Questions in this chapter

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও:

$ABCD$ সামান্তরিকের $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{A D}=\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$

$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=?$

$\overline{\mathrm{a}}=2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}},$$\overline{\mathrm{b}}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}, \overline{\mathrm{c}}=\hat{\mathrm{i}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overline{\mathrm{d}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$

ক. $A(2, − 3, 1)$ এবং $B (- 1, 0, 4)$ হলে $\overrightarrow{A B}$ নির্ণয় কর।

খ. $\bar{b}$ ও $\bar{c}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $45°$ হলে $p$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\overline{\mathbf{a}}$ এবং $\overline{\mathrm{d}}$ যে সমতলে অবস্থিত তার উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।

$\overline{\mathbf{A}}=2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{B}}=2 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+$$\hat{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{C}}=\mathbf{a} \hat{\mathbf{i}}-7 \hat{\mathbf{j}}+10 \hat{\mathbf{k}} .$

ক. $\overline{\mathbf{A}}$ এর উপর $\overline{\mathbf{B}}$ এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর ।

খ. $\overline{\mathbf{A}}$ ও $\overline{\mathbf{B}}$ দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টরটি $'a'$ এর কোন মানের জন্য $\overline{\mathbf{C}}$ এর উপর লম্ব হবে তা নির্ণয় কর।

গ. $PQR$ ত্রিভুজের লম্ববিন্দু $C(3, 2)$ হলে $\triangle \mathrm{PQR}$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$a=2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}},$$\mathbf{b}=\hat{\mathbf{i}}-2 \hat{\mathbf{j}},$$\mathrm{c}=\hat{\mathbf{i}}+p \hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}$

এবং $\mathbf{d}=3 \hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}$

ক. $A(2,-3,1)$ এবং $B(-1,0,4)$ হলে $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ নির্ণয় কর।

খ. $b$ ও $c$ এর মধ্যবর্তী কোণ $45^{\circ}$ হলে $p$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $a$ এবং $d$ যে সমতলে অবস্থিত তার উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

$\overrightarrow{\mathrm{A}}=2 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}} ;$$\overrightarrow{\mathrm{B}}=-\hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}+7 \hat{\mathrm{k}}$ এবং তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক

$P(-3,-2,-1) ;$$Q(4,0,-3)$ এবং $s(6,-7,8)$

ক. উদাহরণসহ একক ভেক্টর এর সংজ্ঞা দাও ।

খ. উদ্দীপকের আলোকে $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ বরাবর $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ এর উপাংশ নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের আলোকে $\triangle P Q S$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$\vec{A}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}, \vec{B}$$=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}, \vec{C}=\hat{i}+b \hat{j}+3 \hat{k}$

ক. অবস্থান ভেক্টর বলতে কি বুঝ?

খ. $\vec{A}$ ভেক্টর বরাবর $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ভেক্টরের উপাংশ $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ ভেক্টরের সাথে লম্ব হলে b-এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\vec{A}+\vec{B}$ এবং $\vec{A} \times \vec{B}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

$\overrightarrow{\mathrm{P}}=3 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{Q}}=3$$\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{R}}=\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{k}$

ক. $\vec{P}$ বিন্দুগামী এবং $\vec{Q}$ ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $\overrightarrow{\mathrm{P}}-\overrightarrow{\mathrm{Q}}$ ভেক্টরটি $\overrightarrow{\mathbf{P}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{Q}}$ ভেক্টর দ্বারা গঠিত - সমতলের উপর লম্ব ভেক্টরের সাথে লম্ব ।

গ. উদ্দীপকে উল্লিখিত ভেক্টরগুলির $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ এর সহগ দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স $A$ হলে $\mathbf{A}^{-1}$- নির্ণয় কর।

$\vec A=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k},$$\vec B=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}, \vec C=\hat{i}+b \hat{j}+3 \hat{k}$

ক. অবস্থান ভেক্টর বলতে কি বুঝ?

খ. $\vec A$ ভেক্টর বরাবর $\vec B$ ভেক্টরের উপাংশ $\vec C$ ভেক্টরের সাথে লম্ব হলে $b$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $\mathrm{\vec A}+\mathrm{\vec B}$ এবং $\mathbf{\vec A} \times \mathbf{\vec B}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

$A=2 \hat{i}-3 \hat{j}-\hat{k} ;$$\mathbf{B}=-\hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$ এবং তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক $P(-3,-2,-1) ;$$Q(4,0,-3)$ এবং $S(6,-7,8)$

