দাও।

দৃশ্যকল্প-১: সমত্বরণে চলমান একটি কণা পর পর $t_{1}, t_{2}$ ও $t_{3}$ সময়ে যথাক্রমে $\text { d, } 4 d$ এবং $7d$ দূরত্ব অতিক্রম করে।

দৃশ্যকল্প-২: একটি টাওয়ারের শীর্ষবিন্দু থেকে পড়ন্ত একখণ্ড পাথর $4$ মিটার দূরত্বে পৌছানোর পর টাওয়ারের শীর্ষবিন্দু থেকে $16$ মিটার নিচে কোনো বিন্দু থেকে অপর একখন্ড পাথর নিচে ফেলা হলো।

পাথরদ্বয় স্থির অবস্থা থেকে একই সাথে মাটিতে পড়ল ।

ক. একটি বুলেট একটি তক্তার ভিতর $3$ সে.মি. ঢুকবার পর এর অর্ধেক বেগ হারায় ।

বুলেটটি তক্তার ভিতর আর কত দূর ঢুকবে?

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, $\frac{1}{t_{1}}-\frac{4}{t_{2}}+\frac{7}{t_{3}}=\frac{12}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}$

গ. দৃশ্যকল্প-২ থেকে টাওয়ারের-উচ্চতা নির্ণয় কর।

$108 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ বেগে সোজা রেলপথে চলন্ত ট্রেনে ব্রেকের সাহায্যে $A$ বিন্দু অতিক্রমের ঘুহূর্তে $3f \mathrm{~ms}^{-2}$ সমমন্দন প্রয়োগ ক করে এর গতিবেগ হ্রাস করে $36f \mathrm{~ms}^{-1}$ করা হলো। এ গতিবেগে ট্রেনটি কিছু দূরত্ব যাওয়ার

পর $f \mathrm{~ms}^{-2}$ সমত্বরণ প্রয়োগ করা হলো এবং $B$ বিন্দুতে ট্রেনের গতিবেগ নরায় $108 \mathrm{kmh}^{-1}$ হলো। $4 km$ দূরত্বে অবস্থিত $A$ থেকে $B$ তে যেতে ট্রেনের সময় লাগল $4$ মিনিট ।

ক. $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত ট্রেনো গতিপথ দেখানোর জন্য একটি বেগ বনাম সময়ের স্কেচ কর ।

খ. $f$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $36 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে ট্রেনটিযে দূরত্ব অতিক্রম করল তা নির্ণয় কর।

একটি বস্তুকণা খাড়া উপরে নিক্ষেপ করা হলো। বস্তুকণাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু $P$ তে পৌছতে $t$ সময় লাগে এবং আরও $t_{1}$ সময়ে তা ভূমিতে পতিত হয় ।

ক. খাড়া উপরে নিক্ষিপ্ত বস্তুর বেগ ক্রমশঃ হ্রাস পায় কেন?

খ. দেখাও যে, $P$ বিন্দুর উচ্চতা $=\frac{1}{2} g tt_{1}$

গ. প্রমাণ কর যে, বস্তুকণাটির সর্বাধিক উচ্চতা $=\frac{1}{8} g\left(t+t_{1}\right)^{2}$

$h$ মিটার উচু একটি মিনারের চূড়া থেকে একটি পাথর নিচে ছেড়ে দেয়ার মুহূর্তে এর পাদদেশ থেকে অপর একটি পাথর $u$ বেগে খাড়া উপরে নিক্ষেপ করা হলো যেন তা কোনো রকমে মিনারের চূড়ায় পৌঁছতে পারে ।

ক. $u$ বেগে খাড়া উপরে নিক্ষিপ্ত কোনো বস্তুর সর্বাধিক উচ্চতা $H$ হলে, দেখাও যে, $\mathrm{H}=\frac{\mathrm{u}^{2}}{2 \mathrm{~g}} \mathrm{l}$

খ. প্রমাণ কর যে, উদ্দীপকের পাথর দুইটি $\frac{3 h}{4}$ উচুতে পরস্পরকে অতিক্রম করবে?

গ. উদ্দীপকে $\mathrm{h}=39.2$ মিটার এবং বেগ $\mathrm{u}=19.6$ মি./সে. হলে দেখাও যে, তারা মধ্যপথে মিলিত হবে ।

একটি বস্তু ভূমি থেকে $u$ বেগে এবং আনুভূমির সাথে $\alpha$ কোণে নিক্ষেপ করা হলো । যখন বস্তুটির অতিক্রান্ত আনুভূমিক দূরত্ব x তখন এর খাড়া উচ্চতা y.

