Questions in this chapter

$a=4, b=\sqrt{-4}, z=\frac{1}{n}(1+i m)$ একটি জটিল সংখ্যা

ক. $\frac{2-3 i}{4-4 i}$ কে $\mathbf{A}+\mathbf{i B}$ আকারে প্রকাশ কর।

খ. $\sqrt{\mathbf{a}+\mathbf{b}}$ নির্ণয় কর।

গ. $l=\mathrm{m}=3, \mathrm{n}=\sqrt{18}$ হলে, $|\mathbf{z} |$ এর ঘনমূলগুলোর যোগফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ : $z=-1+i$ একটি জটিল সংখ্যা ।

উদ্দীপক-২ : $z=x+i y$

(ক) $z = i$ হলে $\overline{\mathbf{z}}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

(খ) উদ্দীপক-১ এ উল্লিখিত জটিল সংখ্যার মডুলাস ও আর্গুমেন্ট আর্গন্ড চিত্রে দেখাও ৷

(গ) উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে $|z+2|=5$ বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

$M=-5+12 \sqrt{-1}, p=\sqrt[3]{a+i b}$ এবং $q=x+\text { iy }$

ক. $1+2 i$ কে আর্গন্ড চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. $M$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

গ. $p = q$ হলে, প্রমাণ কর যে, ${4}\left(x^{2}-y^{2}\right)=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}$

দৃশ্যকল্প-১ : $|z+6|+|z-6|=20$ যেখানে $z=x+i y$

দৃশ্যকল্প-২ : $(1+y)^{n}=b_{0}+b_{1} y+b_{2} y^{2}+b_{3} y^{3}+\ldots+b_{n} y^{n}$

ক. $6-2 \sqrt{3} i$ জটিল সংখ্যার মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা নির্দেশিত সমীকরণটির সঞ্চার পথ এবং উহার নাম উল্লেখ করে চিত্র অংকন কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণ হতে দেখাও যে,

$\left(b_{0}-b_{2}+b_{4}-\ldots \ldots \ldots\right)^{2}=\left(b_{0}+b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots\right)-\left(\mathbf{b}_{1}-\mathbf{b}_{3}+\mathbf{b}_{5}-\ldots . . \cdot\right)^{2}$

$z_{1}=1+i a, z_{2}=a+i ;$

এবং $|z+2|+|z-2|=6, z=x+i y$ একটি কণিক।

ক. $\sqrt{-1}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{a}=\sqrt{3}$ হলে দেখাও যে, $\arg \left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\arg \left(z_{1}\right)-\arg \left(z_{2}\right)$

গ. কণিকটির অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

$f(x)=\frac{2 x}{1+x^{2}}$ এবং $g(x)=p+q x+r x^{2}$ দুইটি ফাংশন।

ক. $z=\frac{1+2 i}{1-3 i}$ এর মডুলাস বের কর ।

খ. $\mathbf{f}(\mathbf{1})$ এর ঘনমূল নির্ণয় কর।

গ. $p+q+r=0$ হলে প্রমাণ কর যে,$\{g(\omega)\}^{2}+\left\{g\left(\omega^{2}\right)\right\}^{2}=3\left(p^{2}+2 q r\right)$

যেখানে $\omega$ এককের ঘনমূলগুলোর একটি জটিল মূল ।

দৃশ্যকল্প-১ : $z_{1}=1-3 i, z_{2}=1-i$

দৃশ্যকল্প -২ : $|z-3|-|z+3|=4$

ক. $(2+i)(x+i y)=1+3 i$ হলে x, y নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে $\sqrt{z_{1} z_{2}}$ নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর যখন $z=x+i y$

$z_{1}=1+i x, z_{2}=a+i b$ এবং $z_{3}=x+i y$ তিনটি জটিল সংখ্যা।

ক. $i-\sqrt{3}$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. $\left|z_{2}\right|^{2}=1$ হলে, দেখাও যে, x এর একটি বাস্তব মান $\frac{\bar{z}_{1}}{z_{1}}=\bar{z}_{2}$ সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

গ. $\sqrt[3]{z_{2}}=z_{3}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\left|z_{3}\right|=\sqrt{\frac{b}{2 y}-\frac{a}{2 x}}$

দৃশ্যকল্প-১ : $f(x)=\mid b x-c \mid$

দৃশ্যকল্প-২ : $2x=-1+\sqrt{-3}$ এবং $2 y=-1-\sqrt{-3}.$

ক. $-5+12 \sqrt{-1}$ এর বর্গমূল নির্নয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ, $b=1,c=2$ এবং $f(x)<\frac{1}{4}$ হলে দেখাও যে, $f\left(x^{2}-2\right)<\frac{17}{16^.}$

গ. দৃশ্যকল্প -২ এর আলোকে প্রমান কর, $x^{4}+x^{3} y+x^{2} y^{2}+x y^{3}+y^{4}=-1$

$z$ একটি জটিল সংখ্যা এবং $f(x)=5 x+1$

ক. $S=\left\{x:\pi\in R,-9<f(x)<16\right\}$ এর সুপ্রিমাম নির্ণয় কর।

খ. $\frac{1}{|f(x)|}>\frac{1}{9}, x \neq-\frac{1}{5}$ সমাধান করে সমাধান

সেট সংখ্যারেখায় উপস্থাপন কর।

গ. $|2 Z+3|=|3 Z+1|$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক: $z=-2+2 i$ একটি জটিল সংখ্যা এবং

