Questions in this chapter

একটি উঁচু ভবনের ছাদ থেকে একখণ্ড পাথর ছেড়ে দেয়া হল। বাধাহীনভাবে t সে. পতনের পর পরবর্তী 4 সেকেন্ডে 98 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করল এবং পরবর্তী 4 সেকেন্ডে h, দূরত্ব অতিক্রম করল।

ক. ছেড়ে দেয়ার প্রথম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব কত?

খ. $\mathrm{h}_{1}$ নির্ণয় কর ।

গ. যদি পাথর খণ্ডটি পতনের শেষ $t$ সেকেন্ডে $h$ দূরত্ব অতিক্রম করে তাহলে দেখাও যে,

পতনের মোট সময় $=\left(\frac{\mathrm{t}}{2}+\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{gt}}\right)$ সেকেন্ড।

একটি ট্রেন ঘণ্টায় $40$ কি.মি. সমবেগে চলছে। ট্রেনটি $8$ কি.মি. দৈর্ঘ্যের একটি সুড়ঙ্গে প্রবেশ করার মুহূর্তে ট্রেন লাইনের সমান্তরাল একটি রাস্তা দিয়ে একটি ট্রাক ট্রেনটির $50$ মিটার পেছন থেকে ঘণ্টায় 20 কি.মি. বেগে এবং $0.05 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ সমত্বরণে সুড়ঙ্গের দিকে আসছিল। ট্রেনের দৈর্ঘ্য $200$ মিটার এবং ট্রাকের দৈর্ঘ্য $10$ মিটার ।

ক. $3$ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে ?

খ. $5$ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করার মুহূর্তে ট্রাকটির বেগ কত হবে এবং কত সময়ে

এ দূরত্ব অতিক্রম করবে?

গ. ট্রেন অথবা ট্রাক কোনটি আগে সুড়ঙ্গ অতিক্রম করবে গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর

একজন ফুটবল খেলোয়াড় $40$ মিটার/সেকেন্ড বেগে আনুভূমিকের সাথে $30°$ কোণে ফুটবলে কিক করলেন।

ক. বলটির বৃহত্তম উচ্চতার আনুভূমিক দূরত্ব নির্ণয় কর ।

খ. গোলপোস্টের উচ্চতা $2.6$ মিটার হলে $5$ মিটার দূরত্ব হতে নেওয়া কিকে কী গোল হবে?

গ. খেলোয়াড়টি $9$ মিটার/সেকেন্ড সমবেগে দৌড়ালে কিক নেওয়া বলটি কী পুনরায় ধরতে পারবে?

গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

বাংলাদেশ ও ভারতের মধ্যে ক্রিকেট খেলার সময় সাকিব আল হাসান ব্যাট দ্বারা একটি বলকে আঘাত করার ফলে বলটি ভূমির সাথে $30°$ কোণে $30 \mathrm {m/s}$ বেগে চলে।

কিন্তু বাউন্ডারী লাইনের মধ্যে থাকা ভারতীয় ফিল্ডার যুবরাজ বলটি ভূমি থেকে $2\mathrm m$ উপরে ধরে ফেলেন।

ক. সাকিব আল হাসান এর ব্যাট দ্বারা আঘাতকৃত বলটি আঘাতের $1s$ পরে বেগ কত ছিল তা নির্ণয় কর।

খ. কত আনুভূমিক দূরত্বে যুবরাজ বলটি ধরেছিলেন?

গ. ক্যাচ না হলে বলটির সর্বাধিক উচ্চতা এবং আনুভূমিক পাল্লা কত হতে পারত তা নির্ণয় কর।

একজন স্যুটার $9.8$ মি. দূরে $2.45$ মিটার উঁচু দেয়ালে রাখা একটি বস্তুকে লক্ষ্য করে বুলেট ছুড়লে, বুলেটটি লক্ষ্যভ্রষ্ট হয়ে দেয়ালে লেগে এর মধ্যে অনুভূমিকভাবে $2\mathrm {cm}$ প্রবেশ করার পর বেগ অর্ধেক হারায়।

ক. কোনো বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়ারত দুইটি বেগ সমান হলে বেগ দুটির লব্ধির দিক নির্ণয় কর।

খ. বুলেটটির বেগ শূন্য হওয়ার আগে দেওয়ালের ভিতর কতদূর প্রবেশ করবে?

