Questions in this chapter

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -2 \\3 & 2 & 2 \\5 & 4 & 3\end{array}\right],$$\mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 3 \\-2 & 4 & 6 \\-1 & 3 & 5\end{array}\right]$

$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right],$$P=\left[\begin{array}{c}10 \\1 \\4\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{cc}1 & -5 \\-5 & 6\end{array}\right]$ একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স ব্যাখ্যা করো । []

খ. $\mathrm{B}^{-1}$ নির্ণয় করো।

গ. $A X=P$ থেকে গঠিত সমীকরণ জোট 'ক্রেমারের' নিয়মে সমাধান করো।

$A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 2 \\3 & -1 & -2 \\1 & 5 & -2\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{l}1 \\2 \\3\end{array}\right]$

ক. সব স্কেলার ম্যাট্রিক্সই কর্ণ ম্যাট্রিক্স — ব্যাখ্যা করো ।

খ. $\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$ নির্ণয় করো ।

গ. $\mathrm{AB}=\mathrm{C}$ থেকে প্রাপ্ত সমীকরণ জোট নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান করো ।

$A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 1 \\0 & 2 & -1 \\1 & -1 & 2\end{array}\right]$ এবং $B=\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & -1 \\-2 & 1 & 0 \\-1 & 0 & 2\end{array}\right]$ দুইটি ম্যাট্রিক্স ।

ক. $A$ কোন ধরনের ম্যাট্রিক্স? তোমার উত্তরের স্বপক্ষে ব্যাখ্যা দাও ।

খ. $AB$ নির্ণয় কর।

গ. $\left(B^{T}\right)^{-1}$ নির্ণয় কর ।

$A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 2 & 3 \\1 & -2 & 4 \\2 & 0 & 5\end{array}\right]$ এবং $f(x)=x^{2}-3 x$

ক. $|\mathrm{A}|$ নির্ণয় কর।

খ. $f(\mathrm{~A})$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{AA}^{-1}=\mathrm{I}_{3}$

$A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 2 & x \\-7 & 4 & 1 \\3 & -2 & 1\end{array}\right]$ একটি ম্যাট্রিক্স

ক. x এর কোন মানের জন্য $|A|=0$ হবে ?

খ. $x = 1$ ধরে প্রাপ্ত $B$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত বর্গ ম্যাট্রিক্স, $\mathrm{B}^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{BB}^{-1}=\mathrm{I}_{3}$

$\left.\begin{array}{r}2 x+y+z=0 \\x+y-3 z=0 \\3 x+2 y-3 z=1\end{array}\right\}$ একটি তিন চলকবিশিষ্ট সমীকরণ জোট ।

ক. $k$ এর মান কত হলে, $\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 1 \\2 & \mathrm{k} & 3 \\0 & 0 & 2\end{array}\right]$ একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে?

খ. ক্রেমারের নিয়ম অনুযায়ী উদ্দীপকের সমীকরণ জোটের সমাধানের সম্ভাব্যতা যাচাই কর ।

গ. ক্রেমারের নিয়মে উদ্দীপকের সমীকরণ জোটের সমাধান কর।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{r}4 \\6 \\-1\end{array}\right]$ এবং $C=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & -5 & 6\end{array}\right]$ তিনটি ম্যাট্রিক্স ।

ক. $A$ থেকে কি নির্ণায়ক গঠন করা সম্ভব? তোমার উত্তর না সূচক হলে, তবে কেন?

খ. $AB$ নির্ণয় কর।

গ. $(AB)C$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\2 & -3\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\5 & 6\end{array}\right]$

ক. $A$ প্রতিসম কিনা? হ্যাঁ সূচক হলে, তা কারণসহ ব্যাখ্যা কর ।

খ. প্রমাণ কর যে, $(\mathrm{AB})^{-1}=\mathrm{B}^{-1} \mathrm{~A}^{-1}$

গ. $\left(\mathrm{B}^{2}-3 \mathrm{~B}+5 \mathrm{I}\right)$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর, যেখানে $I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]$

$M=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\3 & -3 & -1 \\2 & 1 & 0\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{cc}2 & -x \\y-1 & 2\end{array}\right]$$=\left[\begin{array}{cc}2 & 3+y \\4 & 2\end{array}\right]$ হলে, (x, y) নির্ণয় কর ।

