Questions in this chapter

$\text { (i) } f(x)=x^{2}+(k+3) x+k$ যেখানে k একটি বাস্তব ধ্রুব সংখ্যা ।

$\text { (ii) } 2 {x}^{3}-3 x^{2}+5 x-75=0 \text {. }$

ক. দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি কিভাবে নির্ণয় করবে?

খ. দেখাও যে, $\mathrm k$ এর সব বাস্তব মানের জন্য $f(x) = 0$ সমীকরণের

মূলদ্বয় বাস্তব হবে ।

গ. (ii) সমীকরণের একটি মূল $5i$ হলে, অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।

$f(x, y)=x^{2} y-7 x+6$

ক. $f(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ এর ঘাত নির্ণয় করে এর নামকরণ কর।

খ. $y = x$ ধরে $f(x) = 0$ এর মূলগুলির একটি $–3$ হলে অপর মূলদ্বয় বের কর।

গ. $f(x) = 0$ এর মূলগুলি $\alpha, \beta, \gamma$ হলে, $\Sigma \alpha^{2} \beta$ নির্ণয় কর।

$\begin{array}{l}\text{(i) } x^{2}-p x+2=0 \text{;}\\\text{(ii) } \mathrm{x}^{2}-q x+1=0 \text{.}\end{array}$

ক. $p$ এর মান কত হলে, (i) এর একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ হবে।

খ. (ii) এর মূলদ্বয় ,$\alpha, \beta$ হলে, $\frac{2}{\alpha^{2}}$ এবং $\frac{2}{\beta^{2}}$ এই মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।

গ. যদি $\mathrm{p} \neq \mathrm{q}$ হয়, তাহলে কি শর্তে উদ্দীপকে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের

মূলদ্বয় সাধারণ হবে?

$\begin{array}{l}\text{(i) } \left(a^{2}+b^{2}\right) \cdot x^{2}+2(a c+b d) x+\left(c^{2}+d^{2}\right)=0\\\text{(ii) } x^{3}-7 x+6=0\end{array}$

ক. দ্বিঘাত সমীকরণের পৃথায়ক বলতে কী বোঝায় ?

খ. (ii) এ প্রদত্ত সমীকরণের মূলগুলি $\alpha, \beta, \gamma$ হলে, $\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}$ নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, (i) এ প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল সংখ্যা হবে।

$x^{2}-p x+q=0$ এবং $x^{2}-q x+p=0$

ক. দেখাও যে, $x^{2}+5 x+7=0$ সমীকরণের উভয় মূল জটিল সংখ্যা ৷

খ. সমীকরণ দুইটির যদি কেবল একটি মূল সাধারণ থাকে, তবে

দেখাও যে $\mathrm{p}+\mathrm{q}+1=0$

গ. প্রমাণ কর যে, সমীকরণ দুইটির অপর মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত

সমীকরণ হবে $x^{2}+(p+q) x+p q=0$

$\text { (i) } x^{2}-(a+b) x+a b-c^{2}=0$

$\text { (ii) } \mathrm{x}^{3}-\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}-\mathrm{r}=0$

ক. $4 x^{2}+k x+9$ রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে, $\mathrm k$ এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর।

খ. যদি উদ্দীপক (i) এর সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হয়, তবে $a, b$ ও $c$ সম্পর্কে

কি সিদ্ধান্ত গ্রহণ করা যাবে?

গ. (ii) এর সমীকরণের মূলগুলি সমান্তর প্রগমণ শ্রেণিভুক্ত হলে $p,q$ এবং $r$ এর মধ্যে

সম্পর্ক নির্ণয় কর।

$f(x)=x^{4}+6 x^{3}+26 x^{2}+6 x+25$

ক. দ্বিঘাত সমীকরণটি গঠন কর যার একটি মূল $(-3+2 \mathrm{i})$

খ. $f(x) = 0$ এর একটি মূল $\mathrm i$ হলে, অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।

গ. $f(x) = 0$ এর মূলগুলি $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ হলে,$\Sigma \alpha^{2}$ এর মান নির্ণয় কর ।