গ. বুলেটটি দেয়ালের ঠিক উপর দিয়ে আনুভূমিকভাবে চলে গেলে ঐ মুহূর্তে বুলেটটির বেগের মান নির্ণয় কর।

আর্জেন্টিনা বনাম ব্রাজিলের খেলায় মেসি গোল পোস্ট থেকে $4\mathrm m$ দূরে $12 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে আনুভূমিকের সাথে $40°$ কোণে কিক করল। গোল পোস্টের উচ্চতা $2.4\mathrm m$

ক. খাড়াভাবে উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বাধিক উচ্চতা নির্ণয় কর।

খ. বলটি কিক করার $1$ সেকেন্ড পরে বেগ ও আনুভূমিক দূরত্ব নির্ণয় কর।

গ. গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করে দেখাও যে, উক্ত শটটিতে মেসি গোল করতে অসমর্থ হবে।

কোনো বিন্দুতে একই সময়ে $\alpha$ কোণে ক্রিয়ারত $\mathrm u$ ও $\mathrm v$ বেগদ্বয়ের লব্ধি $\mathrm w.$

ক. $\mathrm w$ নির্ণয় কর যখন $\mathrm u = 3$ সে.মি./সে. $\mathrm v = 5$ সে.মি./সে. এবং $\alpha=60^{\circ}$

খ. $\mathrm{u}=\mathrm{v}$ হলে লব্ধির মান ও দিক $\alpha$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গ. লব্ধি বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম হওয়ার শর্ত নির্ণয় কর।

কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত $\mathrm u$ ও $\mathrm v$ বেগদ্বয়ের লব্ধি $\mathrm w$

ক. $\mathrm u$ ও $\mathrm v$ এর মধ্যবতী কোণ নির্ণয় কর যখন $\mathrm {u}=\mathrm {v}=\mathrm {w} .$

খ. $\mathrm u$ এর দিক বরাবর $\mathrm w$ এর লম্বাংশের পরিমাণ $\mathrm v$ হলে বেগ দুইটির অন্তর্গত কোণ ও

লব্ধিকে $\mathrm u$ ও $\mathrm v$ এর সাহায্যে প্রকাশ কর।

গ. দেখাও যে, u কে বিপরীতমুখী করে তার স্থলে $\left(\mathrm w^{2}-\mathrm v^{2}\right) / \mathrm u$ বেগ প্রয়োগ করলে

লব্ধির মান অপরিবর্তিত থাকবে ।

এক বন্দরে দুইটি জাহাজ স্থির অবস্থান করছিল। একটি জাহাজ উত্তর-পূর্ব দিকে $27$ কি.মি./ঘণ্টা বেগে এবং অপর জাহাজটি $36$ কি.মি./ঘন্টা বেগে দক্ষিণ-পূর্ব দিকে যাত্রা শুরু করল।

জাহাজ দুটির বেতার যন্ত্রের সর্বোচ্চ গ্রহনসীমা $450$ কি.মি: ।

ক. $3$ ঘণ্টায় জাহাজ দুটির অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।

খ. দ্বিতীয় জাহাজের আরোহীর সাপেক্ষে প্রথম জাহাজটির বেগের মান ও দিক নির্ণয় কর ।

গ. দেখাও যে, $10$ ঘণ্টা পর তাদের যোগাযোগ বিচ্ছিন্ন হয়ে যাবে ।

এক ব্যক্তি একটি পাথরের টুকরা খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করল। টুকরাটি সর্বোচ্চ $39.2$ মিটার উঠে ভূমিতে ফিরে আসে।

ক. একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে সমত্বরণে প্রথম সেকেন্ডে $1$ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে ।

পরবর্তী $1$ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে ?

খ. পাথরের টুকরাটি সর্বোচ্চ উচ্চতার অর্ধেক অতিক্রম করার সময় বেগ কত হবে?

