Questions in this chapter

$Z=-2-2 \sqrt{3} i$ একটি জটিল রাশি।

ক. $x+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}}$ হলে দেখাও যে, $\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^{2.}}$

খ. $\operatorname{Arg}(\sqrt{z})$ নির্ণয় কর।

গ. কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল $z$ এবং মূলগুলির

গুনফল $80$ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

$f(x)=|x-3| ; g(x)=p+q x+r x^{2}.$

ক. $15+8 i$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর

খ. $f(x)<\frac{1}{7}$ হলে প্রমান কর যে,$\left|x^2-9\right|<\frac{43}{49^.}$

গ. $p+q+r=0$ হলে প্রমান কর যে,$\{\mathrm{g}(\omega)\}^{3}+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^{2}\right)\right\}^{3}=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} \mathrm{pqr}$

যেখানে $\omega$ এককের কাল্পনিক ঘনমূল এবং $\mathrm{a}=\mathrm{x}=\mathbf{3}.$

$z_{1}=5-2 i, z_{2}=2+3 i, z_{3}=4+3 i, z_{4}=2-2 i$ চারটি জটিল সংখ্যা।

ক. $\frac{\mathrm{Z}_{1}}{\mathrm{Z}_{3}}$ কে $A+i B$ আকারে প্রকাশ কর।

খ. $\frac{\mathrm{z}_{2}}{\mathrm{z}_{4}}$ এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ দেখাও।

গ. প্রমাণ কর যে, $\left|\frac{\mathrm{z}_{1}+\mathrm{z}_{2}}{\mathrm{z}_{3}+\mathrm{z}_{4}}\right| \leq \frac{\left|\mathrm{z}_{1}\right|+\left|\mathrm{z}_{2}\right|}{|| \mathrm{z}_{3}|-| \mathrm{z}_{4}||}$

$f(x, y)=x+i y$ এবং $g(x)=2 x^{3}+5 x^{4}+2 x^{2}$

ক. এককের কাল্পনিক ঘনমূল $\omega$ হলে $\{\mathrm{g}(\omega)\}^{6}$ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{f}(\sqrt{3},-1)$ এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় করে আরগাঁ চিত্রের সাহায্যে দেখাও।

গ. প্রমাণ কর যে, $|2 f(x, y)+1|=|f(x, y)-3|$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণটি

একটি বৃত্ত যার কেন্দ্ৰ $\left(-\frac{5}{3}, 0\right)$ এবং ব্যাসার্ধ $\frac{7}{3}$

দৃশ্যকল্প-1: $\sqrt[3]{\mathrm{z}_{1}}=\mathrm{z}_{2}$ দৃশ্যকল্প-II: $\left|z_{2}-3 i\right|+\left|z_{2}+3 i\right|=10$

যেখানে $z_{2}=x+i y$ এবং $\mathrm{z}_{1}=\mathrm{a}+\mathrm{ib}$ দুইটি জটিল সংখ্যা ।

ক. $a=-1$ ও $b=-\sqrt{3}$ হলে $\mathbf{Z}_{1}$ এর মডুলাস ও মুখ্য আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-I হতে দেখাও যে, $\sqrt[3]{\overline{\mathrm{z}}_{1}}=\overline{\mathrm{z}}_{2}$

গ. দৃশ্যকল্প-II দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের নাম উল্লেখসহ সমীকরণ নির্ণয় কর ।

$g(x)=a+b x+c x^{2}$ এবং $f(x)=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} x)$

ক. সমাধান কর: $|f(\sqrt{3} x+\sqrt{3})|<1$

খ. দেখাও যে,

গ. $g(1)=0$ হলে দেখাও যে, $\{\mathrm{g}(\omega)\}^{3}+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^{2}\right)\right\}^{3}=27 \mathrm{abc}$

দৃশ্যকল্প-I: $\frac{\bar{z}}{\mathrm{z}}=\mathrm{p}-\mathrm{iq}$ যেখানে $\mathrm{z}=3+\mathrm{ix}$ এবং $\mathrm{p}, \mathrm{q} \in \mathbb{R}$

