Questions in this chapter

লম্বভাবে মিলিত এরূপ দুইটি সোজা রাস্তার একটি বরাবর $4 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \text {. }$ বেগে একটি ভ্যান গাড়ি চলছে। অন্য রাস্তা দিয়ে এক ব্যক্তি | $3 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \text {. }$ বেগে হেঁটে ভ্যানে উঠার চেষ্টা করছে।

কোনো এক সময় ভ্যান গাড়িটি চৌমাথা থেকে $750\mathrm m$ পিছনে এবং লোকটি $500 \mathrm m$ দূরে থাকে ।

ক. একটি প্রক্ষেপক $21$ মি./সে. বেগে এবং আনুভূমির সাথে $30°$ কোণে শূন্যে প্রক্ষেপ করা হল। এর পাল্লা এবং বিচরণকাল নির্ণয় কর ।

খ. দেখাও যে, উদ্দীপকের লোকটি কখনও ভ্যানগাড়ি থেকে $50\mathrm m$ এর কম দূরত্বে আসতে পারবে না। কত সময়ে এ দূরত্বে পৌছাবে?

গ. লোকটি দ্বিগুণ বেগে হেঁটে ভ্যানে উঠতে পারবে কিনা? গাণিতিক বিশ্লেষণ কর ।

দুইটি জাহাজ একই সময়ে চট্টগ্রাম সমুদ্র বন্দর ত্যাগ করল। একটি জাহাজ দক্ষিণ-পূর্বদিকে $35 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ বেগে এবং অপরটি দক্ষিণ-পশ্চিমে $35°$ কোণে $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ বেগে সোজাভাবে চলছে।

ক. একটি বলকে ভূমি হতে $100 \mathrm{ft} / \mathrm{sec} .$ বেগে এবং অনুভূমির সাথে $\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ কোণে

শূন্যে নিক্ষেপ করা হলো । $2 \mathrm{sec}$ পরে নিক্ষেপণ বিন্দু হতে বলটির দূরত্ব নির্ণয় কর।

খ. প্রথম জাহাজটির তুলনায় দ্বিতীয়টির আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় কর।

গ. কত সময়ে জাহাজ দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $145 \mathrm{~km}$ হবে ?

একটি বাস স্থিরাবস্থা হতে $2 \mathrm{~m} / \mathrm{sec}^{2}$ সমত্বরণে যাত্রা করল। একজন লোক $30 \mathrm m$ পিছন থেকে বাসটি ধরার জন্য $10 \mathrm{m} / \mathrm{sec}$ সমবেগে দৌড়াতে লাগল ।

ক. একই গতিতে নিক্ষিপ্ত একটি প্রক্ষেপকের নির্দিষ্ট পাল্লা $R$ এর জন্য দুইটি বিচরণ পথের সর্বাধিক

উচ্চতা $\mathrm{h}, \mathrm{h}^{\prime}$ হলে দেখাও যে, $\mathrm{R}=4 \sqrt{h^{\prime}} \mathrm{}$

খ. কত সময়ে বাসের বেগ লোকটির বেগের সমান হবে? ঐ সময়ে লোকটি বাস থেকে কত দূরে ছিল?

গ. উদ্দীপকে বর্ণিত লোকটি বাস ধরতে পারবে কি? গাণিতিক বিশ্লেষণের মধ্যমে তোমার মতামত ব্যক্ত কর ।

একটি ট্রেন সমতলে সরল রেলপথে $A$ ও $B$ দুইটি স্টেশনের মধ্যে চলে। ট্রেনটি $A$ স্টেশন থেকে স্থিরাবস্থায় যাত্রা করে ধ্রুব ত্বরণে চলে সর্বোচ্চ $108 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ গতিবেগ অর্জন করে এবং এ বেগে ট্রেনটি কিছু সময় যাওয়ার পর মন্দন প্রয়োগ করে $B$ স্টেশনে থামে। $A$ থেকে $B$ স্টেশনে যেতে ট্রেনটির সময় লাগে $58.8$ মিনিট ।

ক. ভূমি থেকে নিক্ষিপ্ত একটি প্রক্ষেপক $4$ সেকেন্ড পরে নিক্ষেপণ বিন্দু হতে $58.8$ মিটার দূরে ভূমিতে আঘাত করে। নিক্ষেপণ বেগের মান নির্ণয় কর।

খ. $108 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ এর মান $\mathrm{m} / \mathrm{sec}$ এ প্রকাশ কর। $A$ ও $B$ ষ্টেশনের মধ্যে ট্রেনটির গতিপথের একটি স্ক্রেচ অঙ্কন কর।

গ. ট্রেনটির ত্বরণ নির্ণয় কর। সেখানে $\mathrm{AB}=12 \mathrm{~km}$ এবং ট্রেনটিতে মন্দনের প্রয়োগকাল ত্বরণের প্রয়োগকালের তিনগুণ।

একটি পাথর কুপের ভিতর ফেলার $t$ সময় পরে পানিতে এর পতন শব্দ শোনা গেল । শব্দের বেগ $v$ এবং কুপের গভীরতা $h.$

ক. $6$ মিটার/সে. বেগে ঊর্ধ্বগামী একটি বেলুন হতে একটি পাথর ফেলা হলো । যদি পাথরটি $10$ সেকেন্ডে

ভূমিতে পড়ে, তবে পাথরটি ফেলার সময় বেলুন কত উঁচুতে ছিল?

