Questions in this chapter

দৃশ্যকল্প-১: $x=-8$ এবং $y=-6 \sqrt{-1}$

দৃশ্যকল্প-২: একজন ভদ্রলোক সর্বোচ্চ $100$ টাকা ব্যয় করে কিছু সংখ্যক আয়না ও চিরুনি কিনতে চান। প্রতিটি আয়না ও চিরুনি এর ক্রয়মূল্য যথাক্রমে $12$ টাকা ও $8$ টাকা।

তিনি অন্ততঃ $1$টি আয়না কিনবেন কিন্তু $8$ টির অধিক চিরুনি কিনবেন না। ঐ ভদ্রলোক একত্রে সর্বাধিক সংখ্যক জিনিস কিনতে চান ।

ক. যোগাশ্রয়ী অভিষ্ট ফাংশন নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প ১ হতে $x + y$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর ।

গ. দৃশ্যকল্প ২ হতে আয়না ও চিরুনির সংখ্যা নির্ণয়।

দুই প্রকার খাদ্য $A$ ও $B$ তে প্রোটিন ও স্টার্চ উপাদান বিদ্যমান । প্রত্যেক প্রকারের

খাদ্যে প্রতি কেজিতে পুষ্টি উপাদানেরপরিমাণ, খাদ্যের মূল্য ও চাহিদা এর পরিমাণ নিম্নরূপঃ

এখানে দৈনিক x ও y কেজি $A$ ও $B$ প্রকারের খাদ্যের প্রয়োজন হলে মোট খরচ

$z=40 x+50 y$

ক. উদ্দীপকে উল্লিখিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি $( 3, 4)$ বিন্দুতে সিদ্ধ হলে $z$ নির্ণয় কর।

খ. কম খরচে কিভাবে দৈনিক প্রয়োজন মেটানো যাবে?

গ. $x=\frac{1}{10}$ এবং $y=\frac{\sqrt{-1}}{10}$ হলে দেখাও যে, $z^{2}+z \bar{z}+\bar z^{2}=23$

ক. $a=0, b=2$ হলে, $P$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

খ. $\tan \left(\operatorname{Arg} P+\operatorname{Arg} \mathrm{P}^{2}\right)$ নির্ণয় কর।

গ. $a=4, b=3$ হলে দেখাও যে, $P$ এবং $\overline{\mathrm{P}}$ এর আর্গুমেন্টদ্বয়ের অন্তর $P$ এর আর্গুমেন্টের দ্বিগুণ।

ক. $\mathrm{r}=\sqrt{2}$ এবং $\theta=45^{\circ}$ হলে $z$ এর কার্তেসীয় আকার লিখ ।

খ. $z$ এর অনুবন্ধী $z'$ হলে $\left|\frac{z^{\prime}}{\mathrm{z}}\right|$ নির্ণয় কর।

গ. $z$ এর সাহায্যে দেখাও যে, কোন জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট তার বর্গের আর্গুমেন্টের অর্ধেক।

$z$ একটি জটিল সংখ্যা, যখন $z=3-4 i$

ক. দুইটি জটিল সংখ্যা নির্ণয় কর যাদের যোগফল $4$ ও গুণফল $8$।

খ. $z$-এর মডুলাস ও আর্গুমেন্টকে আরগাঁ চিত্রে উপস্থাপন কর।

গ. $\sqrt{z}=x+i y$ হলে দেখাও যে, $x^{2}+y^{2}=5$।

$\sqrt[3]{p+i q}=x+i y$ এবং $i=\sqrt{-1}$

ক. $1+i+i^{2}+i^{3}+\ldots+i^{39}$ এর মান নির্ণয় কর ।

খ. দেখাও যে, $\frac{p}{x}-\frac{q}{y}=-2\left(x^{2}+y^{2}\right)$

গ. প্রমাণ কর যে, $\sqrt[3]{p-i q}=x-i y$

$A=(-1+\sqrt{-3})^{n}+(-1-\sqrt{-3})^{n}$

ক. $z=x-i y$ হলে $z \bar{z}=4$ দ্বারা কী নির্দেশ করে?

খ. $n = 4$ হলে $A$ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $n$ এর মান $3$ দ্বারা বিভাজ্য হলে $\frac{A}{2^{n}}=2$

এবং বিভাজ্য না হলে $\frac{A}{2^{n}}=-1$

$z$ জটিল সংখ্যার আরগী চিত্র নিম্নরূপ :

ক. এককের ঘনমূলগুলো লিখ।

খ. $|z|=2$ এবং $\theta=-\frac{2 \pi}{3}$ হলে $z$ ও $\bar{z}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

গ. $z=\frac{2}{3+\cos \theta+i \sin \theta}$ হলে প্রমাণ কর যে, $2\left(x^{2}+y^{2}\right)=3 x-1$

$z=x+i y$ জটিল সংখ্যা।

ক. $z^{2}$ এর কাল্পনিক অংশ নির্ণয় কর।

খ. $|\mathrm{z}-2|=3$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ কিসের সমীকরণ নিৰ্দেশ করে?