গ. পাথরটি যদি $t_{1}$ ও $t_{2}$ সময়ে ভূমির $h$ উচ্চতায় অবস্থান করে তাহলে দেখাও যে, $2 \mathrm{~h}=g t_{1} t_{2}$

একটি বস্তু $\alpha$ কোণে প্রক্ষিপ্ত হলে বিচরণ কাল $T_{1}$ এবং $\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ কোণে প্রক্ষিপ্ত হলে বিচরণকাল $\mathrm{T}_{2}$ ।

ক. আনুভুমিক পাল্লা $\mathrm R$ এর সর্বোচ্চ হওয়ার শর্ত নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm R$ কে $\mathrm{h}_{1}$ ও $\mathrm{h}_{2}$এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

গ. দেখাও যে, $\frac{T_{1}}{T_{2}}+\frac{T_{2}}{T_{1}}=2 \operatorname{cosec} 2 \alpha$

একটি বলকে একই বেগে বিভিন্ন কোণে নিক্ষেপ করে বলটি আনুভূমিকভাবে কত দূরত্ব অতিক্রম করে তা পরিমাপ করা হয়। বলটি সর্বোচ্চ $R_{\max }$ দূরত্ব অতিক্রম করে।

ক. $\alpha$ কোণে নিক্ষেপ করলে যদি $\mathrm R$ দূরত্ব অতিক্রম করে তাহলে $\mathrm R$ ও $\mathrm{R}_{\max }$ এর সম্পর্ক নির্ণয় কর।

খ. আনুভূমিক পাল্লা ও সর্বোচ্চ উচ্চতা সমান হলে নিক্ষেপ কোণ নির্ণয় কর ।

গ. যদি বলটি দুটি ভিন্ন পথে একই দূরত্ব অতিক্রম করে এবং ঐ পথ দুটিতে বৃহত্তম উচ্চতা $\mathrm{h}_{1}$ ও $\mathrm{h}_{2}$ হয়

তাহলে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{R}_{\max }=2\left(\mathrm{~h}_{1}+\mathrm{h}_{2}\right)$

$A$ বস্তুকে $196 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলো ।

ক. কোন নির্দিষ্ট বেগের মান $10 \mathrm{~ms}^{-1}$ হলে তার দুই পাশে তার সাথে $30°$ ও $60°$ কোণে কার্যরত অংশকদ্বয় নির্ণয় কর।

খ. $A$ বস্তু নিক্ষেপের $6$ সে. পরে কত বেগে $B$ বস্তুকে একইদিকে নিক্ষেপ করা হলে এটি $A$ বস্তুর সর্বোচ্চ উচ্চতায় মিলিত হবে।

গ. $A$ বস্তুটিকে কত উচ্চতা থেকে একই বেগে ভূমির সমান্তরালে নিক্ষেপ করলে $5$ সে. পর ভূমিতে পতিত হবে এবং পতন বেগ কত হবে?

$4$ মিটার উঁচু $AB$ এবং $CD$ দেয়ালের মধ্যবর্তী দূরত্ব $10$ মিটার। একটি বস্তুকে $O$ বিন্দু হতে আনুভূমিকের সাথে $60°$ কোণে এমনভাবে নিক্ষেপ করা হলো যেন উভয় দেয়ালকে স্পর্শ করে ভূমিতে পতিত হয় ।

ক. $7$ ও $8$ কিলোগ্রাম ওজনের দুইটি বলের লব্ধি $13$ কিলোগ্রাম হলে বলদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।

খ. যদি $CD$ দেয়ালের শীর্ষ হতে অনুভূমিকের সাথে $30°$ কোণে $4$ মি./সে. বেগে একটি বস্তুকে নিক্ষেপ করা হয়

তাহলে এটি $CD$ এর পাদদেশ হতে কত দূরে ভূমিতে পতিত হবে?

গ. প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির অনুভূমিক পাল্লা নির্ণয় কর।

এখানে, $\alpha_{1}$, কোণে ও $\alpha_{2}$ কোণে বিচরণ কাল যথাক্রমে $t_{1}$ ও $t_{2}$ এবং উভয়ক্ষেত্রে আনুভূমিক পাল্লা $\mathrm R$

ক. $\alpha_{1}$ ও $\alpha_{2}$ এর সম্পর্ক নির্ণয় কর।

খ. $\alpha_{1}=33^{\circ}$ এবং $u=30$ মি./সে. হলে উভয় পথে সর্বোচ্চ উচ্চতার পার্থক্য নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{R}=\frac{1}{2} g \mathrm{t}_{1} \mathrm{t}_{2}$

কোনো কণার উপর একই সময়ে $u$ ও $v$ দুইটি বেগ পরস্পর $\alpha$ কোণে ক্রিয়া করছে।

ক. নদীতে স্রোত না থাকলে একজন সাঁতারু $4$ মিনিটে এবং স্রোত থাকলে $5$ মিনিটে একটি নদী সোজাসুজি পার হয় । নদীর প্রস্থ $100$ মিটার হলে, স্রোতের বেগ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের বেগ দুইটি সমান হলে এদের লব্ধির মান কত? দেখাও যে এ লব্ধি তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ।