খ. প্রমাণ কর যে, $t=\sqrt{\frac{2 h}{g}}+\frac{h}{v}$ এবং $\mathrm{h}=\frac{\mathrm{gt}^{2}}{2\left(1+\frac{\mathrm{gt}}{\mathrm{v}}\right)}$ যখন $v>\text { h. }$

গ. প্রমাণ কর যে, $g v^{2} t^{2}-2 g h v t+h\left(g h-2 v^{2}\right)=0$

ভূমি থেকে $122.5$ মিটার উঁচুতে অবস্থিত কোনো বিন্দু হতে $P$ বস্তুকে নিচে ছেড়ে দেয়া হল। $P$ বস্তুটি $44.1$ মিটার নিচে নামার মুহূর্তে একই বিন্দু হতে $Q$ বস্তুকে নিচে $u$ বেগে নিক্ষেপ করা হল । এরা একই সংগে ভূমিতে পতিত হয়।

ক. $176.4$ মিটার উঁচু একটি টাওয়ারের শীর্ষ হতে একটি বস্তু কি গতিবেগে আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করলে তা টাওয়ারের পাদদেশ থেকে $96$ মিটার দূরে ভূমিতে পড়বে?

খ. $\mathrm u$ এর মান কত?

গ. যদি P বস্তুটি ভূমি থেকে $196 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হয় এবং $\mathrm Q$ বস্তুটি এর $6$ সেকেন্ড পরে একই স্থান থেকে $\mathrm v$ বেগে একই দিকে নিক্ষেপ করলে এরা পরস্পর $\mathrm P$ বস্তুটির বৃহত্তম উচ্চতায় মিলিত হয়। $\mathrm v$ এর মান নির্ণয় কর?

ক্রিকেট খেলায় তামিম একটি বলকে ব্যাট দিয়ে $29 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ বেগে আনুভূমিকের সাথে $35°$ কোণে আঘাত করায় বলটি সীমানার দিকে যেতে লাগল । তামিমের অবস্থান থেকে সীমানার ব্যবধান $75\mathrm m$

ক. $50.\mathrm m$ দূরত্ব অতিক্রম করতে একখানি গাড়ির বেগ $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ হতে $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ হয়।

আরও $200 \mathrm m$ যাবার পর তার বেগ কত হবে?

খ. বলটির সর্বোচ্চ উচ্চতা এবং বিচরণ কাল নির্ণয় কর।

গ. তামিম ছক্কা মারতে সমর্থ হয়েছিল কি? গাণিতিক যুক্তি দাও ।

একটি টাওয়ারের চূড়া হতে একখন্ড পাথর $16$ ফুট/সে. বেগে ভূমির সমান্তরালে নিক্ষেপ করা হলো। তা এর পাদদেশ থেকে $80$ ফুট দূরে ভূমিতে পড়ে ।

ক. একটি বালক একটি বলকে সর্বাধিক $40$ ফুট উপরে নিক্ষেপ করতে পারে। সে বলটিকে আনুভূমিকে সর্বোচ্চ কত দূরত্বে নিক্ষেপ করতে পারবে ?

খ. পাথর খন্ডটি কত সেকেন্ডে ভূমিতে আঘাত করে তা নির্ণয় কর। যখন | $g=32 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}$

গ. টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।

মেসি একটি ফুটবলকে এমনভাবে কিক করল যেন বলটি যতটা উপরে উঠেছে ঠিক ততটাই দূরে গিয়ে মাটিতে পড়েছে ।

ক. একটি ক্রিকেট বলকে ভূমি থেকে নিক্ষেপ করা হলে এটি $100$ গজ দূরে ভূমিতে ফিরে আসে। এর বিচরণ পথের সর্বাধিক উচ্চতা $56 \frac{1}{4}$ ফুট হলে এর বিচরণকাল নির্ণয় কর।

খ. ফুটবলটি মেসি ভূমির সাথে কত ডিগ্রি কোণে কিক করেছিল?

