Questions in this chapter

$\text { (i) }\left(1+x+x^{2}\right)^{n}=P_{0}+P_{1} x+P_{2} x^{2}+\ldots \ldots+P_{2 n} x^{2 n} \text {; }$

$\text { (ii) } \frac{x}{y}=\frac{a+i b}{c+i d}$

ক. $\operatorname{Arg}(-1-\mathrm{i})$ নির্ণয় কর।

খ. (i) থেকে প্রমাণ কর যে, $P_{0}+P_{3}+P_{6}+\ldots=3^{n-1}$

গ. (ii) থেকে প্রমাণ কর যে,

$\left(c^{2}+d^{2}\right) x^{2}-2(a c+b d) x y+\left(a^{2}+b^{2}\right) y^{2}=0$

$\begin{array}{l}\text{(i) } \mathrm{z}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+\mathrm{i})\\\text{(ii) } 7-30 \sqrt{-2}\end{array}$

ক. $| z |$ নির্ণয় কর

খ. $\text { (ii) }$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

গ. (i) থেকে দেখাও যে, $z^{6}+z^{4}+z^{2}=-1$

একটি ত্রিঘাত সমীকরণ, $x^{3}-1=0$

ক. জটিল সংখ্যা, $(-4-3 i)$ এর প্রতিরূপী বিন্দু আর্গন্ড চিত্রে স্থাপন কর।

খ. উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করে সমীকরণের মূলগুলি নির্ণয় কর।

প্রাপ্ত জটিল মূলদ্বয়ের একটি $\omega$ হলে দেখাও যে, অপরটি $=\omega^{2}$

গ. প্রমাণ কর যে, $(p-q)^{2}+\left(p \omega-q \omega^{2}\right)^{2}+\left(p \omega^{2}-q \omega\right)^{2}=-6 p q$

$\mathrm{z}_{1}=3+5 \mathrm{i}, \mathrm{z}_{2}=-3+5 i, z_{3} =-3-5 \mathrm{i}, \mathrm{z}_{4}=3-5 \mathrm{i}$

ক. সংখ্যাগুলির প্রতিরূপী বিন্দু আর্গন্ড চিত্রে স্থাপন কর।

খ. সংখ্যাগুলির মডুলাস ও আর্গুমেন্ট (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত) নির্ণয় কর।

গ. দেখাও যে, প্রতিরূপী বিন্দুগুলি দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র উৎপন্ন হয় ।

$\mathrm{z}=-5-12 i$

ক. $\frac{1}{z}$ এর মান $a+i b$ আকারে প্রকাশ কর।

খ. $\frac{1}{\sqrt{z}}$ এর মান $a+i b$ আকারে প্রকাশ কর।

গ. আর্গন্ড চিত্রে $\bar{z}$ এর প্রতিরূপী বিন্দু স্থাপন করে এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট

রেডিয়ানে (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত) নির্ণয় কর।

$z_{1}=-3-4 i$ এবং $z_{2}=4-3 i$

ক. আর্গন্ড চিত্রে $z_{1}$ এবং $z_{2}$ এর প্রতিরূপী বিন্দু যথাক্রমে $P$ এবং $Q$ স্থাপন কর।

খ. $\sqrt{z_{1} z_{2}}$ নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\text { OPRQ }$ একটি বর্গ, যেখানে $\left(z_{1}+z_{2}\right)$ এর প্রতিরূপী বিন্দু $R$.

$\mathrm{z}_{1}=5 \sqrt{3}-5 \mathrm{i}$ এবং $z_{2}=2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)$

ক. $\mathrm{Z}_{2}$ কে $a+i b$ আকারে প্রকাশ কর; যেখানে $a$ ও $b$ বাস্তব সংখ্যা ।

খ. $\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. রেডিয়ান পরিমাপে $\operatorname{Arg}\left(\frac{Z_{2}}{Z_{1}}\right)$ নির্ণয় কর।

$\mathrm{z}_{1}=3+2 \mathrm{i} ; \mathrm{z}_{2}=\frac{12-5 i}{\mathrm{z}_{1}} ; \mathrm{z}_{3}=\mathrm{p}+\mathrm{iq}$

যেখানে $p$ ও $q$ বাস্তব সংখ্যা ।

ক. $\mathrm{Z}_{2}$ কে $a+i b$ আকারে প্রকাশ কর, (যেখানে $a$ ও $b$ বাস্তব সংখ্যা।)

খ. দেখাও যে,$\left|\overline{z_{3}}\right|=\left|\overline{z_{1}}\right|$ এর শর্তে $\overline{\mathrm{z}_{3}}$ প্রতিরূপী বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত ।

গ. আরগণ্ড চিত্রে $\mathbf{Z}_{1}$ ও $\mathrm{z}_{2}$ প্রতিরূপী বিন্দু যথাক্রমে $P$ ও $Q$ স্থাপন কর।

দেখাও যে, $\angle {\mathrm{POQ}}=\frac{\pi}{2}$ যেখানে $O$ মূলবিন্দু ।

$\mathrm{z}=-2+i$

ক. $\frac{1}{z}$ কে $(\mathrm{a}+i \mathrm{~b})$ আকারে প্রকাশ কর। $(\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R})$

খ. দেখাও যে, $\left|z^{2}-z\right|=5 \sqrt{2}$

গ. $\operatorname{Arg} \frac{z}{\bar{z}}=\operatorname{Arg} z-\operatorname{Arg} \bar{z}$ প্রতিষ্ঠিত কর ।

