Questions in this chapter

$A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\-2 & 1 & 0\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\-3 & 7 \\5 & 0\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{cc}5 & 1 \\1 & -3\end{array}\right],$$D=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\0 & -2 & 2 \\1 & 2 & 3\end{array}\right]$

ক. $X$-এর যেসব মানের জন্য $\left[\begin{array}{cc}x^{2} & 2 x \\5 & 3\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্স ব্যতিক্রমী হবে তা নির্ণয় কর ।

খ. $\mathrm{AB}-\mathrm{C}^{2}+2 \mathrm{I}_{2}$ নির্ণয় করা

গ. $\mathrm{D}^{-1}$ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 2 \\1 & 2 & 0\end{array}\right], B=A^{t}, f(x)=x^{2}-4 x$

ক. $g(x)=\frac{1}{2 x-3}$ ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $f(\mathrm{~B})$ নির্ণয় কর।

গ. B এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{l}2 \\5 \\4\end{array}\right]$

ক. $A \times C$ নির্ণয় করে উহার মাত্রা নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. $A \times B=C$ হলে, ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোটটির সমাধান কর ।

$f(x)=x^{2}+3 x, g(x)=2 x-3$ এবং $A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & -1 \\2 & 3 & 4 \\-4 & 5 & 6\end{array}\right]$

ক. নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর : $x+3 y+2=0,2 x+y+3=0$

খ. $f(\mathrm{~A})+\mathrm{I}$ নির্ণয় কর ।

গ. $gof(x)$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -3 \\-2 & 1 & 0\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{rr}-1 & 2 \\-3 & 7 \\5 & 0\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{rr}5 & 1 \\1 & -3\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\0 & -2 & 2 \\1 & 2 & 3\end{array}\right]$

ক. $x$ -এর যেসব মানের জন্য $\left[\begin{array}{cc}x^{2} & 2 x \\5 & 3\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্স ব্যতিক্রমী হবে তা নির্ণয় কর ।

খ. $\mathrm{AB}-\mathrm{C}^{2}+2 \mathrm{I}_{2}$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{D}^{-1}$ নির্ণয় কর।

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 2 \\1 & 2 & 0\end{array}\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}$

ক. $g(x)=\frac{1}{2 x-3}$ - ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

খ. $f(\mathrm{~B})$ নির্ণয় কর ।

গ. $B$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\3 & 5\end{array}\right] ; \mathrm{B}=\left[\begin{array}{l}6 \\1\end{array}\right] \text { এবং } \mathrm{X}=\left[\begin{array}{c}x \\\dot{y}\end{array}\right]$

ক. $p$ এর মান কত হলে $\left[\begin{array}{cc}p-2 & 3 \\4 & 5\end{array}\right]$ একটি ব্যতিক্রমী বৰ্গ ম্যাট্রিক্স হবে ?

খ. উদ্দীপকের আলোকে, $A^{2}-5 A+6 I$ নির্ণয় কর , যেখানে, $I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]$ ।

গ. উদ্দীপকের আলোকে, $A X=B$ হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে $x,y$ নির্ণয় কর

$M=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\3 & -3 & -1 \\2 & 1 & 0\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{cr}2 & -x \\y-1 & 2\end{array}\right]$$=\left[\begin{array}{rr}2 & 3+y \\4 & 2\end{array}\right]$ হলে $(x, y)$ নির্ণয় কর ।

খ. $M^{2}-3 M+M I$ এর মান নির্ণয় কর, যেখানে $I$ একক ম্যাট্রিক্স ।

গ. $M$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান থাকলে তা নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\4 & -3\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\1 & 2\end{array}\right]$ এবং $f(x)=x^{2}+2 x-8$

ক. $|A+B|$ নির্ণয় কর ।

খ. দেখাও যে, $(\mathrm{AB})^{-1}=\mathrm{B}^{-1} \mathrm{~A}^{-1}$

গ. প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{3} \mathrm{f}(\mathrm{A})$ একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

$P=\left[\begin{array}{ccc}5+a & 6 & 3 \\4 & 3+a & 2 \\1 & 7 & 1+a\end{array}\right]$

ক. $a=0$ হলে $|P|$ নির্ণয় কর।

খ. ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে $a$ এর মান নির্ণয় কর। !

গ. $a=-6$ হলে $P^{3}+8 P^{2}-20 P-192 I$ এর মান নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -4 \\1 & 0 & -2 \\1 & -5 & 6\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{ccc}15 & 2 & -2 \\4 & 5 & -4 \\-5 & 3 & 7\end{array}\right]$

ক. $2 A+3 C$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\mathrm{AC} \neq \mathrm{CA}$

গ. $A B=\left[\begin{array}{l}1 \\3 \\2\end{array}\right]$ হলে নির্ণায়ক পদ্ধতিতে $x, y$ ও $z$ এর মান নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{ccc}s+c & s-b-c & s-c-a \\s-a-b & s+a & s-c-a \\s-a-b & s-b-c & s+b\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\2 & 1 & 2 \\3 & 2 & 1\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right], F=\left[\begin{array}{l}11 \\10 \\9\end{array}\right]$

