Questions in this chapter

একজন লোক একটি লম্বা লাঠি তার কাঁধের উপর আনুভূমিকভাবে স্থাপন করে একপ্রান্তে হাত রেখে অপর প্রান্তে $W$

ওজনের কাঠের বোঝা বহন করছে।

ক. যদি তার কাঁধ হতে বোঝা ও হাতের দূরত্ব যথাক্রমে $a$ এবং x হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

তার কাঁধের উপর চাপ $=\mathrm W\left(1+\frac{a}{x}\right)$

খ. লাঠির দৈর্ঘ্য $2$ মিটার হলে তার হাত ও কাঁধের দূরত্ব কত হলে, কাঁধের উপর চাপ ন্যূনতম হবে?

গ. লোকটির হাত ও কাঁধের দূরত্ব পরিবর্তনের সাথে কাঁধের উপর চাপ কিভাবে পরিবর্তন হবে তা গাণিতিক বিশ্লেষণ কর।

$A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $P, Q$ দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়া করছে।

ক. $P$ ও $Q$ এর অবস্থান বিনিময় করলে এদের লব্ধির অবস্থান পরিবর্তন হয় না। দেখাও যে, $P = Q$

খ. $P$ বলটির ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে এর ক্রিয়াবিন্দুকে x দূরত্বে সরালে দেখাও যে,

এদের লন্ধি $\frac{\mathrm{Px}}{\mathrm{P}+\mathrm{Q}}$ দূরত্বে সরে যাবে।

গ. যদি $P$ ও $Q (P> Q)$ বিসদৃশ সমান্তরাল বল হয় এবং এদেরকে সমপরিমাণে বৃদ্ধি করা হয়,

তবে দেখাও যে, নতুন লন্ধির ক্রিয়াবিন্দু $P$ বল থেকে আরও দূরে সরে যাবে ।

চিত্রে $O$ বিন্দুতে পরস্পর $\alpha$ কোণে হেলানো $OA$ ও $OB$ বরাবর কার্যরত $P$ ও $Q$ বল দুইটির লব্ধি $R.$

ক. বলের লম্বাংশ ও অংশকের পার্থক্য বর্ণনা কর।

খ. বলের লম্বাংশের সাহায্যে $P$ ও $Q$ বল দুইটি লব্ধি $R$ এর মান নির্ণয় কর ৷

গ. $P$ বলের দিক বরাবর $R$ এর লম্বাংশের পরিমাণ $Q$ হলে দেখাও যে, উদ্দীপকে বর্ণিত

বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ $\alpha=\cos ^{-1} \frac{Q-P}{Q}=2 \sin ^{-1} \sqrt{\frac{P}{2 Q}}$ এবং লব্ধি

$R=\sqrt{Q^{2}-P^{2}+2 P Q}$

$O$ বিন্দুটি $ABC$ ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র। $P$ বলটি $AO$ বরাবর ক্রিয়া করছে। $P$ এর সমান্তরাল সমমুখী $P_{1}, P_{2}^{}$ দুইটি বল যথাক্রমে $B$ ও $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

ক. ত্রিভুজের পরিকেন্দ্রের সংজ্ঞা লিখ এবং চিত্র অঙ্কন করে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র চিহ্নিত কর।

খ. যদি $P_{1}+P_{2}=P$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $P_{1}: P_{2}=\sin 2 B: \sin 2 C$

গ. যদি ত্রিভুজটির কৌণিক বিন্দু $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ তে যথাক্রমে $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ তিনটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে লব্ধি

ত্রিভুজটির লম্ব কেন্দ্রগামী হয় তবে, দেখাও যে, $P \cos A: Q \cos B: R \cos C=a: b: c$

চিত্রে $AB$ সুষম দন্ডের $A$ ও $B$ প্রান্তে কার্যরত দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল $P$ ও $Q$ এর লব্ধি $C$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।

ক. $P$ ও $Q$ কে যথাক্রমে $Q$ ও $R$ দ্বারা প্রতিস্থাপন করলে লব্ধির অবস্থান পরিবর্তন হয় না। দেখাও যে, $\mathrm{R}=\mathrm{Q}^{2} / \mathrm{P}$

খ. উদ্দীপকে $P$ কে $R$ এবং $Q$ কে $S$ পরিমাণে বৃদ্ধি করলেও লব্ধির অবস্থান একই থাকে। প্রমাণ কর যে, $S=R-\frac{(Q-R)^{2}}{P-Q}$

গ. উদ্দীপকে $P$ ও $Q$ এর পরিবর্তে দন্ডের $A$ প্রান্তে $10 kg$ ওজন ঝুলানো হলে তা ঐ প্রান্ত হতে $1m$ দূরে একটি খুটির উপর আনুভূমিকভাবে সুস্থিত থাকে।