দৃশ্যকল্প-II: $(1+x)^{n}=B_{0}+B_{1} x+B_{2} x^{2}+B_{3} x^{3}+\ldots+B_{n} x^{n}$

ক. $x = 4$ হলে $\sqrt{\mathrm{z}}$ নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-II হতে দেখাও যে, $\left(B_{0}-B_{2}+B_{4}-\ldots \ldots\right)^{2}$

$+\left(B_{1}-B_{3}+B_{5}-\ldots \cdots\right)^{2}=B_{0}+B_{1}+B_{2}+\ldots \ldots+B_{n}$

গ. $\mathrm{p}^{2}+\mathrm{q}^{2}=1$ হলে x এর একটি বাস্তব মান নির্ণয় কর যা

দৃশ্যকল্প-I এ বর্ণিত সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

$f(x, y)=x+i y$

ক. $\mathrm{r}=\mathrm{f}(2,1)$ হলে $r^{4}-4 r^{3}+6 r^{2}-4 r+5$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\sqrt[3]{f(x, y)^{}}=f(a, b)$ হলে প্রমাণ কর যে, $4 a b\left(a^{2}-b^{2}\right)=b x+a y$

গ. $\sqrt[\mathrm{f}(4,-2 \mathrm{i})]{f(1,65 i)}$ এর মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-I: $h(x)=1-x^{2}$

দৃশ্যকল্প-II: $\mathrm{F}=-1+\sqrt{3} \mathrm{i}$ এবং $R$ একটি জটিল সংখ্যা,

যেখানে $|\mathrm{R}|=2, \operatorname{argF}+\operatorname{argR}=\frac{\pi}{2}$

ক. দেখাও যে, $\sqrt{-h(i)+h(i) \sqrt{-h(i)+h(i)} \sqrt{-h(i)+\ldots \infty}}=1$ $\pm \mathrm{i}$

খ. $\mathrm{h}(\omega) \mathrm{h}\left(\omega^{2}\right)\mathrm{h}\left(\omega^{4}\right) \mathrm{h}\left(\omega^{5}\right)$ এর মান নির্ণয় কর যেখানে এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল $\omega .$

গ. দৃশ্যকল্প-II হতে $R$ নির্ণয় কর

$z=2 b+i\left(1-b^{2}\right)$ এবং $c=p+i q$ দুইটি জটিল সংখ্যা।

ক. $\sqrt[4]{(\omega+\omega)^{2}}$ নির্ণয় কর। যেখানে $\omega$ এককের ঘনমূলের কাল্পনিক মূল ।

খ. $b = 0$ হলে, $\sqrt[3]{z}$ নির্ণয় কর।

গ. $b=3$ এবং $\sqrt[3]{\dfrac{}{z}}=c$ হলে প্রমাণ কর যে,

$\frac{6}{p}-\frac{8}{q}=-2\left(p^{2}+q^{2}\right)$

দৃশ্যকল্প-1: $x^{2}+x+1=0$ সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় $x_{1}$ ও $x_{2}$

দৃশ্যকল্প-2: $\left(2+b \omega+c \omega^{2}\right)=\mathbf{P},\left(2 \omega+b+c \omega^{2}\right)=Q$ এবং $2 \omega+b \omega^{2}+c=R$

ক. $(2 \sqrt{3}-2 i)(-2 \sqrt{3}+6 i)$ এর পোলার আকার নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-1 হতে প্রমাণ কর যে, $x_{1}{ }^{4}+x_{2}{ }^{4}=-1$

গ, $P^{2}+Q^{2}+R^{2}=0$ হলে দৃশ্যকল্প-2 হতে দেখাও যে, $c=2$ অথবা, $c=2(b-1)$

$\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}, \mathrm{z}_{1}=\mathrm{a}-\mathrm{ib}, \mathrm{z}_{2}=1+\mathrm{ix}$

ক. $1+\sqrt{3} i$ কে পোলার আকারে প্রকাশ কর ।

খ. $\sqrt[3]{\bar{z}_{1}}=z$ হয়, তাহলে দেখাও যে,$\sqrt[3]{\mathrm{z}_{1}}=\overline{\mathrm{z}}$