ক. $\mathrm{B}_{11}+\mathrm{B}_{33}$ এর মান নির্ণয় কর যেখানে $B_{ij}$ হলো $(i, j)$-তম ভুক্তির সহগুণক ।

খ. $s=a+b+c$ হলে, দেখাও যে, $|A|=2(a+b+c)^{3}$

গ. $B C=F$ হলে দেখাও যে, $x+y+z=5$

$P=\left[\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \\b & b^{2} & 1+b^{3} \\c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}\right]$

ক. $\left[\begin{array}{rrr}2 & -3 & -5 \\-1 & 4 & 5 \\1 & -3 & -4\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতি কিনা,যাচাই কর ।

খ. $a=1, b=-1$ ও $c=-2$ হলে $\mathrm{P}^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $|P|=(1+a b c)$$(a-c)(b-a)(b-c)$

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\1 & 2 & 1 \\2 & 2 & 3\end{array}\right]$ একটি ম্যাট্রিক্স ।

ক. $\left|\begin{array}{rrr}4 & 3 & 2 \\-1 & 0 & -3 \\7 & 5 & -6\end{array}\right|$ নির্ণায়কের $(1,2)$ তম ভুক্তির

অনুরাশি ও $({3}, 1)$ তম ভুক্তির সহগুণকের মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $A^{3}-6 A^{2}+11 A-6 I=0$

গ. $B=\operatorname{adj} A$ হলে দেখাও যে, $|\mathrm{B}|=6|\mathrm{~A}|$

$A=\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 5 \\-2 & -1 & -3 \\3 & -4 & -9\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{ccc}p^{} & q^{2} & \mathrm{r} \\\mathrm{p}^{2} & \mathrm{q}^{2} & \mathrm{r}^{2} \\\mathrm{p}^{3}-1 & \mathrm{q}^{3}-1 & \mathrm{r}^{3}-1\end{array}\right]$

ক. $A$ সমঘাতি কিনা যাচাই কর ।

খ. $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর ।

গ. দেখাও যে, $|\mathrm{B}|=(\mathrm{pqr}-1)(\mathrm{p}-\mathrm{q})$$(\mathrm{q}-\mathrm{r})(\mathrm{r}-\mathrm{p})$

$P=\left[\begin{array}{rrr}3 & -2 & 2 \\-1 & 6 & 4 \\5 & -3 & 1\end{array}\right],$$Q=\left[\begin{array}{rrr}1 & 5 & 4 \\-2 & -3 & -4 \\-1 & 2 & 3\end{array}\right]$

ক. $P+Q$ ম্যাট্রিক্সটির ট্রেস নির্ণয় কর।

খ. $|\operatorname{adjQ}|$ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $Q^{t} P^{t}=(P Q)^{t}$

একটি সমীকরণ জোট $A X=B$ যেখানে—

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & \lambda & 3 \\2 & 1 & \lambda \\5 & 4 & 7\end{array}\right],$$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$ ও $\mathrm{B}=\left[\begin{array}{l}2 \\1 \\4\end{array}\right]$

ক. $|\mathrm{A}|$ এর $(3,1)$-তম ভুক্তির অনুরাশির মান 1 হলে $\lambda$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. $\lambda$ এর কোন মানের জন্য $A$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী তা নির্ণয় কর।

গ. $\lambda=1$ এর জন্য সমীকরণ জোটটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান কর ।

$B=\left[\begin{array}{rrr}3 & 5 & 2 \\4 & -3 & -4 \\6 & 1 & -1\end{array}\right]$

ক. $B+3 I$ ম্যাট্রিক্সটির মুখ্য কর্ণের উপাদানগুলির গুণফল নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $2 \mathrm{~B}_{13}+8 \mathrm{~B}_{21}-2 \mathrm{~B}_{32}+4 \mathrm{~B}_{22}=0$ যেখানে $\mathrm{B}_{\mathrm{ij}}$

হচ্ছে $|B|$ এর $(\mathrm{i}, \mathrm{j})$ তম ভুক্তির সহগুণক ।

গ. $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}=\mathrm{I}_{3}$ হলে $A$ এর মান নির্ণয় কর ।

$A=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\15 & -4\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}\frac{2 p}{3} & \frac{1}{5} \\r & -1\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\2 & -3\end{array}\right]$

ক. $C$ ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতি কিনা যাচাই কর ।

খ. প্রমাণ কর যে, $(A C)^{t}=C^{t} A^{t}$ ।

গ. $\mathrm{AB}=\left[\begin{array}{ll}4 & \frac{9}{5} \\5 & 7 \end{array}\right]$ হলে $p$ ও $r$ এর মান নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 7 \\0 & 1 & 0 \\1 & -2 & 1\end{array}\right]$ এবং $B=\left[\begin{array}{ccc}-x & 14 x & 7 x \\0 & 1 & 0 \\x & -4 x & -2 x\end{array}\right]$ দুইটি ম্যাট্রিক্স।

ক. স্কেলার ম্যাট্রিক্স ও অভেদক ম্যাট্রিক্সের মধ্যে পার্থক্য লিখ

খ. $|B|+x^{3}+4=0$ হলে x এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm x$ এর কোন মানের জন্য $A$ ম্যাট্রিক্সটি $B$ এর বিপরীত হবে?