Questions in this chapter

একটি হেলানো তলের উপর ভূমি ও দৈর্ঘ্যের সমান্তরালে ক্রিয়াশীল যথাক্রমে $\mathrm S$ ও $\mathrm T$ দুইটি পৃথক বল এর প্রত্যেকে একাকী $\mathrm W$ ওজনের কোনো বস্তুকে সমতলের উপর স্থিরভাবে ধরে রাখতে পারে। [$\mathrm R$ হলো প্রতিক্রিয়া বল]

ক. হেলানো তলের কোণ $\alpha$ হলে $Q$ ও $S$ বলের অনুপাত নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm W$ কে $\mathrm S$ ও $\mathrm T$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

গ. $\mathrm S$ ও $\mathrm T$ বলদ্বয় একসাথে ক্রিয়া করলে দেখাও যে,

$S^{2}-T^{2}=R^{2}-W^{2}$

এখানে $\mathrm P$ ও $\mathrm Q$ বলের লব্ধি $\mathrm R$এবং $P, Q>0$

ক. $\mathrm Q$ বরাবর $\mathrm R = 20$ একক বলের অংশক $10 \sqrt{3}$ হলে $\theta$ নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm R=\sqrt{3} \mathrm Q$ হলে $\mathrm P$ এবং $\mathrm Q$ বলের অনুপাত নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{Q}^{2}-\mathrm{P}^{2}}{\mathrm{P}}$ যখন $\alpha=3 \gamma .$

একজন ক্রিকেট ব্যাটসম্যান তার ব্যাটিং প্রাক্টিসের জন্য $15$ ইঞ্চি একটি সুতার $\mathrm A$ ও $\mathrm B$ প্রান্তদ্বয়কে ছাদের $12$ ইঞ্চি দূরত্বে অবস্থিত দুইটি ভিন্ন অনুভূমিক বিন্দুতে বেঁধে দিলেন।

এরপর একটি মসৃন ওজনহীন আংটার সাহায্যে $\mathrm W$ ওজনের একটি বলকে ঐ সুতা থেকে অবাধে ঝুলিয়ে দিলেন ।

ক. ছাদ থেকে আংটার সর্বনিম্ন বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর

খ. $\mathrm{W}=6 \mathrm{~N}$ হলে সুতার টান নির্ণয় কর।

গ. বলটিকে যদি $\mathrm A\mathrm B$ সুতার যেকোনো বিন্দু $\mathrm C$-তে গিট দিয়ে ঝুলিয়ে দেওয়া হয় তবে দেখাও যে, $\mathrm C\mathrm A$ অংশের টান

$\frac{{\mathrm{W}} \cdot \mathrm{AC}}{4 .\mathrm{AB} \Delta}\left(A B^{2}+\right.\left.\mathrm{BC}^{2}-\mathrm{CA}^{2}\right)$ যেখানে $\Delta$ হল $\mathrm A\mathrm B\mathrm C$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ।

মহাশূন্যে অবস্থিত দুটি বৃহৎ বস্তু $A$ ও $B$ বিন্দুতে অবস্থিত এবং $C$ বিন্দুতে অবস্থিত অপেক্ষাকৃত ক্ষুদ্র একটি বস্তুকে

নিজের দিকে আকর্ষণ করছে। এই আকর্ষণ বলের মান যথাক্রমে $\cos \mathrm{A}$ ও $\cos \mathrm{B}$ এর সমানুপাতিক ।

ক. ক্ষুদ্রতর বস্তুটি $A$ ও $B$ বস্তুদ্বয়ের কেন্দ্র সংযোগকারী সরলরেখার উপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে অবস্থিত

হলে এর উপর প্রযুক্ত বলদ্বয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

খ. ক্ষুদ্রতর বস্তুর উপর প্রযুক্ত বলদ্বয়ের লব্ধি ও $C$ কোণের মধ্যে বিদ্যমান সম্পর্কটি নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, ক্ষুদ্রতর বস্তুটির উপর প্রযুক্ত বলদ্বয়ের লব্ধির দিক $C$ কোণকে $\frac{1}{2}(C+B-A)$

এবং $\frac{1}{2}(C+A-B)$ অংশে বিভক্তকরে।

একটি বস্তুকণার উপর $\sqrt{3}, 2$ এবং $1$ একক মানের তিনটি বল কার্যরত।

ক. বলগুলির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বলদ্বয়ের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধি নির্ণয় কর ।

খ. বলগুলি সাম্যাবস্থায় থাকলে এদের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

গ. বলগুলি পরস্পরের সাথে $120°$ কোণ উৎপন্ন করলে লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।

$\mathrm{R}, \mathrm{S}, \mathrm{T}$ বল তিনটি একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত থেকে ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে।

ক. কী শর্তে একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করবে ?