গ. $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}$ এবং $a^{2}+b^{2}=1$ হলে দেখাও যে, x এর একটি বাস্তব

মান $\frac{\bar{z}_{2}}{\mathrm{z}_{2}}=\mathrm{z}_{1}$ সমীকরণকে সিদ্ধ করে

ক. $z_{1}$ কে পোলার আকারে প্রকাশ কর।

খ. $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}$ এবং $\arg \left(\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right)=\frac{\pi}{4}$ হলে প্রমাণ কর যে,

$x^{2}+y^{2}-14 x-18 y+112=0$

$3|z-1|=2|z-2| \ldots \ldots \ldots \text { (1) }$

এবং $\arg \left(\frac{z-2}{z+1}\right)=\frac{\pi}{2} \ldots \cdots \cdots(2)$

ক. $z$ কে পোলার আকারে লিখ ।

খ. (1) নং হতে প্রমাণ কর যে, $5\left(x^{2}+y^{2}\right)=2 x+7$

গ. (2) নং হতে দেখাও যে, $x^{2}+y^{2}-x-2=0$

$z_{1}=3-5 i$ এবং $z_{2}=4+3 i$ দুইটি জটিল সংখ্যা -

ক.$-1+i \sqrt{3}$ কে পোলার আকারে প্রকাশ কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $\left|z_{1}+z_{2}\right|<\left|z_{1}-z_{2}\right|<\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$

গ. দেখাও যে, $\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}=2\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)$

দৃশ্যকল্প-১: $|x-1|<\frac{1}{3},$ যেখানে x বাস্তব সংখ্যা।

দৃশ্যকল্প-২: $\frac{1}{z}$ এর বাস্তব অংশ $\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=1$ যেখানে $z=x+\text { iy }$

ক. $2 x-i y+3 i x+y=4+i$ হতে x ও y এর বাস্তব মান নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, $\left|x^{2}-1\right|<\frac{7}{9}$

গ.. দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, ইহা একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যার কেন্দ্রের স্থানাংক $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ এবং ব্যাসার্ধ $=\frac{1}{2}$

দৃশ্যকল্প-১: $\frac{1}{|x-1|} \geq 2$ বাস্তব সংখ্যা এবং $x \neq 1$

দৃশ্যকল্প-২ : $\sqrt[4]{-81}$

ক. $-2<3-x<8$ কে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর ।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর অসমতাটির সমাধানকে সংখ্যা রেখায় দেখাও।

গ. প্রমাণ কর যে, দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রাপ্ত মূল চারটির যোগফল শূন্য।

$z=x+i y$ এবং $P=\omega^{4}+\omega^{5}$

ক. $x \leq \frac{1}{2} x+1$ এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।

খ. $\sqrt[3]{\mathrm{P}}$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. $|2 z-1|=|z-2|$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ লেখচিত্রে উপস্থাপন কর ।

$a=\sqrt{7} ও b=-729$ দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং

$f(x)=|1-4 x|$ একটি পরমমান ফাংশন।

ক. পরমমান চিহ্ন ব্যতীত প্রকাশ কর : $f(x)<3$

খ. দেখাও যে, $a$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

গ. মান নির্ণয় কর: $\sqrt[6]{b}$

$f(x)=\left(1-\omega+\omega^{2}\right)\left(1-\omega^{2}+\omega^{4}\right)\left(1-\omega^{4}+\omega^{8}\right)\left(1-\omega^{8}+\omega^{16}\right)$

যখন $|2 x-5|<3, \sqrt{3}$ যখন $|2 x-5| \nless 3$

ক. x-এর কোন ব্যবধিতে উদ্দীপকে উল্লিখিত $f(x)$ ফাংশনের মান $\sqrt{3}$ হবে ।

খ. $1<x<4$ হলে $f(x)$ নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের আলোকে $|2 x-5| \nless 3$ হলে দেখাও যে,

$f(x) \neq \frac{p}{q}$ যেখানে, $\mathrm{p}, \mathrm{q} \in \mathbb{N}$ এবং $\mathrm{q} \neq 0$