$\text { (i) } 2 b x^{2}+2(a+b) x+3 a=2 b$

$\text { (ii) } 2 x^{2}-9 x-5=0$

ক. x বাস্তব হলে,$x^{2}-8 x+13$ এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।

খ. (ii) এ প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta(\alpha>\beta)$ হলে $(\alpha+\beta)$

এবং $(\alpha-\beta)$ মূলদ্বয়বিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।

গ. (i) এ প্রদত্ত সমীকরণের একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ হলে

দেখাও যে, $a=2 b$ অথবা $4 a=11 b .$

$a x^{2}+b x+c=0$

ক. সমীকরণের মূল বলতে কি বুঝ? উদ্দীপকের সমীকরণটির মূলের

প্রকৃতি কিভাবে নিরূপণ করা যায়?

খ. প্রদত্ত সমীকরণটির মূল দুইটি $\alpha, \beta$ হলে, $\alpha^{2}+\beta$ এবং $\beta^{2}+\alpha$

মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।

গ. যদি প্রদত্ত সমীকরণটির মূল দুইটি $\alpha, \alpha^{2}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

$c(a-b)^{3}=a(c-b)^{3}$

$\begin{array}{l}x^{2}-a x+b=0 \ldots \ldots \text { (i) } \\x^{2}-b x+a=0 \ldots \ldots \text { (ii) }\end{array}$

ক. $\mathrm k$ এর মান কত হলে $(k-1) x^{2}-(k+2) x+4=0$

সমীকরণের মূল দুইটি সমান হবে ?

খ. যদি (i) ও (ii) সমীকরণ দুইটির কেবল একটি মূল সাধারণ থাকে,

তবে প্রমাণ কর যে, $a+b+1=0$

গ. সমীকরণ (i) এর মূল দুইটি $\alpha, \beta$ হলে দেখাও যে, $b x^{2}-\left(a^{2}-2 b\right) x+b=0$

এর একটি মূল হবে, $\alpha / \beta$

$a x^{2}+b x+c=0 \ldots \ldots \text { (i) }$

ক. $a, b, c \in \mathbb{R}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $x^{2}-2(a+b) x+(a+b)^{2}+c^{2}=0$

সমীকরণের মূল দুইটি জটিল হবে।

খ. উদ্দীপকের সমীকরণটির মূলদ্বয়ের অনুপাত $3 : 4$ হলে, প্রমাণ কর যে, $12 b^{2}=49 a c$

গ. সমীকরণ (i) এর মূল দুইটি $\alpha_{} \beta$ হলে,

$a c\left(x^{2}+1\right)-\left(b^{2}-2 a c\right) x=0$ এর মূল দুইটি $\alpha, \beta$এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

$a x^{2}+b x+c=0 \ldots \ldots \ldots \text { (i) }$

ক. মূলদ সহগবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন কর যার একটি মূল $\frac{1}{2-\sqrt{5}}$

খ. সমীকরণ (i) এর মূল দুইটি $\alpha, \beta$ হলে, $(a \alpha+b)^{-3}+(a \beta+b)^{-3}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. উদ্দীপকের সমীকরণে $a=4, b=-5, c=1$ এবং পরিবর্তিত সমীকরণের

মূল দুইটি $\alpha, \beta$ হলে, $\alpha+\frac{1}{\beta}$ এবং $\beta+\frac{1}{\alpha}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১: $2 x^{2}-2(a+b) x+\left(a^{2}+b^{2}\right)=0$

দৃশ্যকল্প-২: $(q+r-p) x^{2}+(r+p-q) x+(p+q-r)=0$

ক. $x^{2}-3 x+k=0$ এর একটি মূল $5$ হলে, $k$ এর মান কত?