গ. যদি $v=2 u$ হয় এবং এদের লব্ধি $u$ বেগের সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে, তবে $\alpha$ এর মান নির্ণয় কর। এক্ষেত্রে দেখাও যে, α বেগ দুইটির লব্ধি $\sqrt{3} \mathrm{u} \text {. }$

চিত্রে প্রবাহমান নদীটির প্রস্থ $1.5 km$ স্রোতের বেগ $4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ এবং নৌকার বেগ $5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ সুজন মাঝি $OC$ বরাবর যাত্রা করে $OD$ বরাবর ওপারে পৌছালেন।

ক. চিত্রে একটি নৌকা $O$ থেকে যাত্রা করে নদীর অপর তীরে $C$ বিন্দুতে পৌছাবার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত কি? যখন স্রোতের বেগ $u$ এবং নৌকার বেগ $v$

খ. $OD$ বরাবর নৌকার অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।

গ. $OB$ বরাবর যাত্রা করে সুজন মাঝি $C$ বিন্দুতে পৌঁছতে পারবে কি? গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও। এক্ষেত্রে নদী পাড়ি দিতে তার কত সময় লাগবে?

$u$ এবং $v$ দুইটি বেগ একটি বিন্দুতে একই সময়ে কার্যরত আছে।

ক. কখন $u$ এবং $\mathrm{v}(\mathrm{u}>\mathrm{v})$ দুইটি বেগের লব্ধি ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম হয়। ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম লব্ধির মান লিখ ।

খ. যদি বৃহত্তম লব্ধি ক্ষুদ্রতম লব্ধির $n$ গুণ হয় এবং বেগ দুইটি $\alpha$ কোণে ক্রিয়া করলে লব্ধি এদের গড় বেগের সমান হয়,

তবে প্রমাণ কর যে, $\cos \alpha=\frac{n^{2}+2}{2\left(1-n^{2}\right)}$

গ. উদ্দীপকের বেগ দুইটি $\theta$ কোণে ক্রিয়া করলে এদের লদ্ধি বৃহত্তর বেগের সাথে $60°$ কোণ উৎপন্ন করে ।

বৃহত্তর বেগটি দ্বিগুণ করলে উক্ত কোণটি $30°$ হয় । $\theta$ এর মান কত?

একটি নৌকা বাইচ প্রতিযোগিতায় একজন মাঝিকে $1 \mathrm{~km}$ প্রস্থ বিশিষ্ট নদী সোজাসুজি পার হয়ে নির্ধারিত $6$ মিনিটে তীরে পৌছাতে হবে। নদীতে স্রোতের বেগ $6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ এবং নৌকার বেগ $12 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$

ক. সোজাসুজি নদী পার হবার জন্য মাঝি স্রোতের সাথে $\alpha$ কোণে যাত্রা করল । $\alpha$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকে উল্লিখিত সময়ের মধ্যে মাঝি তীরে পৌঁছাতে পারবে কিনা তা গাণিতিক বিশ্লেষণ কর ।

গ. অপর একজন প্রতিযোগী মাঝি সোজা পথে একই বেগে নৌকা চালালো । সে কোন দিকে, কত সময়ে অপর তীরে কোথায় পৌঁছাবে তা নির্ণয় কর ।

কোনো বন্দর হতে একখানা জাহাজ উত্তর-পশ্চিম দিকে $15 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ বেগে যাত্ৰা করল । একই সময়ে একই স্থান থেকে অপর একখানি জাহাজ দক্ষিণ-পশ্চিম দিকে $12 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ বেগে যাত্রা করল ।

ক. আপেক্ষিক বেগ বলতে কি বুঝ? দুইটি রেলগাড়ী সমান্তরাল রেলপথে একই দিকে $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ সমান বেগে চলছে। এদের আপেক্ষিক বেগ কত?

খ. উদ্দীপকে উল্লিখিত জাহাজ দুইটির বেতার যন্ত্রের গ্রহণ শক্তির সীমা সর্বোচ্চ $500 \mathrm{~km}$ হলে, কত সময় তারা যোগাযোগ রক্ষা করতে পারবে?

গ. যাত্রা করার $10$ ঘণ্টা পর জাহাজ দুইটির অবস্থান $A$ ও $B$ হলে $AB$ এর দূরত্ব নির্ণয় কর।