খুটির উপর চাপের পরিমাণ $30 kg$ হলে, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

চিত্রে $CA$ ও $CB$ বরাবর ক্রিয়াশীল যথাক্রমে $P$ ও $Q$ সমবিন্দু বলের লব্ধি $R$ এর ক্রিয়ারেখা $CD.$

ক. $2 \alpha$ কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলের লব্ধি, $2 \beta$ কোণে ক্রিয়ারত বল দুইটির লন্ধির দ্বিগুণ হলে, দেখাও যে, $\cos \alpha=2 \cos \beta$

খ. যদি $P \propto \cos A$ এবং $Q \propto \cos B$ হয়, তবে দেখাও যে, $\cos \alpha=2 \cos \beta$

গ. $P=Q$ হলে, দেখাও যে, $CD$ রেখা $\angle \mathrm{C}$ কোণের সমদ্বিখন্ডক । $\angle \mathrm{ACD}=\alpha$ এবং

$\angle B C D=\beta$ হলে, $\mathbf{\alpha}$ ও $\beta$ এর মান নির্ণয় কর।

চিত্রে, $OA$ ও $OB$ বরাবর ক্রিয়ারত যথাক্রমে $(P + Q)$ এবং $(P – Q)$ বলের লব্ধি $R$ যা $OC$ বরাবর ক্রিয়া করে। যেখানে $OD$ রেখা $\angle \mathrm{AOB}$ এর সমদ্বিখন্ডক, $\angle C O D=\theta$ এবং $\angle A O B=2 \alpha$

ক. $P, Q$ সমবিন্দু বল দুইটি এদের লব্ধি $R$ এর দুই পার্শ্বে যথাক্রমে $\alpha, \beta$ কোণে আনত হলে,

$P$ ও $Q$ কে $\alpha, \beta$ এবং $R$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

খ. উদ্দীপক অবলম্বনে প্রমাণ কর যে, $P \tan \theta=Q \tan \alpha .$

গ. $\angle \mathrm{AOB}=\alpha$ হলে, দেখাও যে, $P: Q=\tan \frac{\alpha}{2}: \tan \frac{\theta}{2} \text {. }$

$O$ বিন্দুতে $OX, OY$ এবং $OZ$ বরাবর কার্যরত $P, Q, R$ মানের তিনটি বল সাম্যাবস্থায় আছে ।

ক. বলের ত্রিভুজ সূত্রের বিপরীত সূত্রটি বর্ণনা কর। দেখাও যে, কোনো বস্তুকণার উপর ক্রিয়ারত $5: 6: 12$ অনুপাতে বলগুলি সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করতে সক্ষম নয় ।

খ. $O$ বিন্দুগামী একটি বৃত্ত বলত্রয়ের ক্রিয়া রেখাকে $A, B, C$ বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ কর যে, $P: Q: R=B C: C A: A B$

গ. উদ্দীপক থেকে প্রমাণ কর যে, $R^{2}=Q(Q-P)$ যখন $\angle \mathrm{XOY}=\alpha$ এবং $\angle \mathrm{XOZ}=2 \alpha$

কোন বিন্দুতে $P, Q, R$ তিনটি বল এরূপভাবে ক্রিয়া করে যে, এদের দিক একটি সমবাহু ত্রিভুজের একইক্রমে তিনটি বাহুর সমান্তরাল ।

‘ক. সাম্যাবস্থায় বলের ত্রিভুজ, সূত্রটি বর্ণনা কর ।

খ. উদ্দীপকে উল্লিখিত বল তিনটির লব্ধি $F$ হলে, $F$ মান নির্ণয় কর।

গ. গাণিতিক পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, $P = Q = R$ না হলে, বলত্রয় সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করতে পারে না।

$\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ তিনটি সদৃশ সমান্তরাল বল $ABC$ ত্রিভুজের যথাক্রমে A, B, C শীর্ষবিন্দুতে একই দিকে ক্রিয়াশীল আছে ।

ক. ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ও অন্তঃকেন্দ্রের সংজ্ঞা লিখ ।

খ. বল তিনটির লব্ধি $ABC$ ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রে ক্রিয়া করলে দেখাও যে, $P = Q=R.$

গ. যদি বল তিনটির লব্ধি ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্রে ক্রিয়া করে তবে ,প্রমাণ কর যে, $\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{c}} .$

$ABC$ একটি ত্রিভুজ যার $\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}$

ক. কোনো একটি বিন্দুতে $P$ এবং $2P$ মানের বল দুইটি ক্রিয়ারত। প্রথমটিকে দ্বিগুণ করলে এবং দ্বিতীয়টির মান $8$ একক বৃদ্ধি

