Questions in this chapter

$p x^{2}+q x+1=0$ এবং $\mathrm{qx}^{2}+\mathrm{px}+1=0$ দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

ক. $2 x^{2}-5 x-1=0$ সমীকরণটি সমাধান কর ।

খ. ২য় সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত $3 : 4$ হলে দেখাও যে, $12 \mathrm{p}^{2}=49 \mathrm{q}$

গ. সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, $p+q+1=0$

$P(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+9 x+2, Q(x)=(x-2)\left(a x^{2}+b x+c\right)$

যেখানে $a, b$ এবং $c$ ধ্রুবক ।

ক. $P(x)\equiv Q(x)$ হলে $a, b, c$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $P(x)=0$ সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha, \beta$ ও $\gamma$ হলে $\Sigma \alpha^{3} \beta$ নির্ণয় কর।

গ. $\Sigma \alpha^{3} \beta$ সমীকরণের মূলত্রয় $2, \alpha$ ও $\beta$ হলে, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ

নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় $\left(\alpha+\frac{k}{\beta}\right)$ এবং $\left(\beta+\frac{k}{\alpha}\right)$ যেখানে $\mathrm k$ ধ্রুবক।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় $(x + 1)$ সে.মি. ও $(3x – 1)$ সে.মি. । অতিভুজের বর্গ দ্বিঘাত রাশিটি $F(x)$

ক. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $2$ বর্গ সে.মি. হলে, x এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর ৷

খ. $\mathrm{F}(\mathrm{x})=9$ হলে, ত্রিভুজটির অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

গ. $F(x)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে $(\alpha+\beta)^{2}$ ও

$(\alpha-\beta)^{2}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর ।

$|2 x-5|-3 x>6......(i)$

$3 x^{3}-26 x^{2}+52 x-24=0......(ii)$

$y=\frac{a+i b}{a-i b}.......(iii)$

ক. (iii) নং সমীকরণ ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে,

$\left(a^{2}+b^{2}\right) y^{2}+a^{2}+b^{2}=2\left(a^{2}-b^{2}\right) y$

খ. (i) নং অসমতার সমাধান সেট নির্ণয় কর।

গ. (ii) নং সমীকরণের মূলগুলি গুণোত্তর শ্রেণিভুক্ত হলে, সমীকরণটি সমাধান কর ।

$\alpha=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3}), \beta=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$

ক. দেখাও যে, $2 x^{3}-2 b x^{2}-2 b^{2} x-4 b^{3}$ এর একটি উৎপাদক $x-2 b$

খ. দেখাও যে, $(1-\alpha)(1-\beta)=3$

গ. একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল $\frac{\alpha}{\beta} .$

$P=x^{2}+b x+a c, Q=x^{2}+c x+a b$

এবং $R=\sqrt{-3+\sqrt{-3+\sqrt{-3+\ldots \ldots \ldots \ldots \infty}}}$

ক. $x=\mathrm i$ হলে, $|\mathrm{P}|$ নির্ণয় কর।

খ. $P = 0$ ও $Q = 0$ সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে

দেখাও যে, $a+b+c=0$

গ. $\mathrm R$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর ।

$f(x)=1-9 x+20 x^{2}$

ক. $|\mathrm{f}(\mathrm{i})|$ নির্ণয় কর।

খ. $f(x)=0$ সমীকরণের মূল দুইটি $\alpha, \beta$ হলে, একটি দ্বিঘাত

সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$ ও $\frac{1}{\alpha \beta}$

গ. সংখ্যারেখা ব্যবহার করে $f(x) \leq 3 x$ এর সমাধান নির্ণয় কর ।

অভীষ্ট ফাংশন, $\mathrm{z}=4 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}$

সীমাবদ্ধতা : $5 x+4 y \leq 20,2 x+4 y \geq 12, y \geq 2 x, x \geq 0, y \geq 0$

ক. $x^{2}-5 x+7=0$ এর মূলদ্বয় নির্ণয় কর ।

খ. $x=1$ ও $y=\sqrt{-1}$ হলে, $\frac{1}{\mathrm z}$ বিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর ৷

গ. প্রদত্ত শর্তের আলোকে অভীষ্ট ফাংশন $\mathrm Z$ এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

$a x^{2}+b x+c=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

ক. (i) এর মূলদ্বয়ের অনুপাত $2 : 3$ হলে সহগগুলির মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন কর।

খ. উদ্দীপকের সমীকরণের একটি মূল যদি উদ্দীপকের সমীকরণে $a$ ও $c$ স্থান বিনিময় করলে যে

সমীকরণ পাওয়া যায় তার একটি মূল সমান হলে প্রমাণ কর যে, $c+a=\pm b$

গ. উদ্দীপকে $a=6, b=5, c=4$ এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\alpha^{2}+\beta^{2}$ ও $\alpha \beta$

মূলবিশিষ্ট সমীকরণ গঠন কর।

$f(x)=a x^{2}+b x+c, g(x)=6 x^{2}-5 x-1$

ক. $g(x)=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে $\alpha^{4}+\alpha^{2} \beta^{2}+\beta^{4}$

এর মান নির্ণয় কর।

খ. $\mathrm{g}(\mathrm{x})<0$ অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে লিখ।

গ. $f(x) = 0$ ও $g(x) = 0$ সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকার শর্ত নির্ণয় কর।