খ. $\mathrm R$ ও $\mathrm S$ এর অন্তর্গত কোণ $\mathrm R$ ও $\mathrm T$ এর অন্তর্গত কোণের দ্বিগুণ হলে প্রমাণ কর যে, $S^{2}=T^{2}+R S$

গ. বল তিনটি যথাক্রমে $\triangle \mathrm{ABC}$ এর পরিকেন্দ্র $O$ বিন্দুতে $OA,$ $OB$ এবং $OC$ বরাবর ক্রিয়ারত হলে দেখাও যে,

যদি $\mathrm{BC}=, \ell,\mathrm{CA}=\mathrm{m}, \mathrm{AB}=\mathrm{n}$ হয় তবে $\mathrm{R}: \mathrm{S}: \mathrm{T} =\ell^{2}\left(m^{2}+n^{2}-\ell^{2}\right): m^{2}\left(n^{2}+\ell^{2}-m^{2}\right): n^{2}\left(\ell^{2}+m^{2}-n^{2}\right)$

$r, s, t$ বল তিনটি $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ বাহুর উপর লম্ব ।

$\text { (ii) } \triangle \mathrm{ABC}$ এর কৌণিক বিন্দু $A, B, C$ তে তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল $r, s, t$ কার্যরত ।

ক. কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত $10N$ এবং $15N$ বলদ্বয় $60°$ কোণে ক্রিয়ারত থাকলে লব্ধির দিক নির্ণয় কর।

খ. (i) নং থেকে $r, s, t$ বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, $r: s: t=a: b: c$

গ. (ii) নং এর লব্ধি ত্রিভুজটির ভর কেন্দ্রে কার্যরত হলে, $r=s=t$ এর সত্যতা যাচাই কর ।

$O A$ রেখার $O$ ও $A$ বিন্দুতে যথাক্রমে $\mathrm{P}_{1}$ ও $P_{2}$ দুইটি সদৃশ সমান্তরাল। বল $\left(P_{2}>P_{1}\right)$ কার্যরত।

ক. লম্বাংশ উপপাদ্য ব্যাখ্যা কর।

খ. $P_{1}$ বলের ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখা $P_{2}$ বলের দিকে $d$ দূরত্ব সরালে, দেখাও যে, লব্ধির সরণ $=\frac{P_{1} d}{P_{1}+P_{2}}$

গ. সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয়ের $\mathrm{P}_{1}$ কে $P$ পরিমাণ কমালে এবং $\mathrm{P}_{2}$ কে $P$ পরিমাণ বাড়ালে দেখাও যে লম্বি

$\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{P}_{1}+\mathrm{P}_{2}} \mathrm{OA}$ দূরে সরে যাবে।

$O$ বিন্দুতে $OA$ ও $OB$ রেখা বরাবর ক্রিয়ারত যথাক্রমে $P, Q$ বলের লব্ধি $R$ যা $OA$ এর উপর লম্ব।

ক. সমবিন্দু বল বলতে কি বুঝ? বলের সামান্তরিক সূত্রটি বর্ণনা কর।

খ. যদি উদ্দীপকে $Q=13 N$ এবং $P$ ও $Q$ এর লব্ধি $\mathrm{R}=12 \mathrm{~N}$ হয়, তবে $P$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. একই রেখা বরাবর ক্রিয়ারত যথাক্রমে $\mathrm{P}^{\prime}, \mathrm{Q}^{\prime}$ বলের লব্ধি $R^{\prime}$ যা $OB$ এর উপর লম্ব হলে,

দেখাও যে, $\mathrm{PP}^{\prime}=\mathrm{QQ}^{\prime}$

উপরের চিত্রে $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\mathrm{P}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\mathrm{Q}$

ক. তিনটি ভিন্ন রেখা বরাবর কার্যরত সমবিন্দু তিনটি বলের লব্ধি কখন শূন্য হয়?

