Questions in this chapter

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\x & a & b \\x^{3} & a^{3} & b^{3}\end{array}\right]$ এবং $s=a+b+c$

ক. দেখাও যে, $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\-\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি উলম্ব ম্যাট্রিক্স ।

খ. $|\mathrm{A}|=0$ হলে x এর মান নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $\left|\begin{array}{ccc}2 a-s & 2 a & 2 a \\2 b & 2 b-s & 2 b \\2 c & 2 c & 2 c-s\end{array}\right|=s^{3}$

এক ব্যবসায়ী তার দোকানের জন্য ১ম সপ্তাহে যথাক্রমে $4, 2$ ও $1$ প্যাকেট করে কলম, পেন্সিল ও রাবার কিনলেন। অনুরূপভাবে ২য় সপ্তাহে যথাক্রমে $6, 2$ ও $1$ প্যাকেট এবং ৩য় সপ্তাহে $5, 1$ ও $1$ প্যাকেট করে যথাক্রমে কলম, পেন্সিল ও রাবার কিনলেন।

তিনটি সপ্তাহে তার মোট খরচ যথাক্রমে $475$ টাকা, $575$ টাকা ও $425$ টাকা। প্রতি প্যাকেট কলম, পেন্সিল ও রাবারের ক্রয়মূল্য যথাক্রমে $x, y$ ও $z$ টাকা। এরপর তিনি সারি বরাবর সপ্তাহ এবং কলাম বরাবর পণ্যসংখ্যা সাজিয়ে $(3 \times 3)$ আকারে একটি ম্যাট্রিক্স

$D$, সাপ্তাহিক খরচকে সারি বরাবর সাজিয়ে $(3 \times 1)$ আকারের একটি ম্যাট্রিক্স $C$ এবং প্রতি প্যাকেট পণ্যের ক্রয়মূল্যকে যথাক্রমে সারি বরাবর সাজিয়ে $(3 \times 1)$ আকারের একটি ম্যাট্রিক্স $R$ লিখলেন।

ক. $P=\left[\begin{array}{cc}4 & -3 \\-2 & 7\end{array}\right]$ ও $Q=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\-1 & 5\end{array}\right]$ হলে $(P-2 Q)^{t}$ নির্ণয় কর।

খ. $f(x)=x^{2}-7 x-4$ হলে $\text { f(D) }$ নির্ণয় কর।

গ. বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে প্রতি প্যাকেট পণ্যের ক্রয়মূল্য নির্ণয় কর।

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ছয়টি বিন্দু যথাক্রমে $\mathrm{A}(1,1+y, 1), \mathrm{B}(4,5,6), \mathrm{C}(1+\mathrm{x}, 1,1), \mathrm{D}(6,-1,5), \mathrm{E}(1,1,1+z)$ $\mathrm{F}(2,2,7)$ $\mathrm{E}, \mathrm{C}$ ও $A$ বিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে তিনটি সারিতে সাজিয়ে গঠিত

ম্যাট্রিক্সকে $V$ এবং $B, D$ ও $F$ বিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্সকে $W$ দ্বারা চিহ্নিত করা হলো ।

ক. $\left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & k \\-1 & 3 & 1 \\2 & 1 & -1\end{array}\right|$ নির্ণায়কের $(3, 1)$ তম ভুক্তির সহগুণক $5$ হলে $k$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $|V|=x y z\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

গ. $W$ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম ও একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের সমষ্টি আকারে প্রকাশ কর।

দৃশ্যকল্প-১: রাজধানী ঢাকার একটি দোকানে টাঙ্গাইলের চমচম, কুমিল্লার রসমালাই এবং নাটোরের কাঁচাগোল্লা বিক্রি করে। এই তিন প্রকারেরর খাবার তৈরির মূল উপাদান দুধ ও চিনি। প্রদত্ত খাবার তিনটির দৈনিক উৎপাদন নিচে দেওয়া হলো:

প্রতি কেজি দুধের ক্রয়মূল্য $70$ টাকা, চিনি $60$ টাকা ও অন্যান্য উপাদান গড়ে $50$ টাকা ।

দৃশ্যকল্প-২: $A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\5 & \mathrm{p}\end{array}\right]$ এবং $A+A^{-1}=k I$ যেখানে $p$ ও $k$ ধ্রুবক এবং $I$ একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স। I

ক. $p$ এর মান কত হলে $A$ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস $7$ হবে?