ক. উদাহরণসহ একক ভেক্টর এর সংজ্ঞা দাও ।

খ. উদ্দীপকের আলোকে $A$ বরাবর $B$ এর উপাংশ নির্ণয় কর ৷

গ. উদ্দীপকের আলোকে $\triangle \mathrm{PQS}$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$P=\overrightarrow{O A}$$=3 \hat{i}-3 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}} ;$$\mathbf{Q}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$=3 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$ যেখানে $O$ মূল বিন্দু ।

ক. $P$ ভেক্টরের ওপর $Q$ ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $(\mathbf{P} \times \mathbf{Q})$ ও $(\mathbf{P}-\mathbf{Q})$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টরের সাথে অক্ষত্রয়ের উৎপন্ন কোণগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম নির্ণয় কর।

ক. মূলবিন্দু $'O'$ সাপেক্ষে $\mathrm{A}(2,-1,7)$ ও $\mathrm{B}(-4,5,0)$ হলে $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$ নির্ণয় কর।

খ. $\text { SM }$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. p ও q উভয় ভেক্টরের সমতলে লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

$P(1,3,2), Q(2,-1,3)$ ও $R(-1,2,3)$ একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং $O$ মূলবিন্দু ।

ক. $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ নির্ণয় কর।

খ. QR বাহুর ভেক্টর ও কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. ভেক্টর পদ্ধতিতে $\mathrm{PQR}$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$PQRS$ সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাংক যথাক্রমে $P(1,0,2), Q(2,-3,3),$$R(2,1,4), S(1,4,3)$

ক. $\mathrm{A}(-1,2,2)$ বিন্দুগামী এবং $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{QS}}$ কে সামান্তরিকের কর্ণ ধরে ভেক্টর পদ্ধতিতে $\text { PQRS }$ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{RS}}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\sin ^{-1} \sqrt{\frac{6}{17}}$

$A(1, 2, 3),$$B(- 1, - 1, 8 )$ ও $C (- 4, 4, 6)$ বিন্দু তিনটি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং $O$ মূলবিন্দু ।

ক. $AB$ বাহুর ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. অক্ষত্রয়ের সাথে $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ যে কোণ উৎপন্ন করে, তা নির্ণয় কর।

গ. ভেক্টর পদ্ধতিতে দেখাও যে, $\triangle \mathrm{ABC}$ সমবাহু ।

$\boldsymbol{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k},$$b=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ ও $c=\hat{i}+2 \hat{j}$ তিনটি ভেক্টর।

ক. $A (1, 2, 3)$ বিন্দুগামী এবং $b$ ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

খ. $c$ ভেক্টরের দিক বরাবর $a$ ও $b$ এর লব্ধির অংশক নির্ণয় কর।

গ দেখাও যে, $b$ ও $c$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\sin ^{-1}\left(\frac{.5}{3 \sqrt{3}}\right)$

$\mathbf{a}=2 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}, \mathbf{b}$$=\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$ ও $c=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ ভেক্টর তিনটি একটি ঘনবস্তুর ধার নির্দেশ করে।

ক. $|\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c}|$ নির্ণয় কর।

খ. ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয় কর।

গ. ঘনবস্তুটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ক. $\mathrm {x \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}-\frac{1}{2} \hat{k}}$ একক ভেক্টর হলে x এর মান নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে, $P, Q, R$ ভেক্টরত্রয় ভেক্টর যোগের সহযোজন সূত্র মেনে চলে ।

গ. x এর ধনাত্মক মানের জন্য $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ এর মান $9$ হলে $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ এবং $3 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$ ভেক্টর দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর ।

$\mathbf{a}=2 \hat{i}+\hat{\mathbf{j}}+\mu \hat{k}, \mathbf{b}$$=3 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ ও $c=\hat{i}-3$$\hat{j}+5 \hat{k}$ তিনটি ভেক্টর।

ক. $a$ ও $b$ পরস্পর লম্ব হলে $\mu$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\mu$ এর মান কত হলে, $a, b$ ও $c$ ভেক্টরত্রয় একই সমতলে অবস্থিত হবে।

গ. $b$ ও $c$ দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

$\mathbf{M}=4 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \hat{k}$ এবং $N=3 \hat i-3 {\hat j}-6{\hat k} 1$

ক. $M$ ও $N$ এর লব্ধি ভেক্টরের মান নির্ণয় কর।

খ. এমন একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা উদ্দীপকের ভেক্টরদ্বয়ের উপর লম্ব।

গ. $\mathbf{P}=2 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$ হলে দেখাও যে, $M, N, P$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে ।

$P=2 \hat{i}-6 \hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $Q=a \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ দুইটি ভেক্টর।

ক. দুইটি ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্ট ব্যাখ্যা কর ।

খ. $P$ এবং $Q$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে $Q$ ভেক্টরটি x-অক্ষের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর ।

গ. $a = 4$ হলে ভেক্টরদ্বয়ের ওপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর ।