Questions in this chapter

$D=$$\left[\begin{array}{ccc}x & y & z \\x^{2} & y^{2} & z^{2} \\x^{3}-1 & y^{3}-1 & z^{3}-1\end{array}\right],$$B=$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\1 & 0 & 2 \\3 & 4 & -5\end{array}\right]$

ক. $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ ভেক্টর বরাবর $\vec{b}=5 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় কর ।

খ. প্রমাণ কর যে, $|D|=(x y z-1)$$(x-y)(y-z)(z-x)$

গ. $B^{2}-3 B+5 I$ নির্ণয় কর।

$A = [1 \ 2 \ 3],$ $\mathrm{BA}=\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 6 \\3 & 6 & 9 \\1 & 2 & 3\end{array}\right]$ হলে B ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\15 & -4\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\-1 & 3 & -1 \\-1 & 2 & -5\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{l}6 \\1 \\1\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$

ক. A ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতি কিনা যাচাই কর ।

খ. $f(x)=x^{2}-2 x$ হলে $f(B)$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{B}^{\mathrm{T}} \mathrm{D}=\mathbf{C}$ থেকে প্রাপ্ত সমীকরণ জোটকে নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right] BA$$=\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 6 \\3 & 6 & 9 \\1 & 2 & 3\end{array}\right]$ হলে B ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর।

$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{x}+\mathbf{y} & \mathbf{x} & \mathbf{y} \\\mathbf{x} & \mathbf{x}+\mathbf{z} & \mathbf{z}\\\mathbf{y} & \mathbf{z} & \mathbf{y}+\mathbf{z}\end{array}\right|$ এর মান কত?

যদি $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\3 & 2\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{rr}-2 & 1 \\5 & -2\end{array}\right]$ এবং $\mathbf{A B C}=\left[\begin{array}{rr}-2 & 4 \\3 & -1\end{array}\right]$ তাহলে B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

দুটি ম্যাট্রিক্স A এবং B দেয়া আছে। AB ও BA এর মধ্যে কোন সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় কর। $B^{-1}$ কে X ও A এর মাধ্যমে প্রকাশ করো?

$A=\left[\begin{array}{ccc}3 x & -4 x & 2 x \\-2 x & x & 0 \\-x & -x & x\end{array}\right]$ এবং $B=\left[\begin{array}{ccc}x & 2 x & -2 x \\2 x & 5 x & -4 x \\3 x & 7 x & -5 x\end{array}\right]$

যদি $A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}\frac{5}{7} & \frac{1}{7} \\\frac{3}{7} & \frac{2}{7}\end{array}\right]$ হয় তাহলে $A^{2}+2 A$ এর মান নির্ণয় কর।

যদি $\left[\begin{array}{l}4 \\1 \\3\end{array}\right] A=\left[\begin{array}{lll}-4 & 8 & 4 \\-1 & 2 & 1 \\-3 & 6 & 3\end{array}\right]$ হয়, তাহলে A ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর।

যদি $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\2 & 1\end{array}\right]$ এবং $A B=\left[\begin{array}{cc}10 & 17 \\4 & 7\end{array}\right]$ হয় তবে B ম্যাট্রিক্স এর উপাদানসমূহ বের কর।

সমাধান করঃ $\left|\begin{array}{ccc}x+4 & 3 & 3 \\3 & x+4 & 5 \\5 & 5 & x+1\end{array}\right|=0$

কারণ প্রদর্শন করে এবং বিস্তার না করে সত্য অথবা মিথ্যা উত্তর কর ।

(i) $\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\5 & 6 & 7 \\8 & 7 & 6\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\6 & 5 & 7 \\7 & 8 & 6\end{array}\right|$

(ii) $\left|\begin{array}{ccc}1 & 3 & -4 \\2 & 8 & 3 \\0 & -2 & 5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\3 & 8 & -2 \\-4 & 3 & 5\end{array}\right|$

(iii) Cofactor (সহগুণক) of 2 in$\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \\3 & 4\end{array}\right| \text { is }(-3)$

(iv) $\left|\begin{array}{ccc}x^{2}-y^{2} & x+y & x \\x-y & 1 & 1 \\x-y & 1 & y\end{array}\right|=0$

যদি = $A=\left[\begin{array}{ll}4 & 3 \\2 & 1\end{array}\right]$ এবং $A B=\left[\begin{array}{cc}10 & 17 \\4 & 7\end{array}\right]$ হয়,তবে B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

সমাধান কর : $\left|\begin{array}{ccc}3+x & 2 & 4 \\2 & x+3 & 4 \\2 & 4 & x+3\end{array}\right|=0$

যদি $=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]$ তা হলে $\alpha$ এর মান কত হলে $A+A^{'}=I$ হবে?

যদি $\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\-1 & 2 \\2 & 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\0 & 1 \\2 & -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}x & -1 \\-1 & z \\y & -3\end{array}\right]$ হয়, তাহলে (x,y,z)-

k এর কোন মানের জন্য $\begin{vmatrix}k{\sqrt{k}} & 2 \\2& {\sqrt{k}}\end{vmatrix}$ ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে না ?

মান নির্ণয় কর : $\left|\begin{array}{ccccc}3 & 0 & 0 & -2 & 4 \\0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 & 5 & -3 \\-4 & 0 & 1 & 0 & 6 \\0 & -1 & 0 & 3 & 2\end{array}\right|$

মান নির্ণয় কর $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\1 & \mathrm{p} & \mathrm{p}^{2} \\1 & \mathrm{p}^{2} & \mathrm{p}^{4}\end{array}\right|$

প্রমাণ কর যে,$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\2 b & b-c-a & 2 b \\2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$