খ. দৈনিক মোট উৎপাদন খরচ নির্ণয় কর।

গ. $p$ ও $k$ এর মান নির্ণয় কর।

রাজীব, রিয়াজ ও প্রকাশ 'স্বপ্ন' সুপার শপ হতে যথাক্রমে $190$ টাকা, $426$ টাকা ও $377$ টাকা দিয়ে তিন প্রকারের দ্রব্য ক্রয় করলো। দ্রব্য তিনটির একক মূল্য যথাক্রমে $P, q, r$ টাকা।

রাজীব দ্রব্য তিনটির যথাক্রমে $4$টি, $2$টি ও $4$টি, রিয়াজ দ্রব্য তিনটির যথাক্রমে $5$টি, $9$টি ও $5$টি এবং প্রকাশ দ্রব্য তিনটির যথাক্রমে $2$টি, $7$টি ও $8$টি কিনলো ।

ক. কোন শর্তে দুইটি ম্যাট্রিক্স যোগ ও গুণন যোগ্য হবে?

খ. রিয়াজ, রাজীব ও প্রকাশের দ্রব্য ক্রয়সংখ্যাকে যথাক্রমে ভিন্ন ভিন্ন সারি আকারে নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সটির

বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপক অনুসারে সমীকরণ জোট গঠন করে নির্ণায়ক পদ্ধতিতে $P, q$ ও $r$ এর মান নির্ণয় কর।

কোনো কলেজের তিনটি বিভাগের জন্য ক্রয়কৃত ল্যাপটপ, ডেক্সটপ ও প্রিন্টারের পরিমাণ নিম্নে ছক আকারে দেওয়া হলো:

প্রতিটি ল্যাপটপ, ডেক্সটপ ও প্রিন্টারের দাম যথাক্রমে $25$ হাজার, $35$ হাজার ও $4$ হাজার টাকা।

ক. উপরের তথ্যগুলিকে ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করে প্রতিটি যন্ত্রাংশ ব্রুয়ে কলেজের মোট ব্যয় কত হবে তা নির্ণয় কর।

খ. ক্রয়কৃত যন্ত্রাংশের পরিমাণকে ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করে বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

গ. বাংলা, ইংরেজি ও গণিত বিভাগে সব যন্ত্রাংশ সেট করতে যথাক্রমে $115$ মিনিট, $200$ মিনিট ও $435$ মিনিট লাগলে,

প্রতিটি ল্যাপটপ, ডেক্সটপ ও প্রিন্টার সেট করতে কত সময় লাগবে?

মাইক্রোসফট প্রতিদিন তিনটি মেশিন দ্বারা x পণ্য $2, 1, 3$ টি; y পণ্য $2, 1, 2$ টি এবং $z$ পণ্য $1, 3, 4$টি তৈরি করে । প্রতিটি $x, y, z$ পণ্যের উৎপাদন খরচ যথাক্রমে $17, 12$ ও $15$ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য যথাক্রমে $23, 18$ ও $25$ টাকা ।

ক. প্রত্যেক প্রকার পণ্যকে কলাম বরাবর নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতি কিনা যাচাই কর ।

খ. প্রত্যেক প্রকার পণ্যকে সারি বরাবর নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

গ. প্রতি সপ্তাহে কোম্পানির লাভের পরিমাণ নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & 2 \\-1 & 1 & 3 \\-1 & -1 & 1\end{array}\right]$ এবং $B=\left|\begin{array}{ccc}(y+z)^{2} & x^{2} & x^{2} \\y^{2} & (z+x)^{2} & y^{2} \\z^{2} & z^{2} & (x+y)^{2}\end{array}\right|$

ক. $5 \mathrm{I}-4 \mathrm{~A}$ ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় কর ।

গ. প্রমাণ কর যে, $B=2 x y z(x+y+z)^{3}$

$A=\left[\begin{array}{ccc}1+x & 2 & 3 \\2 & 3+x & 1 \\3 & 1 & 2+x\end{array}\right]$ একটি ম্যাট্রিক্স।

ক. বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলতে কি বুঝ?

খ. $x=-1$ হলে $A^{2}-2 A+3 I$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের ম্যাটিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে x এর মান নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\-2 & 1 & 0 \\1 & 0 & 1\end{array}\right] ;$$X=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$

ক. A অভেদঘাতি কিনা তা যাচাই কর ।

খ. $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

গ. $A^{t} \mathrm{X}=\left[\begin{array}{l}2 \\5 \\4\end{array}\right]$ হলে $\mathrm X$ নির্ণয় কর।

$M=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 5 \\2 & -1 & -3 \\3 & 1 & 4\end{array}\right],$$N=\left[\begin{array}{rrr}-3 & 1 & 7 \\2 & 1 & 4 \\-2 & 0 & 5\end{array}\right],$$P=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$

ক. $\mathrm {3 M-4 N}$ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $|\mathrm{MN}|=|\mathrm{NM}|$

গ. ${M P}=\left[\begin{array}{c}17 \\0 \\13\end{array}\right]$ হলে নির্ণায়ক পদ্ধতিতে $P$ ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর।

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2} & l \mathrm{~m} \\l \mathrm{~m} & \mathrm{n}^{2}+l^{2} \\\mathrm{n} l & \mathrm{mn}\end{array}\right.$$\quad$$\left.\begin{array}{c}\mathrm{n} l \\\mathrm{mn} \\l^{2}+\mathrm{m}^{2}\end{array}\right]$ একটি ম্যাট্রিক্স।

ক. $\left[\begin{array}{lr}x-1 & 4 \\3 & x+3\end{array}\right]$ ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে x এর মান নির্ণয় কর ।

খ. প্রমাণ কর যে, $|A|=4 l^{2} m^{2} n^{2}$

গ. $l=\mathrm{m}=\mathrm{n}=1$ হলে প্রমাণ কর যে, $|A| A^{-1}=\operatorname{adj} A$

$A=\left(\begin{array}{ll}4 & 1 \\2 & 3\end{array}\right),$$B=\left(\begin{array}{cc}2 & 7 \\-1 & 1\end{array}\right),$$C=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\2 & -1 & 1 \\-3 & 2 & -1\end{array}\right)$

ক. দেখাও যে, $(A-B)^{t}=A^{t}-B^{t}$

খ. $C^{3}+C^{2}+C$ নির্ণয় কর।

গ. $C+C^{t}$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

$A=\left[\begin{array}{ccc}3+a & 4 & 2 \\4 & 2+a & 3 \\2 & 3 & 4+a\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]$ এবং $C=\left[\begin{array}{l}3 \\2 \\2\end{array}\right]$

ক. $a=0$ হলে $|\mathrm{A}|$ নির্ণয় কর।

খ. ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে $\mathrm a$ এর মান নির্ণয় কর।

গ, $\mathrm {a=-2}$ এবং $\mathrm{AB}=\mathrm{C}$ হলে $B$ নির্ণয় কর।

$P=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\3 & -4 & 1 \\4 & -9 & -3\end{array}\right] ;$$X=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2} \\x_{3}\end{array}\right]$ ও $Q=\left[\begin{array}{r}-2 \\0 \\8\end{array}\right]$

ক. এককের জটিল ঘনমূল $\mathrm a$ (যেখানে $\left.\mathrm a^{3}=1\right)$ এবং $\left|\begin{array}{ll}a & a^{4} \\a^{3} & a^{3}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{a} & \frac{1}{a^{3}} \\\frac{1}{a^{4}} & \frac{1}{a^{2}}\end{array}\right|$

হলে $\mathrm a$ এর মান কত?