চিত্র সহকারে ব্যাখ্যা কর।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ এর মান চিত্র থেকে $P, Q$ এবং $\alpha$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গ. যদি $P=Q$ হয়, তবে $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ এর মান কত হবে? এক্ষেত্রে $\alpha$ ও $\theta$ এর মধ্যে কি সম্পর্ক?

$P$ ও $Q$ দুইটি বল পরস্পর সমকোণে ক্রিয়া করলে এদের লব্ধি $2 \sqrt{13} \mathrm{~N}$ হয়। এদের বৃহত্তম লব্ধি $10N$

ক. কখন বল দুইটির লব্ধি ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম হয় ?

খ. প্রদত্ত বল দুইটির মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকে $P=3 N$ এবং $P$ ও $Q$ এর লব্ধি $R = 4N$

যা $P$ বলের উপর লম্ব হলে $Q$ এর মান নির্ণয় কর।

চিত্রে $O$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল $P$ ও $Q$ বলের লব্ধি $R$ যা $P$ বলের ক্রিয়ারেখার উপর লম্ব ।

ক. $Q = 2P$ হলে, বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

খ. যদি $R=\frac{2 Q}{3}$ হয়, তবে বল দুটির অনুপাত নির্ণয় কর?

গ. লব্ধি $R=\sqrt{3} Q$ হলে এবং তা $P$ বলের সাথে $30°$ কোণ উৎপন্ন করলে,

প্রমাণ কর যে, $P = Q$ অথবা $বলের ক্রিয়ারেখার উপর$.

$O$ বিন্দুগামী $P$ ও $Q$ দুইটি বলের লব্ধি $R$

ক. $P = Q = R$ হলে, $P$ ও $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

খ. কোন সরলরেখা $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ এর ক্লিয়ারেখাকে যথাক্রমে $L, M, N$ বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণ কর যে,$\frac{P}{O L}+\frac{Q}{O M}=\frac{R}{O N} .$

গ. যদি $P> Q$ হয় এবং লব্ধি R এদের অন্তর্গত কোণকে এক তৃতীয়াংশে বিভক্ত করে,

তবে দেখাও যে,বল দুইটির অন্তর্গত কোণ $3 \cos ^{-1}\left(\frac{P}{2 Q}\right)$ এবং লম্বি $R=\frac{\mathrm{P}^{2}-\mathrm{Q}^{2}}{\mathrm{Q}}$

চিত্রে $\alpha$ কোণে হেলানো $OA$ এবং $OB$ রেখা বরাবর ক্রিয়াশীল যথাক্রমে- $P$ ও $Q$ বলের লব্ধি $R$ যা $OA$ এর দিকের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে ।

ক. বলের সাইন সূত্রটি লিখ ।

খ. উদ্দীপকে $P$ ও $Q$ এর স্থলে যথাক্রমে $2P$ ও $P$ হলে এদের লব্ধির ক্রিয়ারেখা এবং একই রেখায় কার্যরত

$4P$ ও $(P + 8)$ বলের লব্ধির ক্রিয়ারেখা একই। $P$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকে $Q$ পরিবর্তিত হয়ে $Q'$ হলে এদের লব্ধি $R'$ বলটি $OA$ এর সাথে $\theta^{\prime}$ কোণ উৎপন্ন করে ।

দেখাও যে, $\frac{R}{R^{\prime}}=\frac{\sin \left(\alpha-\theta^{\prime}\right)}{\sin (\alpha-\theta)},$ যখন $\alpha<\pi .$

$\alpha$ কোণে হেলানো $\mathrm{OA}$ এবং $\mathrm{OB}$ রেখা বরাবর যথাক্রমে $P$ ও $Q(P > Q)$ দুইটি বল ক্রিয়া করছে। এদের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধি যথাক্রমে $S$ ও $T$.