ক. নিক্ষিপ্ত বস্তুটির সর্বোচ্চ উচ্চতায় বেগ কত? বেগের আনুভূমিক উপাংশ ধ্রুবক কেন?

খ. উদ্দীপক অনুসারে দেখাও যে, $y=x \tan \alpha\left(1-\frac{x}{R}\right)$ যখন $R =$ বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা ।

গ. বস্তুটির বৃহত্তম পাল্লার মান $D$ এবং বৃহত্তম উচ্চতা $H$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\mathrm{R}=\mathrm{D} \sin 2 \alpha$ এবং $4 \mathrm{H}=\mathrm{R} \tan \alpha .$

ভূমির $36m$ ঊর্ধ্বে $P$ বিন্দু থেকে $40 m/s$ বেগে একটি বল আনুভূমিকের সাথে $\theta$ কোণে নিক্ষেপ করা হলো। $Q$ বিন্দুটি এর গতিপথের সর্বোচ্চ বিন্দু ।

ক. $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. বলটি $t$ সময়ে ভূমিতে $K$ বিন্দুতে পতিত হলে $t$ এর মান কত?

গ. বলটির আনুভূমিক দূরত্ব $OK$ নির্ণয় কর।

একজন সৈনিক $60$ মিটার দূরে অবস্থিত $18$ মিটার উঁচু একটি দেওয়ালকে লক্ষ্য করে গোলা ছুড়লেন। গোলার নিক্ষেপণ বেগ

$30 m/sec$ এবং নিক্ষেপণ কোণ $60°$

ক. গোলাটি কত সময় শূন্যে ছিল?

খ. উদ্দীপকে উল্লিখিত গোলাটি দেওয়ালকে আঘাত করবে কিনা? গাণিতিক বিশ্লেষণ কর ।

গ. নিক্ষেপণ কোণ $40°$ হলে কি হতো? ব্যাখ্যা কর ।

বাংলাদেশ-আফগানিস্তানের মধ্যে টি-$20$ ক্রিকেট ম্যাচ। শেষ বলে $2$ রান দরকার। মুশফিকুর রহিম ব্যাটিং এ আছেন। তিনি বলটিকে 30 m/sec বেগে আনুভূমিকের সাথে $35°$ কোণে ব্যাট দিয়ে আঘাত করলেন।

বলের লাইনে একজন আফগান ফিল্ডার $80$ মিটার দূরে বাউন্ডারীর ভিতরে বলটি ক্যাচ ধরার চেষ্টা করেন । তিনি লাফিয়ে $3.5 m$ উপর থেকে বল ধরতে সক্ষম। কিন্তু বলটি ছক্কায় পরিণত হলো ।

ক. ভূমি থেকে $u$ বেগে এবং আনুভূমির সাথে $\alpha$ কোণে নিক্ষিপ্ত একটি বস্তু $T$ সময়ে ভূমিতে পতিত হলে, দেখাও যে,

$\mathrm{T}=\frac{2 \mathrm{u} \sin \alpha}{\mathrm{g}}$ এবং আনুভূমিক পাল্লা $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{u}^{2} \sin 2 \alpha}{\mathrm{g}}$

খ. বলটির সর্বাধিক উচ্চতা কত ছিল?

গ. বলটি ক্যাচ ধরতে না পারার কারণ গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

বাংলাদেশ ও ভারতের মধ্যে ক্রিকেট খেলার সময় সাকিব আল হাসান ব্যাট দ্বারা $30 \mathrm{~m} / \mathrm{sec} .$ বেগে এবং সমতলের সাথে $30°$ কোণে ক্রিকেট বলকে আঘাত করেন।

কিন্তু বাউন্ডারী লাইনের মধ্যে থাকা ভারতীয় ফিল্ডার যুবরাজ বলটি ভূমি থেকে $2m$ উপরে ধরে ফেলেন।

ক. সাকিব আল হাসান ব্যাট দ্বারা আঘাতকৃত বলটির $1 sec.$ পরে বেগ কত ছিল তা নির্ণয় কর।

খ. কত আনুভূমিক দূরত্বে যুবরাজ বলটি ধরেছিলেন?

গ.. ক্যাচ না হলে বলটির সর্বাধিক উচ্চতা এবং আনুভূমিক পাল্লা কত হতে পারত তা নির্ণয় কর ।

$\alpha$ কোণে এবং $u$ বেগে নিক্ষিপ্ত প্রক্ষেপকের আনুভূমিক পাল্লা $R$ এবং সর্বাধিক উচ্চতা $H.$

ক. আনুভূমিক পাল্লা ও বিচরণকাল বলতে কি বুঝ?