$\mathrm{z}_{1}=-8-6 \mathrm{i}, \mathrm{z}_{2}=\mathrm{x}+i \mathrm{y}$

ক. $\left|z_{1}\right|$ নির্ণয় কর।

খ. $\mathbf{z}_{1}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর ।

গ. দেখাও যে, $\left|\mathrm{z}_{2}+1+\mathrm{i}\right|=2\left|\mathrm{z}_{2}+4-2 i\right|$ দ্বারা নির্দেশিত

সমীকরণের লেখচিত্র একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র $(−5, 3)$

এককের একটি জটিল ঘন মূল $\omega$

ক. প্রমাণ কর যে, $1+\omega+\omega^{2}=0$

খ. $(-1+\sqrt{-3})^{5}+\left(-1-\sqrt{-^{3}}\right)^{5}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. যদি $a+b+c=0$ হয়, তবে দেখাও যে,

$\left(a+b \omega+c \omega^{2}\right)^{3}+\left(a+b \omega^{2}+c \omega\right)^{3}=27 a b c$

$\text { (i) } z=x+i y \text {, (ii) } \sqrt[3]{z}=p+i q$

ক. প্রমাণ কর যে, $\sqrt{-i}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-\mathrm{i})$

খ. $z(5+7 i)=-4+24 i$ থেকে x ও y এর মান নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=4\left(p^{2}-q^{2}\right)$

$x=a+b, y=a \omega+b \omega^{2}$ এবং $z=a \omega^{2}+b \omega$

যখন $\omega$ এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল।

ক. $-1+\sqrt{3} \mathrm{i}$ সংখ্যাটির মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

খ. উদ্দীপক অবলম্বনে দেখাও যে, $y z=a^{2}-a b+b^{2}$

গ. প্রমাণ কর যে, $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ রাশিটি $\omega$ মুক্ত।

$z$ একটি জটিল সংখ্যা; যখন $z=x+i y$

ক. $\sqrt{2 i}$ নির্ণয় কর।

খ. $x+i y=(a+i b)(c+i d)$ হলে দেখাও যে,

$x-i y=(a-i b)(c-i d)$

গ. উদ্দীপক অবলম্বনে $|z+8|+|z-8|=20$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার

পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

$\sqrt[3]{a+i b}=x+i y$ এবং $i=\sqrt{-1}$

ক. $(-\sqrt{3}+i)$ সংখ্যাটিকে পোলার আকারে প্রকশ কর ৷

খ. উদ্দীপক অবলম্বনে প্রমাণ কর যে,$\sqrt[3]{a-i b}=x-i y$

গ. প্রমাণ কর যে, $\frac{a}{x}-\frac{b}{y}=-2\left(x^{2}+y^{2}\right)$

$z=x+i y$ এবং $\overline{\mathbf{z}}=\mathrm{x}-\mathrm{iy}$

ক. $2+3 i$ কে পোলার আকারে প্রকাশ কর।

খ. $3|z-1|=2|z-2|$ হলে দেখাও যে, $5\left(x^{2}+y^{2}\right)=2 x+7$

গ. $\text { a, b } \in \mathbb{R}$ এবং $a^{2}+b^{2}=1$ হলে, $\bar{z}=z(a-i b)$ এর সমাধান

কর। যখন $\mathrm{z}=1+\mathrm{ix}$

এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল $\omega$

ক. পরম মান চিহ্ন ব্যতিত প্রকাশ কর: $\frac{1}{|3 x+1|} \geq 5,\left(x \neq-\frac{1}{3}\right)$

খ. দেখাও যে, $\left(1+\omega-\omega^{5}\right)\left(\omega+\omega^{2}-1\right)\left(\omega^{5}+1-\omega\right)=-8$

গ. $\left(p \omega^{2}+q+r \omega\right)^{3}+\left(p \omega+q+r \omega^{2}\right)^{3}=0$ হলে, প্রমাণ কর যে,

$p =\frac{1}{2}(q+r)$ অথবা $q=\frac{1}{2}(r+p)$ অথবা, $r=\frac{1}{2}(p+q)$

এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল $\omega$

ক. $-\sqrt{3}-i$ এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর এবং আর্গন্ড চিত্রে -

সংখ্যাটি প্রতিস্থাপন কর ।

খ. দেখাও যে, $(p+q+r)\left(p+q \omega+r\omega^{2}\right)\left(p+q \omega^{2}+r \omega\right)=p^{3}+q^{3}+r^{3}-3 p q r$

গ. প্রমাণ কর যে, $\left(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\right)^{n}=2$

বা $-1$ যখন $n$ এর মান যথাক্রমে $3$ দ্বারা বিভাজ্য বা $n$ এর

মান অপর যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা ।

$z_{1}=4+5 i$ এবং $z_{2}=3-2 i$ দুইটি জটিল সংখ্যা ।

ক. $\mathbf{Z}_{1}$ কে পোলার আকারে প্রকাশ কর ।

খ. $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

গ. প্রমাণ কর যে, $\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}=2\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)$

এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল $\omega$

ক. $\sqrt{\frac{1}{3-4 \mathrm{i}}}$ নির্ণয় কর ।

খ. যদি $a=p+q, b=p+q \omega$ এবং $\mathrm{c}=\mathrm{p}+\omega^{2} \mathrm{q}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3\left(p^{3}+q^{3}\right)$

গ. $\left(a+b \omega+c \omega^{2}\right)^{2}+\left(a \omega+b+c \omega^{2}\right)^{2}+\left(a \omega+b \omega^{2}+c\right)^{2}=0$ হলে,

প্রমাণ কর যে, $a = c$ অথবা $b=\frac{1}{2}(c+a)$