খ. প্রমাণ কর যে, $p+q+r=0$ এবং $\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r}$ মূলদ হলে,

দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণের মূল দুইটি মূলদ হবে।

গ. দৃশ্যকল্প-১ থেকে দেখাও যে, $a=b$ না হলে সমীকরণটির মূল

দুইটি বাস্তব হতে পারে না ।

$x^{2}-2 a x+a^{2}-b^{2}=0$ .... . (i)

$27 x^{2}+6 x-(c+2)=0$ ...... (ii)

ক. একটি দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন কর যার একটি মূল $3 - 2i.$

খ. এরূপ একটি সমীকরণ তৈরি কর যার মূল দুইটি সমীকরণ

(i) এর মূল দুইটির সমষ্টি ও অন্তরফলের সমান ।

গ. সমীকরণ (ii) এর মূল দুইটি $\alpha, \alpha^{2}$ হলে $c$ এর মান নির্ণয় কর।

$f(x)=3 x^{3}-2 x^{2}+1$

ক. সমাধান সেট নির্ণয় করঃ $\frac{1}{|1-5 x|} \leq 3$ যখন $x \neq \frac{1}{5}$

খ. $f(x) = 0$ এর মূল তিনটি $\alpha, \beta, \gamma$ হলে $\Sigma \alpha^{2} \beta$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন কর যার মূলগুলি $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ যেখানে

$\alpha, \beta, \gamma$ হলো $f(x)=0$ এর মূল ।

$a x^{2}+b x+c=0 \ldots \ldots \text { (i) }$

$c x^{2}+b x+a=0 \ldots \ldots \text { (ii) }$

ক. সমীকরণ (i) এর মূল দুইটি $\alpha, \beta$ হলে দেখাও যে,

$(a \alpha+b)^{-2}+(a \beta+b)^{-2}=\frac{b^{2}-2 a c}{a^{2} c^{2}}$

খ. উদ্দীপকের সমীকরণ দুইটির যদি একটি সাধারণ মূল থাকে তবে

দেখাও যে,$c+a=\pm b$

গ. সমীকরণ (i) এর একটি মূল $\beta$ এবং (ii) এর একটি মূল $\frac{\beta}{2}$ হলে,

প্রমাণ কর যে, $2a = c$ অথবা $(2 a+c)^{2}=2 b^{2}$

$f(x)=a x^{2}+b x+c$

ক. $\left(k^{2}-3\right) x^{2}+3 k x+(3 k+1)=0$ সমীকরণের মূল দুইটি $\alpha, \frac{1}{\alpha}$

হলে, $\mathrm k$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. $f(x) = 0$ সমীকরণের মূল দুইটি $\alpha, \alpha^{2}$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$a^{2} c+a c^{2}+b^{3}=3 a b c$

গ. যদি $f(x) = 0$ এর মূল দুইটি $\alpha, \beta$ হয়, তবে $\alpha+\frac{1}{\beta}$ এবং $\beta+\frac{1}{\alpha}$ মূল বিশিষ্ট সমীকরণ গঠন কর

$\phi(x)=x^{2}-(a+b) x+a b-c^{2}$

ক. $x^{3}-7 x^{2}+8 x+10=0$ এর একটি মূল $1+\sqrt{3}$ হলে অপর মূলগুলি নির্ণয় কর।

খ. $a, b, c$ বাস্তব হলে, দেখাও যে, $\phi(x)=0$ সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব হবে।

গ. যদি $\phi(x)=0$ এর মূল দুইটি সমান হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

$a = b$ এবং $c = 0$

$p x^{2}+q x-p=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের মূল দুইটি $\alpha, \beta$

ক. উৎপাদকের সাহায্যে $2 x^{2}-3 x-35=0$ সমীকরণটি সমাধান কর ।

খ. দ্বিঘাত সমীকরণটির মূল ও সহগের সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা কর ।

গ. $\mathrm{p} \alpha+\mathrm{q}, \mathrm{p} \beta+\mathrm{q}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর ।

$P(x)=\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c} ; a, b, c \in \mathbb{R}$

ক. $(x-a)(x-b)(x-c) P(x)$ বহুপদীর ধ্রুবপদ নির্ণয় কর।

খ. দেখাও যে,$P(x)=0$ সমীকরণের মূলগুলি সর্বদা বাস্তব হবে এবং $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$ না হলে

মূলগুলি সমান হতে পারে না ।

গ. যদি $a=3, b=2, c=1$ হয় তবে $P(x)=0$ সমীকরণটির মূলগুলি নির্ণয় করে তাদের

প্রকৃতি উল্লেখ কর।