খ. $P X=Q$ হলে নির্ণায়কের মাধ্যমে $X$ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{PM}=\mathrm{I}_{3}$ হলে $\text { M }$ নির্ণয় কর।

$R=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 0 \\3 & 0 & -1 \\0 & 3 & -1\end{array}\right]$ এবং $M=\left[\begin{array}{ccc}P+2 & 7 & 5 \\7 & P+2 & -4 \\5 & 4 & P+2\end{array}\right]$

ক. $R R^{t}$ প্রতিসম ম্যাট্রিক্স কিনা যাচাই কর ।

খ. $R^{3}-R^{2}-6I$ নির্ণয় কর।

গ. $|\mathrm{M}|=0$ হলে $P$ এর মান নির্ণয় কর।

একজন ফল বিক্রেতা সকালে আপেল, পেয়ারা ও আম যথাক্রমে $4,2 ; 5$ কেজি বিক্রয় করে মোট $70$ টাকা লাভ করে। বিকালে আপেল, পেয়ারা ও আম যথাক্রমে $7, 4, 7$ কেজি বিক্রয় করে

মোট $133$ টাকা লাভ করে এবং রাত্রে আপেল, পেয়ারা ও আম যথাক্রমে মোট $11, 8, 8$ কেজি বিক্রয় করে মোট $193$ টাকা লাভ করে।

ক. $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\0 & 2\end{array}\right]$ ও $B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\5 & 6\end{array}\right]$ হলে $A^{t}-B^{t}$ নির্ণয় কর।

খ. সকালে, বিকালে ও রাতে ফল বিক্রয়ের পরিমাণকে যথাক্রমে কলাম আকারে নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সটির

অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর ।

গ. ক্রেমারের নিয়মে প্রতি কেজি আপেল, পেয়ারা ও আম বিক্রয়ে কি পরিমাণ লাভ বা ক্ষতি হয় নির্ণয় কর।

একজন ফল ব্যবসায়ী ফল ক্রয় করে $1$নং, 2নং এবং 3নং ঝুড়িতে যথাক্রমে $50$টি, আম, $45$টি কমলা, $140$টি লিচু; $25$টি আম, $24$টি কমলা, $120$টি লিচু এবং $30$টি আম, 40টি কমলা, $150$টি লিচু রাখলেন।

তিন দিন পরে প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ঝুড়ির যথাক্রমে $5$টি আম, $5$টি কমলা, $15$টি লিচু; $4$টি আম, $6$টি কমলা, $25$টি লিচু এবং $6$টি আম, $4$টি কমলা, $20$টি লিচু পঁচে গেল ।

ক. ক্রয় করা ফলগুলি দ্বারা ম্যাট্রিক্স $A$ গঠন করো ।

খ. পঁচে যাওয়া ফলগুলি দ্বারা ম্যাট্রিক্স $B$ গঠন করো।

গ. $A – B$ নির্ণয় করো। $A - B$ দ্বারা কী বোঝায়?

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\1 & 2 & 5 \\6 & 8 & 0\end{array}\right]$

ক. ম্যাট্রিক্সের $\text { Adjoint }$ বলতে কী বোঝায়?

খ. $|\mathrm A|$ এর $(1, 1)$ তম, $(1, 2)$ তম এবং $(1, 3)$ তম ভুক্তির সহগুণক যথাক্রমে

$A_{1}, A_{2}, A_{3}$ হলে, $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ এর মান নির্ণয় করো।

গ. $|\mathrm A|$ এর মান নির্ণয় করো ।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 5 & 0 \\3 & 0 & 4 \\2 & 1 & 0\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 5 \\2 & 1 & -3 \\3 & 5 & 6\end{array}\right]$

ক. বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলতে কি বোঝায়?

খ. $AB$ নির্ণয় করো ।

গ. $\mathrm{A}^{-1}$ নির্ণয় করে দেখাও যে, $\mathrm{AA}^{-1}=\mathrm{I}_{3} .$