ক. বলের সামান্তরিক সূত্রটি বর্ণনা কর। উদ্দীপকের $S$ ও $T$ এর মান লিখ ।

খ. যদি উদ্দীপকে $\alpha=120^{\circ}, Q=7 \mathrm{~N}$ এবং এদের লব্ধি $Q$ বলটির উপর লম্ব হয় তবে, লব্ধির মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপক অবলম্বনে দেখাও যে, বল দুইটির লব্ধির মান $=\sqrt{S^{2} \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}+T^{2} \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}} .$

$O$ বিন্দুতে $OX, OY$ ও $OZ$ বরাবর P মানের তিনটি সমান বল $ABC$ ত্রিভুজের বাহুগুলির সমান্তরালে ক্রিয়া

করছে।

ক. বলের লম্বাংশের উপপাদ্যটি বর্ণনা কর।

খ. দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত বল তিনটির লব্ধির মান $=P \sqrt{3-2 \cos A-2 \cos B-2 \cos C}$

গাণিতিকভাবে দেখাও যে, ABC ত্রিভুজে $\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=\mathrm{AB}$ হলে বলত্রয় সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করবে ।

গ. যদি $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ বল দুইটির লব্ধি ABC ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্রগামী হয়, তবে ত্রিভুজটি সমকোণী

অথবা সমদ্বিবাহু হবে।

চিত্রে $a$ ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলক একটি সুতা দিয়ে গোলকের $D$ বিন্দুতে এবং দেয়ালের $A$ বিন্দুতে সুস্থিতে বাঁধা আছে।

ক. বলের সাম্যাবস্থার ত্রিভুজ সূত্রের বিপরীত সূত্রটি লিখ ।

খ. উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, সুতার টান $T=\frac{\mathrm{W}(l+\mathrm{a})}{\sqrt{2 \mathrm{a} l+l^{2}}}$ যখন সুতার দৈর্ঘ্য $=l$ এবং

গোলকের ওজন $W.$

গ. যদি সুতার দৈর্ঘ্য গোলকের ব্যাসার্ধের সমান হয়, তবে দেখাও যে, সুতার টান $T=\frac{2}{\sqrt{3}} \mathrm{~W} .$

$ABCD$ একটি রম্বস আকৃতির পাতের একটি কোণ $120°$ এবং এর কেন্দ্র হতে কর্ণ বরাবর $P$ ও $Q$ দুইটি বল প্রয়োগ করে

একে খাড়া করে রাখা হলো যেন এর একটি বাহু আনুভূমিক হয়।

ক. সাম্যাবস্থার বলের ত্রিভুজ সূত্রটি বর্ণনা কর।

খ. উদ্দীপকে অনুসারে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{P}^{2}=3 \mathrm{Q}^{2}$ যখন ${\mathrm{P}}>\mathrm{Q}$

গ. যদি রম্বসটির কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু $O$ তে $3N, 4N, 9N$ এবং $10N$ বলগুলি

যথাক্রমে $OA, OB, OC$ এবং $OD$ বরাবর ক্রিয়া করে। লব্ধির মান নির্ণয় কর।

চিত্রে $ABC$ একটি ত্রিভুজ, যেখানে $AB$ একটি হাল্কা রড এবং $AC$ ও $BC$ দুইটি সুতা, যা রডের $A$ ও $B$ বিন্দুতে সংযুক্ত। $20$ পা. ওজনের একটি বস্তু $C$ বিন্দুতে ঝুলানো হলো।

$AB$ রডটি এরূপভাবে স্থাপন করা হলো যেন বস্তুটি রডের মধ্যবিন্দু $D$ এর খাড়া নিচে থাকে।

ক. সুতার টান বলতে কি বুঝ?

খ. $ABC$ ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র $O$ তে $P, Q, R$ তিনটি বল যথাক্রমে $OA, OB, OC$ বরাবর

ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে, তবে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{P}: \mathrm{Q}: \mathrm{R}=\cos \frac{\mathrm{A}}{2}: \cos \frac{\mathrm{B}}{2}: \cos \frac{\mathrm{C}}{2} .$

গ. উদ্দীপকের $CA$ ও $CB$ রশি দুইটির টান নির্ণয় কর, যখন $AB= 10 \text { c.m., } B C=8 \mathrm{~m}$ এবং

$\mathrm{CA}=6 \mathrm{c} \cdot \mathrm{M}$

কোনো জড়বস্তুর উপর $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়া করছে।

ক. সদৃশ এবং অসদৃশ সমান্তরাল বলের সংজ্ঞা লেখ।

খ. যেকোনো পদ্ধতিতে $P$ ও $Q$ বল দুইটির লব্ধি- $R$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. লব্ধি $R$ এর ক্লিয়ারেখা যদি $AB$ রেখাস্থ $C$ বিন্দুগামী হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $P . A C=Q . B C$ এবং

দেখাও যে, $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ প্রত্যেকে অপর দুইটির ক্রিয়াবিন্দুর দূরত্বের সমানুপাতিক ।