$2 x^{2}+3 x+5=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

ক. সমীকরণটির মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. এমন একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় হবে $\frac{1}{\alpha^{3}}, \frac{1}{\beta^{3}}$

গ. সমীকরণটির মূলের বর্গমূল নির্ণয় কর।

$\alpha=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3}), \beta=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$

ক. $\beta^{3}$ নির্ণয় কর।

খ. $\sqrt{\alpha}$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

গ. কোনো একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল $\alpha$ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $x=\sqrt[4]{-1}$

দৃশ্যকল্প-২: $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha , \beta$

ক. দেখাও যে, $x^{5}-x^{4}+10 x^{3}-9 x^{2}+8 x+699$ রাশিটির একটি উৎপাদক $x+3$

খ. $b, c$ এর মাধ্যমে $(\alpha+b)^{-4}+(\beta+b)^{-4}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে x এর যে মানটি আর্গন্ড চিত্রে ১ম চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার

বর্গমূল নির্ণয় কর।

$x^{2}+a x+b=0.......(i)$

$x^{2}+a x+8=0.......(ii)$

ক. $3 x^{2}+2 x+1=0$ সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

খ. (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে এবং (ii) নং সমীকরণের একটি মূল

$4$ হলে, $a$ ও $b$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

গ. $a=2 \sqrt{3}, b=4$ এর জন্য (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\mathrm{z}_{1}$ ও $\mathrm{z}_{2}$ হলে দেখাও যে,

$\arg \left(\mathrm{z}_{1} \mathrm{z}_{2}\right)=\arg \mathrm{z}_{1}+\arg \mathrm{z}_{2}$

$\begin{array}{l}\text{(i) } x^{2}+p x+q=0\\\text{(ii) } x^{2}+q x+p=0\end{array}$

$\text { (iii) } x^{2}-(p+q) x+(p+q)^{2}=0$

ক. দেখাও যে, $a = b$ না হলে $2 x^{2}-2(a+b) x+a^{2}+b^{2}=0$ সমীকরণের

মূলগুলি বাস্তব হতে পারে না ।

খ. (i) ও (ii) এর মূলদ্বয়ের পার্থক্য একটি ধ্রুব রাশি হলে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{p}+\mathrm{q}+4=0$

গ. (i) ও (ii) এর একটি সাধারণ মূল থাকলে এবং (iii) এর মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

হলে প্রমাণ কর যে, $\alpha^{3}+\beta^{3}=2$

$\begin{array}{l}\text{(i) } a x^{2}+b x+c=0\\\text{(ii) } b x^{2}+c x+a=0\end{array}$

ক. দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল $-4-\sqrt{-5}$ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয়ের

গুণফল নির্ণয় কর।

খ. (i) এর মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $c x^{2}+2 b x+4 a=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়কে $\alpha, \beta$

এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গ. (i) এর মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ এবং (ii) এর মূলদ্বয় $\gamma, \delta$ হলে কি শর্তে $\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\gamma}{\delta}$ হবে?

$\text { (i) } 3 x^{2}+2 x+1=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

$\text { (ii) } \mathrm{z}=4+3 \mathrm{i}$ একটি জটিল সংখ্যা।

ক. $8 x^{4}-2 x^{3}-27 x^{2}+6 x+9$ বহুপদীকে $(2 x+1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ নির্ণয় কর।

খ. একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল $\frac{1}{\mathrm z}$

গ. আর্গন্ড চিত্রে (i) এর যে মূলটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার মডুলাস নির্ণয় কর।

$P(x) \equiv x^{3}-5 x^{2}+17 x-13=0$ সমীকরণের মূলত্রয়, $\alpha, \beta, \lambda$

এবং $Q(x) \equiv x^{2}-c x+b=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\gamma, \delta$

ক. দেখাও যে, $\mathrm{P}(\mathrm{x})=0$ সমীকরণের একটি মূল $\lambda=1$

খ. $\mathrm{P}(\mathrm{x})=0$ এর ক্ষেত্রে, $\Sigma \alpha^{3} \beta$ এর মান নির্ণয় কর

গ. এরূপ একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয়

$\frac{1}{\alpha \gamma}+\frac{1}{\beta \delta}$ এবং $\frac{1}{\alpha \delta}+\frac{1}{\beta \gamma}=$ হয় ।

$\alpha=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3}), \beta=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$

ক. দেখাও যে, $3 x^{2}-2(k+1) x+k=0$ সমীকরণটির মূলগুলি $\mathrm k$

এর সকল বাস্তব মানের জন্য বাস্তব হবে।

খ. দেখাও যে, $\sqrt[4]{\alpha+\beta}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$

গ. কোনো একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল $\alpha$ হলে সমীকরণটির নির্ণয় কর ।

$|x-5|-2 x>4 \ldots \ldots \text { (i) }$

$4 x^{3}-24 x^{2}+23 x+18=0 \dots \dots \text {(ii)}$

ক. $-7<x<-1$ কে পরমমানের সাহায্যে প্রকাশ কর।

খ. (i) অসমতাটির সমাধান সেট নির্ণয় কর।

গ. (ii) সমীকরণের মূলগুলি সমান্তর শ্রেণিভুক্ত হলে, সমীকরণটি সমাধান কর ।