গ. কোন শর্তে ফুটবলটি সর্বাধিক আনুভূমিক দূরত্ব অতিক্রম করবে

তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

$30 \mathrm m$ উঁচু মিনারের চূড়া থেকে একটি বল $\mathrm{u} \mathrm{m} / \mathrm{s}$ বেগে আনুভূমিকের সাথে $\alpha$ কোণে নিক্ষেপ করা হলো। বলটি মিনারের চূড়ার $10 \mathrm m$ উপরে উঠে এবং মিনারের পাদদেশ থেকে $90 \mathrm m$ দূরে ভূমিতে আঘাত করে।

ক. $t$ সময়ে একটি প্রক্ষেপক এর বিচরণপথের $P$ বিন্দুতে পৌছে। আরও $\mathbf{t}^{\prime}$ সময়ে তা $P$ বিন্দু

হতে নিক্ষেপণ বিন্দুর সমতলে ফিরে আসে। দেখাও যে, $P$ বিন্দুর উচ্চতা $\mathrm{h}=\frac{1}{2} \mathrm{gtt}'$

খ. নিক্ষিপ্ত আদিবেগের আনুভূমিক ও খাড়া উপাংশ কত?

গ. বলটির ভূমিতে পতনকাল নির্ণয় কর ।

একটি গাড়ি প্রশস্ত রাস্তায় 50km/h বেগে সোজা উত্তর দিকে চলছে। দ্বিতীয় একটি গাড়ি 40 km/h বেগে উত্তর-পশ্চিম দিকে চলছে।

ক. $200$ মিটার ও $300$ মিটার দৈর্ঘ্যের দুইটি ট্রেন একটি স্টেশন থেকে একই দিকে দুইটি সমান্তরাল রেলপথে যথাক্রমে $40$ কি.মি./ঘ. এবং $30$ কি.মি./ঘ. বেগে যাত্রা করে। কত সময়ে এরা পরস্পরকে অতিক্রম করবে?

খ. প্রথম গাড়িটির সাপেক্ষে দ্বিতীয় গাড়িটির আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় কর।

গ. আপেক্ষিক বেগ প্রথম গাড়ির বেগের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর ।

কোনো বিন্দুতে $\alpha$ কোণে ক্রিয়ারত $u$ ও $v$ বেগদ্বয়ের লব্ধি $w.$

ক. কোনো নির্দিষ্ট বেগের মান $10 \mathrm{~ms}^{-1}$ তার দুই পার্শ্বে তার সাথে $30°$ ও $60°$ কোণে কার্যরত অংশকদ্বয় নির্ণয় কর ।

খ. $u+v=n(u-v)$ এবং $2 \sqrt{u^{2}+v^{2}+2 u v \cos \alpha}=(u+v)$ হলে প্রমাণ কর যে,

$2\left(1-n^{2}\right) \cos \alpha=n^{2}+2$

গ. $u$ এর দিক বরাবর $w$ এর লম্বাংশের পরিমাণ $v$ হলে প্রমাণ কর:

$w=\sqrt{v^{2}-u^{2}+2 u v}$

একটি রেলগাড়ি একটি স্টেশন থেকে সরল রেলপথে সমত্বরণে যাত্রা করে $10$ সেকেন্ড পরে $15$ মি./সে. বেগ প্রাপ্ত হয়; অতঃপর ত্বরণ বন্ধ হয়ে যায় এবং পরবর্তী $30$ সেকেন্ড সময় পর্যন্ত রেলগাড়িটি সমবেগে চলে এবং শেষ $20$ সেকেন্ড সমমন্দনে চলে অপর স্টেশনে গিয়ে থামে ।

ক. পূর্বদিকে $20$ কি.মি./সে. বেগে চলমান একটি বস্তুকণায় কী বেগ সংযুক্ত হলে কণাটি $15$ কি.মি./সে বেগে উত্তর দিকে চলতে থাকবে?

খ. বেগ-সময় লেখচিত্রে রেলগাড়িটির গতিপথ প্রদর্শন করে স্টেশন দুইটির দূরত্ব নির্ণয় কর ।

গ. সমবেগে চলাকালীন রেলগাড়ির একজন যাত্রী দেখছে যে, খাড়ারেখায় পড়ন্ত বৃষ্টির ধারার আপেক্ষিক বেগের দিক উল্লম্ব রেখার সাথে $\tan ^{-1} \frac{3}{2}$ কোণ উৎপন্ন করে। বৃষ্টির আসল বেগ বের কর।

পাশে বেগ-সময় লেখচিত্রে সোজা রাস্তায় একটি বস্তুকণার গতিপথকে দেখানো হয়েছে ।

ক. বস্তুকণার গতিপথের $CD$ অংশে ত্বরণ নির্ণয় কর।

খ. $27$ সেকেন্ড শেষে বস্তুকণাটির বেগ নির্ণয় কর।

গ. বস্তুকণাটির সম্পূর্ণ গতিপথের দূরত্ব নির্ণয় কর ।

একজন খেলোয়াড় $2$ মি. উচ্চতায় ভূমির সাথে $30°$ কোণে $20$ মি./সে. বেগে একটি ক্রিকেট বল ছুঁড়ে মারলে অপর একজন খেলোয়াড় $1$ মি. উঁচুতে একে ধরে ফেলে।

ক. $\mathrm u$ গতিবেগে এবং আনুভূমিকের সাথে কোণে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার $\alpha$ সর্বাধিক উচ্চতা নির্ণয় কর।

খ. $1$ সেকেন্ড পরে ক্রিকেট বলটির বেগ কত?