খ. $\mathrm{M}^{2}-3 \mathrm{M}+\mathrm{MI}$ এর মান নির্ণয় কর, যেখানে। অভেদক ম্যাট্রিক্স।

গ. $M$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান থাকলে তা নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প : $\mathrm{A}, \mathrm{X}, \mathrm{B}$ ম্যাট্রিক্স হলে, $A X=B$ থেকে প্রাপ্ত

সমীকরণ জোট :

$\begin{array}{l}x+y+z=1 \\u x+v y+w z=t \\u^{2} x+v^{2} y+w^{2} z=t^{2}\end{array}$

ক. $2\left[\begin{array}{rr}-1 & -2 \\2 & -1\end{array}\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_{2}$ হলে, $F$ ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর, যেখানে $\mathrm{I}_{2}$ ইউনিট ম্যাট্রিক্স ।

খ. দৃশ্যকল্প থেকে প্রমাণ কর যে, $|A|=(u-v)(v-w)(w-u)$

গ. দৃশ্যকল্প থেকে প্রমাণ কর যে, $\mathrm {\left(A^{-1}\right)^{-1}=A}$ যখন $\mathrm {\mathrm{u}=0,v=1}$ এবং $\mathrm {w=2}$

দৃশ্যকল্প : $\text { (i) } A=\left[\begin{array}{lll}5 & 0 & 1 \\2 & 3 & 4 \\5 & 0 & 3\end{array}\right] \text {, }$

$\text { (ii) } \mathrm{B}=\left|\begin{array}{rrr}p & q & r \\p^{2} & q^{2} & r^{2} \\p^{3}-1 & q^{3}-1 & r^{3}-1\end{array}\right|$

ক. দৃশ্যকল্প থেকে A ম্যাট্রিক্সটি শূন্য সমঘাতি কিনা তা যাচাই কর।

খ. $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $|B|=(p q r-1)(p-q)(q-r)(r-p)$

$2 x+3 y+5 z$$=13,3 x+4 y-2 z$$=9,5 x-2 y+z=2$

সমীকরণ জোটের $x, y, z$ এর সহগগুলি দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স $A$

ক. প্রমাণ কর যে, $A^{\mathrm{T}}=\mathrm{A}$

খ. $A^{2}-3 A+51$ নির্ণয় কর, যেখানে $I$ একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স ।

গ. নির্ণায়কের সাহায্যে উদ্দীপকের সমীকরণ জোট থেকে $(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ 'নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প : $\text { (i) } A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 3 & 2 \\2 & 0 & 3 \\1 & -1 & 1\end{array}\right] \text {, }$$\text { (ii) } B=\left[\begin{array}{lll}1 & 5 & 6 \\2 & 0 & 3 \\4 & 5 & 6\end{array}\right]$

ক. দৃশ্যকল্প থেকে $\mathrm{b}_{23}$ এবং $\mathrm{b}_{32}$ এর সহগুণকের পার্থক্য নির্ণয় কর,

যেখানে $\mathrm{b}_{\mathrm{ij}}$ হলো $|\mathrm{B}|$ এর $(\mathrm{i}, \mathrm{j})$ তম ভুক্তির সহগুণক ।

খ, $A^{3}-2 A^{2}+A-2 I_{3}$ এর মান নির্ণয় কর; যেখানে $\mathrm{I}_{3}$ হলো

$3 \times 3$ ক্রমের ইউনিট ম্যাট্রিক্স ।

গ. $C=\operatorname{Adj} A$ হলে, $|C|$ এবং $|A|$ এর অনুপাত নির্ণয় কর ।

$A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\-1 & 3 & 4 \\1 & -2 & -3\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{l}1 \\1 \\1\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right]$

ক. $A$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত যোগ্যতা যাচাই কর ।

খ. প্রমাণ কর যে,$(\mathrm{AB}) \mathrm{C}=\mathrm{A}(\mathrm{BC})$

গ. প্রমাণ কর যে, $A^{\mathrm{T}}=\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{2}$