খ. উদ্দীপকে বর্ণিত $R = 100$ গজ এবং $\mathrm{H}=56 \frac{1}{4}$ ফুট হলে, $u$ এবং $\alpha$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. উদ্দীপকের প্রক্ষেপকটি একই $u$ বেগে নিক্ষিপ্ত এবং একই আনুভূমিক পাল্লা $R$ এর জন্য দুইটি বিচরণকাল $t_{1}, t_{2}$ এবং দুইটি বিচরণপথের সর্বাধিক উচ্চতা $\mathrm{h}_{1}, \mathrm{~h}_{2}$ হলে, দেখাও যে, $\mathrm{R}=\frac{1}{2} \mathrm{gt}_{1} \mathrm{t}_{2}=4 \sqrt{\mathrm{h}_{1} \mathrm{~h}_{2}}$

$O$ বিন্দুতে পরস্পর $\alpha$ কোণে একই সময়ে ক্রিয়ারত $u$ ও $v$ বেগ দুইটির লব্ধি

ক. একখণ্ড পাথর একটি মিনারের শীর্ষ থেকে খাড়া নিক্ষেপ করার $10 sec$ পরে তা ভূমিতে $58 m/sec$ বেগে পতিত হয় মিনারের ·উচ্চতা কত?

খ. $u$ বেগের দিক বরাবর $w$ এর লম্বাংশের পরিমাণ $v$ হলে দেখাও যে, $\alpha=\cos ^{-1} \frac{v-u}{v}=2 \sin ^{-1} \sqrt{\frac{u}{2 v}}$ এবং $w=\sqrt{v^{2}-u^{2}+2 u v}$

গ. যদি $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathrm{n}(\mathrm{u}-\mathrm{v})$ এবং $\mathrm{w}=\frac{1}{2}(\mathrm{u}+\mathrm{v})$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\cos \alpha=\frac{n^{2}+2}{2\left(1-n^{2}\right)}$

দুইজন সাইকেল আরোহী একই সময়ে $A$ ও $B$ বিন্দু থেকে যথাক্রমে $AB$ ও $BA$ এর সাথে $30°$ ও $45°$ কোণে আনত সরলপথে $15 \sqrt{2} \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ এবং $\text { u } \mathrm{km} / \mathrm{h}$ বেগে যাত্রা করল।

ক. একটি কণা স্থিতিবস্থা হতে যাত্রা করে সরলপথে চলে $192 ft$ পথ যায়। যাত্রাপথের প্রথম অংশ $25 \mathrm{ft} / \mathrm{sec}^{2},$ সমত্বরণে এবং

শেষ অংশ $5 \mathrm{ft} / \mathrm{sec}^{2}$ সমমন্দনে চলে কোনোরকমে সম্পূর্ণ পথ অতিক্রম করে। কণাটির সর্বোচ্চ গতিবেগ নির্ণয় কর।

খ. যদি সাইকেল আরোহী দুইজন $t$ সময়ে $C$ বিন্দুতে মিলিত হয় তবে $t$ এর মান কত? যখন $\mathrm{AB}=43.5 \mathrm{~km}$

গ. $\mathrm u$ এর মান নির্ণয় কর।

কোনো একটি প্রবাহমান নদীতে একজন সাঁতারু স্রোতের অনুকূলে $6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ বেগে এবং স্রোতের প্রতিকূলে $2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ বেগে সাঁতার কাটতে পারে।

ক.একটি কণাকে $h$ উচ্চতা হতে মুক্তভাবে পড়তে দেয়া হলো । যদি এটি পতনকালে শেষতম সেকেন্ডে $\frac{9 \mathrm{~h}}{25}$ দূরত্ব অতিক্রম করে তাহলে $h$ এর মান কত?$\left(\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)$

খ. সাঁতারু যদি স্রোতের সাথে $60°$ কোণে সাঁতার কাটে তবে প্রকৃত পক্ষে কত বেগে এবং কোন দিকে চলবে ?

গ. যদি সাঁতারু সোজাসুজি নদী পার হতে চায় তবে তাকে কোন দিকে সাঁতার কাটতে হবে? নদীর প্রস্থ $600 \mathrm m$ হলে, সোজাসুজি পার হবার জন্য প্রয়োজনীয় সময় নির্ণয় কর।