গ. খেলোয়াড় দুইজন কত দূরে ছিল?

একটি বস্তু $39.2 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে ভূমির সাথে $30°$ কোণে নিক্ষিপ্ত হল ।

ক. $1$ সেকেন্ড পরে বস্তুটির বেগ কত?

খ. বস্তুটির সর্বাধিক উচ্চতা এবং পাল্লা নির্ণয় কর।

গ. কত সময় পরে বস্তুটি নিক্ষেপ দিকের সাথে লম্বভাবে চলবে?

একজন খেলোয়াড় স্থির অবস্থা হতে $3 \mathrm{~ms}^{-2}$ ত্বরণে $25 \mathrm{~m}$ দৌড় দিয়ে যে বেগ প্রাপ্ত হয় সেই বেগে ভূমির সাথে $30°$ কোণে লাফ দিয়ে $10 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ আনুভূমিক দূরত্ব অতিক্রম করে।

ক. প্রচলিক সংকেতমালায় প্রমাণ কর যে, $\mathbf{v}=\mathrm{u}+\mathrm{ft}$

খ. লাফ দেয়ার পূর্ব সেকেন্ডে খেলোয়াড়টি কত পথ অতিক্রম করে?

গ. খেলোয়াড়টি কত সময়ে তার খেলা সম্পূর্ণ করে ?

চিত্রে, একটি প্রক্ষেপকের নিক্ষেপণ কোণ $\alpha$ নিক্ষেপণ বেগ $u,$ সর্বাধিক উচ্চতা $AS$ এবং আনুভূমিক পাল্লা $OL$.

ক. $f$ সমত্বরণে সরলরেখায় চলমান একটি বস্তুকণা t তম এবং $(t + n)$ তম সেকেন্ডে যথাক্রমে x এবং y মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে । প্রমাণ কর যে,$f=\frac{y-x}{n}$ মি./সে.$^2$

খ. প্রমাণ কর যে, $\alpha=\frac{\pi}{4}$ হলে $\text { OL }$ বৃহত্তম হবে এবং এক্ষেত্রে $\mathrm{OL}=4 \times \mathrm{AS}$ হবে ।

গ. $\alpha=\frac{\pi}{6}, u=64$ ফুট/সে. এবং $S$ উপকেন্দ্র হলে একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ (x ও y এর মাধ্যমে) নির্ণয় কর ।

বায়ুশূন্য স্থানে প্রক্ষিপ্ত কোনো বস্তু এমন দুটি বিন্দু দিয়ে যায় যারা প্রক্ষেপ বিন্দুগামী আনুভূমিক ও উল্লম্ব রেখা হতে যথাক্রমে $10$ মি. ও $20$ মি. দূরত্বে এবং $3$ মি. ও $4$ মি. খাড়া দূরত্বে অবস্থিত।

ক. একটি বস্তুকণা স্থিরাবস্থা হতে যাত্রা করে সরলপথে সুষম ত্বরণে চলে চতুর্থ সেকেন্ডে $14 \mathrm {cm}$ দূরত্ব অতিক্রম করে।

অষ্টম সেকেন্ডে কণাটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে তা নির্ণয় কর ।

খ. প্রক্ষেপ বেগের মান নির্ণয় কর।

গ. নিক্ষেপণ বিন্দুকে মূলবিন্দু বিবেচনা করে প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির বিচরণ পথের সমীকরণ (x ও y এর মাধ্যমে) নির্ণয় কর।

ক. সরলরেখায় ধ্রুব ত্বরণে চলমান একটি কণা পরপর দুই সেকেন্ডে যথাক্রমে $10$ মিটার

ও $15$ মিটার পথ অতিক্রম করে। কণাটির ত্বরণ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, নিক্ষিপ্ত বস্তুটি A বিন্দুতে উত্থানের দুইটি সময়ের গুণফল $\frac{20 \mathrm{~A}}{\mathrm{~g}}$

গ. $\alpha=60^{\circ}, \mathrm{AS}=\mathrm{BL}=20 \mathrm{~m}, \mathrm{SL}=10 \mathrm{~m}$ হলে বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা নির্ণয় কর।