গ. $|z+2 i|>3$ দ্বারা নির্দেশিত জ্যামিতিক অঞ্চল চিত্রের সাহায্যে দেখাও ।

দৃশ্যকল্প-১. $-8-6 \sqrt{-1}$ একটি জটিল সংখ্যা ।

দৃশ্যকল্প-২. $|z-3|-|z+3|=4$

ক. দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত জটিল সংখ্যাটির মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত জটিল সংখ্যার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় কর।

গ. $z=x+i y$ হলে দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, $5 x^{2}-4 y^{2}=20$

দৃশ্যকল্প ১: $x^{2}+x+1=0$ দ্বিঘাত সমীকরণটির কাল্পনিক মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

দৃশ্যকল্প ২: $z$ একটি জটিল সংখ্যা যেখানে $z=x+\text { iy }$

ক. $x=\sqrt{-1-\sqrt{-1-\sqrt{-1-\ldots . \infty}}}$ কে একটি দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তরিত কর।

খ. দেখাও যে, $\alpha$ ও $\beta$ একে অপরের বর্গ ।

গ. প্রমাণ কর যে, $|z-2 \mathrm{i}|=|\mathrm{z}+2 \mathrm{i}|$ দ্বারা বর্ণিত সঞ্চারপথ x- অক্ষ নির্দেশ করে ।

ক. $\operatorname{Arg}\left(\mathrm{z}_{2}\right)$ নির্ণয় কর।

খ. $\frac{\mathrm{z}_{1}}{\mathrm{z}_{2}}$ এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $\operatorname{Arg}\left(z_{1} z_{2}\right)=\operatorname{Arg}\left(z_{1}\right)+\operatorname{Arg}\left(z_{2}\right)$

জটিল সংখ্যা $z=(\cos \theta+i \sin \theta)$ যেখানে $\theta=45^{\circ}$

ক. $(1-i)^{-2}-(1+i)^{-2}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ, $z^{6}+z^{4}+z^{2}+1$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\mathrm{z}^{3}=\cos 3 \theta+i \sin 3 \theta$

$z=x+i y, z_{1}=p+i q$ এবং $z_{2}=r+\text { is }$ তিনটি জটিল সংখ্যা ।

ক. $\sqrt[3]{-27}=x$ হলে দেখাও যে, x এর একটি মান $–3$

খ. $|z-8 p+| z+8 \mid=20$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{z}=\mathrm{z}_{1} \mathrm{z}_{2}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\overline{\mathrm{z}}=\overline{\mathrm{z}}_{1} \overline{\mathrm{z}}_{2}$

$z=p+i q$ এবং $a+i b=(x+i y)^{3}$

ক. $2i$ এর বর্গমূল বের কর।

খ. $\sqrt{z}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপক থেকে প্রমাণ কর যে, $\sqrt[3]{a-i b}=x-i y$

দৃশ্যকল্প ১: $f(x)=a+b x+c x^{2} ; a+b+c=0$

দৃশ্যকল্প ২: $z=-7-24 i$

ক. $\frac{i^{-1}-i}{2 i^{-1}+i}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\frac{1}{z}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প ১ ব্যবহার করে দেখাও যে,

$\{\mathrm{f}(\omega)\}^{3}+\left\{\mathrm{f}\left(\omega^{2}\right)\right\}^{3}=27 \mathrm{abc}$

দৃশ্যকল্প-১: $z=-\sqrt{3}+i$ দৃশ্যকল্প-২: $\frac{2-3 i}{5-i}$

ক. $\overline{\mathbf{Z}}$ এর মডুলাস নির্ণয় কর।

খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, $\arg (\mathrm{z})-\arg (\bar{z})=\arg \left(\frac{z}{\bar{z}}\right)$

গ. দৃশ্যকল্প-২ এর রাশিটির বর্গমূল নির্ণয় কর ।

$\text { (i) } x^{3}+1=0 \text {; }$

$\text { (ii) } \omega$ হলো এককের একটি জটিল ঘনমূল ৷

ক. প্রমাণ কর যে, যেকোনো জটিল সংখ্যার বর্গ একটি জটিল সংখ্যা ৷

খ. (i) এর মূলগুলি নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, মূলগুলির যোগফল $= 0.8$

গ. প্রমাণ কর যে, $(1-\omega)\left(1-\omega^{2}\right)\left(1-\omega^{4}\right)\left(1-\omega^{8}\right)=9$

$z=x+i y$ এবং $|2 z-1|=|z-2|$

ক. $|\bar{z}|$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $x^{2}+y^{2}=1$

গ. $x = 11$ এবং $y=8 \sqrt{5}$ হলে, $z$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

$z=\frac{a+3 i}{2+a i}$ যখন $a \in \mathbb{R}$

ক. $(x+i y)(2-i)=3+i$ সমীকরণ থেকে $x$ ও $y$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $a = 4$ হলে, $| z |$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $a$ এর কেবল একটি ধনাত্মক বাস্তব মানের জন্য $\operatorname{Arg} z=\frac{\pi}{4}$