করলে লব্ধির দিক অপরিবর্তিত থাকে । $P$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. এক বিন্দুতে ক্রিয়ারত $Q – R, Q$ এবং $Q + R$ বল তিনটির দিক $ABC$ ত্রিভুজের বাহুগুলির সমান্তরাল। এদের লব্ধি নির্ণয় কর।

গ. $ABC$ ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র $G$ হলে, দেখাও যে,

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=3 \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}$ যেখানে $\triangle \mathrm{ABC}$ এর সমতলে $O$ যেকোনো একটি বিন্দু ।

$P$ ও $Q$ দুইটি বল যথাক্রমে একটি হেলানো মসৃণ তলের দৈর্ঘ্য ও ভূমির সমান্তরালে ক্রিয়া করে প্রত্যেকে এককভাবে তলের উপরস্থ $w$ ওজনের একটি বস্তুকে ধরে রাখতে সক্ষম

ক. $3P$ এবং $2P$ মানের বল দুইটির লব্ধির মান $R$; যদি প্রথম বলের পরিমাণ দ্বিগুণ করা হয় তবে লব্ধির মানও দ্বিগুণ হয়।

বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপক অবলম্বনে প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{\mathrm{P}^{2}}-\frac{1}{\mathrm{Q}^{2}}=\frac{1}{\mathrm{~W}^{2}},$ যখন $\mathrm{P}>\mathrm{Q}$

গ. যদি $P$ এবং $Q$ বলের ক্ষেত্রে বস্তুর উপর মসৃণ তলের প্রতিক্রিয়া যথাক্রমে $R$ এবং $R'$ হয়, তবে দেখাও যে,$\mathrm{W}=\sqrt{\mathrm{RR}^{\prime}}$

$P, Q, R$ সাম্যাবস্থার সৃষ্টিকারী সমবিন্দু তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা $ABC$ ত্রিভুজের $BC, CA, AB$ বাহুর সমান্তরাল ।

ক. একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত $P$ নিউটন এবং $12N$ দুইটি বলের লব্ধি $3 \sqrt{7} \mathrm{~N}$। যার ক্রিয়ারেখা $P$ এর সাথে $90°$ কোণ উৎপন্ন করে।

$P$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $P, Q, R$ নির্ণয় কর, যখন $BC = 50 cm, CA = 60cm, AB = 50 cm$ এবং $Q – R = 8N$

গ. যদি $AB$ আনুভূমিক এবং $ACB$ একটি সুতা হয়, যার উপর দিয়ে $W$ ওজনের মসৃণ আংটা অবাধে গড়িয়ে $C$ বিন্দুতে

স্থির আছে তবে, সুতার টান নির্ণয় কর, যখন সুতার দৈর্ঘ্য $l$। এবং $\mathrm{AB}=\mathrm{d}(l>\mathrm{d})$

একটি সুতার দুই প্রান্ত একই আনুভূমিক রেখায় $A$ ও $B$ বিন্দুতে বাঁধা আছে। $P$ ওজনের একটি মসৃণ আংটা সুতার উপর দিয়ে

অবাধে চলাচল করতে পারে। $6N$ একটি আনুভূমিক বল আংটাটিকে টেনে B বিন্দুর খাড়া নিচে $C$ বিন্দুতে স্থির রাখে ।

ক. $P, Q, R$ বলত্রয় একবিন্দুতে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে। $P$ ও $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ $60°$ এবং $P$ ও $R$ এর মধ্যবর্তী

কোণ $150°$ হলে দেখাও যে, $P=Q=\frac{R}{\sqrt{3}}$

খ. $\angle B A C=30^{\circ}$ হলে $p$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. যদি $AB = a$ এবং রশির দৈর্ঘ্য $l(l>a)$ হয়, তবে রশির টান $T$ কে $a$. এবং এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

ক. $AB$ একটি দন্ডের $A$ ও $B$ প্রান্তে যথাক্রমে $5$ কেজি ও $8$ কেজি ওজন স্থাপন করে $C$ বিন্দুতে রশি বেঁধে ঘরের ছাদ হতে ঝুলানো হলে

দন্ডটি আনুভূমিকভাবে অবস্থান করে। যদি $A$ প্রান্তে $112$ কেজি ওজন রাখা হয় তবে $B$ প্রান্তে কত ওজন দিলে দন্ডটি আগের মতো স্থির থাকবে?