$f(x)=x^{3}+2 x^{2}+x+3$ একটি বহুপদী রাশি।

ক. $z$ এর মূখ্য আর্গুমেন্ট বের কর।

খ. $f(x)=0$ বহুপদীর সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হলে $\Sigma \alpha^{3}$ মান নির্ণয় কর।

গ. $\bar{z}=\left(a^{2}+2\right)+i b$ সমীকরণটির মূল $a$ এবং $b$ এর প্রকৃতি নিরূপণ কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $p(x)=a+b x+c x^{2}$

দৃশ্যকল্প-২ : এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল $\omega$।

ক. $-3-4i$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে যদি $\{\mathrm{p}(\omega)\}^{3}+\left\{\mathrm{p}\left(\frac{1}{\omega}\right)\right\}^{3}=0$ হয়,

তবে দেখাও যে, $a=\frac{1}{2}(b+c)$ অথবা $c=\frac{1}{2}(a+b)$.

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমান কর যে, $1+\omega+\omega^{2}=0$.

$f(x)=x-2$

ক. $-1 \leq f(x) \leq 11$ অসমতাটি পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. $\frac{f(x)}{f(x+2)}>\frac{f(x+3)}{f(x+4)}$ অসমতার সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও।

গ. $\mathrm{z}=\mathrm{p}+\mathrm{iq}$ হলে,$|f(z+6)|+|f(z-2)|=10$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ : $z=3 x+4 y$

শর্তসমূহ : $x+y \leq 450$

$2 x+y \leq 600$

$y \leq 400$

$x, y \geq 0$

দৃশ্যকল্প-২ : $y^{2}+y+1=0$

ক. $5i$- এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে লেখচিত্রের সাহায্যে $z$- এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির মূলদ্বয় $p,q$ হলে দেখাও যে,

$a=x^{3}, b=8$

ক. $\mathrm{bi}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. $\left(2 a-\frac{2}{a}\right)^{10}$ এর বিস্তৃতিতে যে পদটি ধ্রুব তার মান নির্ণয় কর।

গ. $a-b=0$ সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় ${z}_{1}$ ও $z_{2}$ হলে,

প্রমাণ কর যে,$\arg \left(\mathrm{z}_{1} \mathrm{z}_{2}\right)=\arg \left(\mathrm{z}_{1}\right)+\arg \left(\mathrm{z}_{2}\right)$

দৃশ্যকল্প-১ : $f(x)=3 x+1$, দৃশ্যকল্প-২ : $|z-5|=3$

ক. $\mathbb{R}$ ও $\mathbb{C}$ দ্বারা কী বোঝায়? এদের মধ্যে সম্পর্ক কী?

খ. $2|f(\mathbf{x}-2)| \leq 1$ এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখায়।

গ. $z=x+i y$ হলে দৃশ্যকল্প-২ এর সঞ্চারপথ জ্যামিতিকভাবে কী নির্দেশ করে? চিত্র আঁক।

দৃশ্যকল্প-১ : $|z+1|+|z-1|=4$; যেখানে : $z=x+i y$

দৃশ্যকল্প-২ : $a=p+q, b=p+\omega q$ এবং $c=p+\omega^{2} q.$

ক. $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{3}$ কে $\mathrm{A}+i \mathrm{B}$ আকারে প্রকাশ কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমান কর যে, $3 x^{2}+4 y^{2}=12.$

গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, $\mathrm{a}^{3}+\mathrm{b}^{3}+\mathrm{c}^{3}=3\left(\mathrm{p}^{3}+\mathrm{q}^{3}\right)$.

দৃশ্যকল্প-১ : $x+iy=2e^{-i\theta}$;

দৃশ্যকল্প-২ : $F=y-2 x$

শর্তগুলি : $x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0$

ক. $z=x+i y$ হলে,$|z+i|=|\bar{z}+2|$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্নয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমান কর যে,$x^{2}+y^{2}=4.$

গ. দৃশ্যকল্প-২ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্বতিতে F এর সর্বোচ্চ মান নির্নয় কর।

$z_{1}=2+3 i, z_{2}=1+2 i, a=p \omega^{2}+q+r \omega$

এবং $\mathrm{b}=\mathrm{p} \omega+\mathrm{q}+r\omega^2,$ যেখানে $\omega$ এককের ঘনমূলগুলির একটি জটিল ঘনমূল।

ক. $\frac{1}{2-i}$ আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপকের আলোকে $\overline{z_{1}-z_{2}}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের সাহায্যে $a^{3}+b^{3}=0$ হলে প্রমান কর যে,

$2 p=q+r, 2 q=r+p$ এবং $2 r=p+q$.

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর :

$z=x+i y,|z+5|+|z-5|=15...(1)$

$\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1}......................(2)$

ক. এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।