$A=\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\3 & 5\end{array}\right] ;$$B=\left[\begin{array}{l}6 \\1\end{array}\right]$ এবং $x=\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right] \text {. }$

ক. $p$ এর মান কত হলে $\left[\begin{array}{cc}p-2 & 3 \\4 & 5\end{array}\right]$ একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

খ. উদ্দীপকের আলোকে, $A^{2}-5 A+6 I$ নির্ণয় কর, যেখানে $I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]$

গ. উদ্দীপকের আলোকে $A X=B$ হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে $x, y$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\2 & 1 & 2 \\2 & 2 & 1\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{ccc}b^{2}+c^{2} & a b & \text { ca } \\a b & c^{2}+a^{2} & b c \\c a & b c & a^{2}+b^{2}\end{array}\right]$

ক. x এর যেসব মানের জন্য $\left[\begin{array}{cc}x^{2} & 3 x \\2 & -3\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে তা নির্ণয় কর ।

খ, $\mathrm{AC}=\mathrm{I}_{3}$ হলে, $C$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $|B| \equiv 4 a^{2} b^{2} c^{2}$

$A=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\3 & 4\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{cc}4 & -2 \\3 & 2\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 3 \\2 & 1 & 4 \\3 & 2 & 4\end{array}\right]$

$\mathrm{D}=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 3 \\3 & 2 & 1 \\4 & 5 & 6\end{array}\right]$

ক. প্রমাণ কর যে, $(A-B)^{T}=A^{T}-B^{T}$

খ. $3 C_{12}-5 C_{32}+8 C_{33}$ এর মান নির্ণয় কর; যখন $C_{i j}$ হলো. $|\mathrm{C}|$ এর $(\mathrm{i}, \mathrm{j})$ তম ভুক্তির সহগুণক

গ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{DD}^{-1}=\mathrm{I}_{3},$ যেখানে $\mathrm{I}_{3}$, হলো অভেদক ম্যাট্রিক্স।

দৃশ্যকল্প : $\text { (i) } A=\left[\begin{array}{ccc}3+a & 4 & 2 \\4 & 2+a & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right]$

$\text { (ii) } B=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right] \text {, }$ $\text { (iii) } \mathrm{C}=\left[\begin{array}{l}3 \\2 \\2\end{array}\right]$

ক. $\mathrm a=-3$ হলে, দৃশ্যকল্প থেকে $|\mathrm A|$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm A$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে, $\mathrm a$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $\mathrm a=-2$ এবং $A B=C$ হলে, $B$ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প : $\text { (i) } A=\left[\begin{array}{ccc}3 & -4 & 2 \\-2 & 1 & 0 \\-1 & -1 & 1\end{array}\right]$

$\text { (ii) } B=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & -2 \\2 & 5 & -4 \\3 & 7 & -5\end{array}\right]$ $\text { (iii) }\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\4 & 5 & -3\end{array}\right]$

ক. দৃশ্যকল্প থেকে $\mathrm {A^{T}-B^{T}}$ নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm {\mathrm{C}(\mathrm{A}+\mathrm{B})=\mathrm{CA}+\mathrm{CB}}$

গ. প্রমাণ কর যে, $(\mathrm{AB})^{\mathrm{T}}=\mathrm{B}^{\mathrm{T}} \mathrm{A}^{\mathrm{T}}$

$M=\left[\begin{array}{cc}1+a^{2}-b^{2} & 2 a b \\2 a b & 1-a^{2}+b^{2} \\2 b & -2 a\end{array}\right.$$\quad$$\left.\begin{array}{c}-2 b \\2 a \\1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right]$

ক. $A=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\1 & 4\end{array}\right]$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\mathrm{AA}^{-1}=\mathrm{I}_{2},$ যেখানে $\mathrm I_{2}$ একটি ইউনিট ম্যাট্রিক্স।

খ. $\mathrm{a}=\mathrm{b}=1$ হলে, উদ্দীপক থেকে প্রমাণ কর যে, $|M|=\left(1+a^{2}+b^{2}\right)^{3}$

গ. $a=b=2$ হলে, উদ্দীপক থেকে প্রমাণ কর যে, $|\mathrm{M}| . \mathrm{M}^{-1}=\operatorname{Adj} \mathrm{M} .$