খ. বল তিনটির লব্ধি $ABC$ ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রে ক্রিয়া করলে দেখাও যে, $\mathrm {P = Q=R}$

গ. যদি বল তিনটির লব্ধি ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্রে ক্রিয়া করে তবে, প্রমাণ কর যে, $\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{c}} .$

P ও $Q$ দুইটির সমমুখী সমান্তরাল বল $AB$ একটি হাল্কা আনুভূমিক দন্ডের যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ক্রিয়া করছে ।

ক. $Q$ কে $\frac{\mathrm{P}^{2}}{\mathrm{Q}}$ তে পরিবর্তন করে $P$ এর সাথে স্থান বিনিময় করলে লব্ধির অবস্থান কি হবে ?

খ. $\mathrm{P}=12 \mathrm{~N}$ এবং $\mathrm{Q}=8 \mathrm{~N}$ হলে এবং এদের অবস্থান বিনিময় করলে $AB$ বরাবর এদের লব্ধি কত দূর সরে যাবে?

গ. যদি $\mathrm A$ ও $\mathrm B$ বিন্দুতে $P$ ও $Q$ এর পরিবর্তে যথাক্রমে $2 \mathrm{~W}$ ও $3 \mathrm{~W}$ দুইটি ওজন ঝুলানো হয়, তবে $10 \mathrm{cm}$ ব্যবধানে দুইটি

পেরেক দন্ডের কোন স্থানে স্থাপন করলে এদের উপর চাপ সমান হবে? যেখানে $\mathrm{AB}=20 \mathrm{c} . \mathrm{m} .$

ক. একটি আনত সমতলে $10kg$ ওজনের একটি বস্তুকে সমতল বরাবর $2kg$ ওজনের বল এবং একটি আনুভূমিক বল প্রয়োগ করে স্থিরভাবে রাখা হয়েছে।

যদি ভূমির সমতলের নতি $\theta=\sin ^{-1} \frac{3}{5}$ হয়, তবে আনুভূমিক বলটি নির্ণয় কর ।

খ. যদি উদ্দীপকের $\mathrm {P, Q, R}$ বল তিনটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব বরাবর ক্রিয়া করে তবে দেখাও যে,$\mathrm {P: Q: R=a: b: c}$

গ. $\mathrm {P, Q, R}$ বল তিনটি সদৃশ সমান্তরাল এবং এদের লব্ধি ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্রগামী হলে, প্রমাণ কর যে,

$\mathrm {P: Q: R=a \cos A: b \cos B: c \cos C}$

ক. দৃশ্যকল্পের দুইটি বলের লব্ধি এবং $A$ বিন্দু হতে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।

খ. $P$ ও $Q$ এর প্রত্যেকে x পরিমাণে বৃদ্ধি করা হলে, দেখাও যে, লব্ধি যদি $d$ দূরত্বে সরে যায় তবে $\mathrm{d}=\frac{\mathrm{X}}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}} \mathrm{AB}$

গ. যদি $\mathrm P = 10$ ডাইন এবং $Q = 5$ ডাইন হয় তবে এ দুইটি বলের সাথে সমপরিমাণ কত বল যোগ করলে এদের লব্ধি $10 \mathrm {cm}$

দূরে সরে যাবে তা খ.-এর সূত্র প্রয়োগ না করে নির্ণয় কর। যখন $A B=20 \text { c.m. }$

$\mathrm{ABC}$ ত্রিভুজের $CA$ ও $CB$ বাহু বরাবর ক্রিয়ারত $P$ ও $Q$ বল দুইটি লব্ধি $R$.

ক. সমবিন্দু $P$ ও $2P$ মানের দুইটি বলের লব্ধি যদি $P$ এর ক্রিয়ারেখার উপর লম্ব হয়, তবে বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

খ. চিত্রে $P=k \cos A, Q=k \cos B$ হলে, দেখাও, যে, $\mathrm{R}=\mathrm{k} \sin \mathrm{C}$ যখন $k$ একটি ধ্রুবক ।

গ. দেখাও যে, $\alpha=\frac{1}{2}(C+B-A)$ এবং $\beta=\frac{1}{2}(C+A-B)$

চিত্রে $\mathrm P$ ও $\mathrm Q$ বল দুইটির লব্ধি $\mathrm R.$

ক. $\mathrm {P = Q}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\theta=\frac{\alpha}{2}$

খ. যদি $\theta=90^{\circ}$ এবং $R=\frac{Q}{3}$ হয়, তবে দেখাও যে, $P: Q=2 \sqrt{2}: 3$

গ. $\theta=\frac{\alpha}{3}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\alpha=3 \cos ^{-1} \frac{\mathrm{P}}{2 \mathrm{Q}}$ এবং $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{P}^{2}-\mathrm{Q}^{2}}{\mathrm{Q}}$ হলে, $P>Q$ যখন $P>Q$